約瑟夫環問題的三種解法，一文搞定
- 2021 年 6 月 8 日
- 筆記
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前言
約瑟夫環問題是演算法中相當經典的一個問題，其問題理解是相當容易的，並且問題描述有非常多的版本，並且約瑟夫環問題還有很多變形，這篇約瑟夫問題的講解，一定可以帶你理解通通！
什麼是約瑟夫環問題？
約瑟夫環問題在不同平台被”優化”描述的不一樣，例如在牛客劍指offer叫孩子們的遊戲，還有叫殺人遊戲，點名……最直接的感覺還是力扣上劍指offer62的描述：圓圈中最後剩下的數字。
問題描述：
0,1,···,n-1這n個數字排成一個圓圈，從數字0開始，每次從這個圓圈裡刪除第m個數字（刪除後從下一個數字開始計數）。求出這個圓圈裡剩下的最後一個數字。
例如，0、1、2、3、4這5個數字組成一個圓圈，從數字0開始每次刪除第3個數字，則刪除的前4個數字依次是2、0、4、1，因此最後剩下的數字是3。
當然，這裡考慮m，n都是正常的數據範圍，其中
1 <= n <= 10^51 <= m <= 10^6
對於這個問題，你可能腦海中有了印象，想著小時候村裡一群孩子坐在一起，從某個開始報數然後數到幾齣列，下一個重新開始一直到最後一個。
循環鏈表模擬
這個問題最本質其實就是循環鏈表的問題，圍成一個圈之後，就沒有結尾這就是一個典型的循環鏈表嘛！一個一個順序報數，那不就是鏈表的遍歷枚舉嘛！數到對應數字的出列，這不就是循環鏈表的刪除嘛！
並且這裡還有非常方便的地方：
- 循環鏈表的向下枚舉不需要考慮頭尾問題，直接node=node.next向下
- 循環聊表的刪除也不需要考慮頭尾問題，直接node.next=node.next.next刪除
當然也有一些需要注意的地方
-
形成環形鏈表很簡單，只需要將普通鏈表的最後一個節點的next指向第一個節點即可
-
循環鏈表中只有一個節點的時候停止返回，即node.next=node的時候
-
刪除，需要找到待刪除的前面節點，所以我們刪除計數的時候要少即一位，利用前面的那個節點直接刪除後面節點即可
這樣，思路明確，直接開擼程式碼：
class Solution {
class node//鏈表節點
{
int val;
public node(int value) {
this.val=value;
}
node next;
}
public int lastRemaining(int n, int m) {
if(m==1)return n-1;//一次一個直接返回最後一個即可
node head=new node(0);
node team=head;//創建一個鏈表
for(int i=1;i<n;i++)
{
team.next=new node(i);
team=team.next;
}
team.next=head;//使形成環
int index=0;//從0開始計數
while (head.next!=head) {//當剩餘節點不止一個的時候
//如果index=m-2 那就說明下個節點(m-1)該刪除了
if(index==m-2)
{
head.next=head.next.next;
index=0;
}
else {
index++;
}
head=head.next;
}
return head.val;
}
}
當然，這種演算法太複雜了，大部分的OJ你提交上去是無法AC的，因為超時太嚴重了，具體的我們可以下面分析。
有序集合模擬
上面使用鏈表直接模擬遊戲過程會造成非常嚴重非常嚴重的超時，n個數字，數到第m個出列。因為m如果非常大遠遠大於m，那麼將進行很多次轉圈圈。
所以我們可以利用求余的方法判斷等價最低的枚舉次數，然後將其刪除即可，在這裡你可以繼續使用自建鏈表去模擬，上面的while循環以及上面只需添加一個記錄長度的每次求余算圈數即可：
int len=n;
while (head.next!=head) {
if(index==(m-2)%len)
{
head.next=head.next.next;
index=0;
len--;
}
else {
index++;
}
head=head.next;
}
但我們很多時候不會手動去寫一個鏈表模擬，我們會藉助ArrayList和LinkedList去模擬，如果使用LinkedList其底層也是鏈表，使用ArrayList的話其底層數據結構是數組。不過在使用List其程式碼方法一致。
List可以直接知道長度，也可刪除元素，使用List的難點是一個順序表怎們模擬成循環鏈表？
