Python小白的數學建模課-A1.2021年數維杯C題（運動會優化比賽模式探索）探討
- 2021 年 5 月 31 日
- 筆記
- Python 學習, Python數學建模
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運動會優化比賽模式問題，是公平分配問題
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2021第六屆數維杯大學生數學建模 賽題已於5月27日公布，C題是”運動會優化比賽模式探索”。本文對賽題進行一些分析討論。由於競賽時間為 2021年5月27-30日20:00，目前尚處於競賽中，本文僅做初步分析。
1. 賽題內容（運動會優化比賽模式探索）
在大學的運動會中，由於大學各學院同學人數與性別之間的差異很大，而且部分學院招收的體育特長生也參加運動會，這就導致各學院在運動會的成績差異很大。部分學院常年排名領先，而另一些學院不論如何努力也很難取得很好的成績，從而影響大家的參與熱情。因此，我們需要研究如何改革賽制，以實現保障公平、兼顧效率的目標。
目前，某大學運動會的積分規則為：第一名得9分，第二名至第八名獲得7至1分；各學院男生和女生累積得分最終構成團體得分。附件1中給出了該大學20個學院，104個專業，共計28523名學生的分布情況數據。本文將結合此數據，研究以下問題：
問題1：如果比賽允許若干學院合併後共同參加比賽，如何設計一個分組數量不低於12個組、各組人員總數和男女性別比較為均衡的優化分配模型？並對該分組方案的公平指數進行討論。
問題2：如果對各學院按照甲組、乙組分類的模式進行比賽，如何設計一個最優的甲乙分組方案？並對該分組方案的公平指數進行討論。
問題3：如果體育特長生可以跨學院參加比賽，如何設計一個盡量保障各學院比賽實力更為均衡的方案？如果特長生不參加比賽，如何設計一個對各學院相對公平的加權積分方案？
問題4：通過電腦模擬模擬或理論推導，證明上述四種優化比賽模式哪個更好?
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2. 賽題解讀（運動會優化比賽模式探索）
賽題共有四個問題，問題 1～3 要求對於 4種運動會賽制改革的思路要求，分別設計具體的實現方案，以達到各參賽單位的公平性最優。問題 4 是比較所設計的 4種方案，哪種方案的公平性最好。
對於公平，每個人會有不同的理解。賽題也給出了多種不同的要求，即問題 1～3，分別體現出不同的追求公平的思想，也就是對公平的不同理解。
問題 1 通過合併組隊，使各組人員總數和男女性別比較為均衡，這種思想是實現人數、比例的均衡。問題 2 通過分成甲組乙組比賽，使不同學院都有機會獲得積分，這種思想是根據現有條件分類以減小使同類中個體的差異。
問題 3 的第一問要求「各學院比賽實力更為均衡」，這與「各學院/參賽單位相對公平」的含義並不完全相同，但是也可以通過假設將它們解釋為同一概念，我認為各學院實力更均衡，就能「使各參賽單位相對公平」，這麼想、這麼假設也沒錯吧。
問題 3 的第二問要求「對各學院相對公平的加權積分方案」，與「各學院比賽實力更為均衡」是不同的，但也是另一種「使各參賽單位相對公平」的思路或方案，也可以通過假設使這一目標更具體、更容易以量化指標描述。
問題4 是不言而喻的。如果解決了問題 1～3，在每個問題的條件下已經提出了 4種設計方案，顯然這些方案不是拍腦袋蒙出來的，而是按照某種評價指標優化而得到的，那麼只要對比這 4種方案的指標性能，就可以證明其中哪一種優化比賽方式更好。
如果只考慮問題 1～3，雖然總的目標都是「相對公平」，但具體要求、具體目標也有細微差異。因此，對於每個問題，是可以設計不同的具體量化的優化指標函數的。
但是，考慮到問題 4的需要，也可以構造統一的量化優化指標函數，這對於解答問題 4 特別有利，直接比較問題 1～3 的統一量化指標就得到答案了。
因此，在解決問題 1～3 時，雖然是按照相應的評價指標進行優化，但各問題還要有統一的評價指標的。由於問題 1～3 的要求基本上都是「相對公平」，所以採用統一的評價指標也是完全合理、可行的。
3. 優化目標
問題 1 ～3 都是優化問題，要求根據不同要求或者說約束條件設計優化方案。
那麼，首先要考慮優化目標是什麼，能不能提出可量化、可計算的優化目標函數。不難看出，背景資料和每個問題中都涉及」公平「：問題 1、2 明確要求討論 」公平指數「，問題 3 要求設計」更為均衡「、」相對公平「的方案，問題 4 要求比較哪種優化模式更好。如何比較，根據什麼比較，就是」公平「的程度，就是題目中所說的」公平指數「。
什麼是」公平指數「，如何量化公平指數，給出公平指數的數學表達式？
注意，問題 1 的原文是 「各組人員總數和男女性別比較為均衡的優化分配模型」，並「討論方案的公平指數」；問題 2 的原文是「最優的甲乙分組方案」，並「討論方案的公平指數」。因此，求解這兩個問題時的優化目標不是「公平指數」，但需要計算「公平指數」並與最初的方案進行比較，以展開討論，並用於問題 4 的求解。
4. 公平分配問題
4.1 什麼是公平分配？
分配公平是個人對所獲報酬的公正知覺，也就是依據一定的標準對分配最終結果的評價，亦稱結果公平。分配公平主要表現為個人消費品分配的相對公平，要求社會成員之間的收入差距不能過於懸殊。個人收入的社會分配是否公平，不取決於有沒有差距，而取決於這種差距是否合法、合情合理、合乎民生髮展。
4.2 公平指數
絕對不公平度
相對不公平度
4.3 公平分配問題常用演算法
限於時間，本文持續更新後發布…
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