線性代數1 行列式

2021 年 6 月 6 日
筆記
數學, 線性代數

二階行列式

所謂二階行列式，是由四個數，如 $a_{11}$，$a_{12}$，$a_{21}$，$a_{22}$ 排列成含有兩行兩列形如 $\left|\begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|$ 的式子，它表示一個數值，其展開式為

\[\left|\begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|
=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\]

三階行列式

所謂三階行列式，是由九個數，如 $a_{11}$，$a_{12}$，$a_{13}$，$a_{21}$，$a_{22}$，$a_{23}$，$a_{31}$，$a_{32}$，$a_{33}$ 排列成含有三行三列形如 $\left|\begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|$ 的式子，它表示

一個數值，其展開式為

\[\left|\begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|
=a_{11}\left|\begin{array}{c}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|-a_{12}
\left|\begin{array}{c}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}
\end{array}\right|+a_{13}
\left|\begin{array}{c}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{array}\right|
\]

n階行列式

我們觀察二、三階行列式的定義，順便定義一下一階行列式：

（幾乎全是複製）

所謂一階行列式，是由一個數，如 $a_{11}$ 排列成含有一行一列形如 $\left|\begin{array}{c}
a_{11}
\end{array}\right|$ 的式子，它表示一個數值，其展開式為

\[\left|\begin{array}{c}
a_{11}
\end{array}\right|
=a_{11}
\]

有了一階行列式的定義，我們考慮像三階行列式一樣遞歸的定義二階行列式：

\[\left|\begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|
=a_{11}\left|\begin{array}{c}
a_{22}
\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{c}
a_{21}
\end{array}\right|
\]

至此，$n$ 階行列式的定義幾乎呼之欲出了：
所謂 $n$ 階行列式，是由 $n^2$ 個數，如 $a_{11}$，$a_{12}$，$\cdots$，$a_{nn}$ 排列成含有 $n$ 行 $n$ 列形如 $\left|\begin{array}{c}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \ddots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|$ 的式子，它表示一個數值，其展開式為

\[\left|\begin{array}{c}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \ddots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|
=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{1i}\left|\begin{array}{c}
a_{21} & \cdots & a_{2\ i-1} & a_{2\ i+1} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\
\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\
\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\
\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{n\ i-1} & a_{n\ i+1} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|
\]

（其實就是對於第一行的每個元素，用它乘除了它同行同列的剩下來數構成的子行列式。）

上式中令

\[M_{1i}=
\left|\begin{array}{c}
a_{21} & \cdots & a_{2\ i-1} & a_{2\ i+1} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\
\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\
\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\
\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{n\ i-1} & a_{n\ i+1} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|$$，稱為元素 $a_{1i}$ 的**餘子式**。令 \]

A_{1i}=(-1)^{i+1}M_{1i}$$，稱為元素 $a_{1j}$ 的代數餘子式。

行列式在解線性方程的運用：Cramer法則

目標：求解關於 $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$ 的 $n$ 元線性方程組

\[\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2\\
\cdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \\
\end{cases}
\]

Cramer法則求解：

令

\[D=\left|\begin{array}{c}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \ddots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|
\]

，稱之為該方程組的係數行列式。

同時，把行列式 $D$ 的第 $i$ 列替換為方程組的常數列項（$b_1$，$b_2$，$\cdots$，$b_n$），得到新的行列式記為 $D_i$，即

\[D_1=\left|\begin{array}{c}
b_1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
b_2 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\
b_n & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|,
D_2=\left|\begin{array}{c}
a_{11} & b_1 & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & b_2 & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\
a_{n1} & b_n & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|,
\cdots,
D_n=\left|\begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} & \cdots & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & b_2 \\
\cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & b_n
\end{array}\right|
\]

若線性方程組的係數行列式 $D\not=0$，則該方程組有唯一解：

\[x_i=D/D_i\qquad (i=1,2,\cdots,n)
\]

Cramer法則的應用

例題求解二元線性方程組

\[\begin{cases}
5x_1+x_2 = 4 \\
2x_1-3x_2 = 5
\end{cases}
\]

解這個線性方程組的係數行列式為

\[D=\left|\begin{array}{c}
5 & 1 \\
2 & -3
\end{array}\right|=-17
\]

由於 $D=17\not=0$，該線性方程組有唯一解，

\[D_1=\left|\begin{array}{c}
4 & 1 \\
5 & -3
\end{array}\right|=-17,
D_2=\left|\begin{array}{c}
5 & 4 \\
2 & 5
\end{array}\right|=17
\]

即

\[\begin{cases}
x_1=D/D_1=1 \\
x_2=D/D_2=-1
\end{cases}
\]

Cramer法則與齊次性

若線性方程組的常數項全為零，即

\[\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\
\cdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = 0 \\
\end{cases}
\]

則稱該線性方程組為齊次線性方程組。反之，如果常數項不全為零，則稱之為非齊次線性方程組。

齊次線性方程組永遠有解，這組解為 $x_i = 0\qquad (i=1,\cdots,n)$，這組解被稱為零解。
由Cramer法則容易知道，當線性方程的係數行列式不等於 $0$ 時，方程只有零解。

Cramer法則的局限性

應用Cramer法則求解 $n$ 元線性方程組時，必須有 $n$ 條方程。
應用Cramer法則求解 $n$ 元線性方程組時，因涉及到行列式的計算問題，即需要計算 $n+1$ 個 $n$ 階行列式的值，這樣，隨著 $n$ 的增大，求解的計算量是相當大的。

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