咱們仔細思考：假設當前長度為n，數到第m個(通過上面分析可以求余讓這個有效的m不大於n)刪除，在index位置刪除。那麼刪除後剩下的就是n-1長度，index位置就是表示第一個計數的位置，我們可以通過求余得知走下一個刪除需要多少步，那麼下個位置怎麼確定呢？
你可以分類討論看看走的次數是否越界，但這裡有更巧妙的方法，可以直接求的下一次具體的位置，公式就是為：
index=(index+m-1)%(list.size());
因為index是從1計數，如果是循環的再往前m-1個就是真正的位置，但是這裡可以先假設先將這個有序集合的長度擴大若干倍，然後從index計數開始找到假設不循環的位置index2，最後我們將這個位置index2%(集合長度)即為真正的長度。
使用這個公式一舉幾得，既能把上面m過大循環過多的情況解決，又能找到真實的位置，就是將這個環先假設成線性的然後再去找到真的位置，如果不理解的話可以再看看這個圖：
這種情況的話大部分的OJ是可以勉強過關的，面試官的層面也大概率差不多的，具體程式碼為：
class Solution {
public int lastRemaining(int n, int m) {
if(m==1)
return n-1;
List<Integer>list=new ArrayList<>();
for(int i=0;i<n;i++)
{
list.add(i);
}
int index=0;
while (list.size()>1)
{
index=(index+m-1)%(list.size());
list.remove(index);
}
return list.get(0);
}
}
遞歸公式解決
我們回顧上面的優化過程，上面用求余可以解決m比n大很多很多的情況(即理論上需要轉很多很多圈的情況)。但是還可能存在n本身就很大的情況，無論是順序表ArrayList還是鏈表LinkedList去頻繁查詢、刪除都是很低效的。
所以聰明的人就開始從數據找一些規律或者關係。
先拋出公式：
f(n,m)=(f(n-1,m)+m)%n
f(n,m)指n個人，報第m個編號出列最終編號
下面要認真看一下我的分析過程：
我們舉個例子，有0 1 2 3 4 5 6 7 8 9十個數字，假設m為3,最後結果可以先記成f(10,3)，即使我們不知道它是多少。
當進行第一次時候，找到元素2 刪除，此時還剩9個元素，但起始位置已經變成元素3。等價成3 4 5 6 7 8 9 0 1這9個數字重寫開始找。
此時這個序列最終剩下的一個值即為f(10,3)，這個序列的值和f(9,3)不同，但是都是9個數且m等於3，所以其刪除位置是相同的，即演算法大體流程是一致的，只是各位置上的數字不一樣。所以我們需要做的事情是找找這個序列上和f(9,3)值上有沒有什麼聯繫。
尋找過程中別忘記兩點，首先可通過%符號對數字有效擴充，即我們可以將3 4 5 6 7 8 9 0 1這個序列看成(3,4,5,6,7,8,9,10,11)%10.這裡的10即為此時的n數值。
另外數值如果是連續的，那麼最終一個結果的話是可以找到聯繫的(差值為一個訂製)。所以我們可以就找到f(10,3)和f(9,3)值之間結果的關係，可以看下圖：
所以f(10,3)的結果就可以轉化為f(9,3)的表達,後面也是同理：
f(10,3)=(f(9,3)+3)%10
f(9,3)=(f(8,3)+3)%9
……
f(2,3)=(f(1,3)+3)%2
f(1,3)=0
這樣，我們就不用模擬操作，可以直接從數值的關係找到遞推的關係，可以輕輕鬆鬆的寫下程式碼：
class Solution {
int index=0;
public int lastRemaining(int n, int m) {
if(n==1)
return 0;
return (lastRemaining(n-1,m)+m)%n;
}
}
但是遞歸效率因為有個來回的規程，效率相比直接迭代差一些，也可從前往後迭代：
class Solution {
public int lastRemaining(int n, int m) {
int value=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
value=(value+m)%i;
}
return value;
}
}
結語
我想，通過本篇文章你應該掌握和理解了約瑟夫環問題，這種裸的約瑟夫環問題出現的概率很大，考察很頻繁，鏈表模擬是根本思想，有序集合模擬鏈表是提升，而公式遞推才是最有學習價值的地方，如果你剛開始接觸不理解可以多看幾遍。如果能用公式遞推給面試官說兩句，講講原理，那一定會讓面試官眼前一亮的！
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