【網路流】網路流基本概念

• 2021 年 4 月 26 日
• 筆記
• 圖論, 演算法筆記

網路流涉及到的概念好多 \(qwq\) ，梳理一下。

流網路

流網路是一個有向圖，包含點集和邊集。即 \(G=(V,E)\) 。
對於邊 \(e:u\rightarrow v\) （也可以記為 \((u,v)\) ），有屬性 \(c(u,v)\) ，稱為容量。可以將其比喻為水管在單位時間可以流過的最大水量。

而圖 \(G\) 中有兩個特殊的點，稱為源點和匯點，通常記為 \(s\) , \(t\) ，可以將源點比喻為無限的水源，將匯點比喻為能夠容納無窮的水的容器。

可行流

我們記 \(f(u,v)\) 為邊 \(e:u\rightarrow v\) 當前的流量，流量需要滿足兩個約束：

1. 容量限制：即 \(0 \leq f(u,v) \leq c(u,v)\)
2. 流量守恆：除了源點、匯點，其他點流入的流量等於流出的流量，正式地說： \(\sum_{(u,x) \in E} f(u,x) = \sum_{(x,v)\in E)} f(x,v)\)

流量值

用單位時間流出源點的流量來刻畫，記為 \(|f|=\sum_{(s,x) \in E} f(s,x) – \sum_{(y,s)\in E)}f(y,s)\) 。

最大流

又稱為最大可行流，即對於 \(G\) 中可行流構成的集合中，流量值最大的元素。

殘留網路

又稱為殘量網路，注意，殘留網路總是針對原圖 \(G=(V,E)\) 中的某一個可行流而言的，因此，可以殘留網路看成是可行流的一個函數，通常記為 \(G_f\) 。

\(G_f=(V_f,E_f)\) ，其中 \(V_f=V\) ， \(E_f=E和E中所有的反向邊\) 。

殘留網路中的容量記為 \(c'(u,v)\) ，定義為：

增廣路徑

如果從源點 \(s\) 出發沿著殘留網路中容量大於 \(0\) 的邊走，可以走到匯點 \(t\) ，那麼將走過的邊所組成的路徑稱為增廣路徑。

原網路可行流+殘留網路可行流也是原網路的一個可行流

正式地說， \(f+f’\) 屬於 \(G\) 的一個可行流，且有 \(|f+f’|=|f|+|f’|\) 。

割

是網路中頂點的一個劃分，把所有頂點劃分成兩個頂點集合 \(S\) 和 \(T\) ，其中源點 \(s\) 屬於 \(S\) ，匯點 \(t\) 屬於 \(T\) ，而且有 \(S \cup T=V\) ，\(S \cap T=\emptyset\) ，記為 \([S,T]\) 。

割的容量

\(c(S,T)=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}c(u,v)\)

最小割

\(G\) 中所有割組成的集合中，容量最小的元素。

割的流量

\(f(S,T)=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(u,v) – \sum_{u\in T}\sum_{v\in S}f(u,v)\)

任意割的流量 \(\leq\) 容量

正式地說，即 \(\forall [S,T]\) ，\(f(S,T)\leq c(S,T)\) 。

證明：（待補充）

最大流最小割定理

1. \(f\) 是最大流
2. \(G_f\) 不存在增廣路
3. \(\exists [S,T]\) ，滿足 \(|f|=c(S,T)\)

最大流最小割定理指的是：上面的三個命題是等價的。（也就是說可以互推）。

證明：

• 先證明 1 可以推得 2 ：
  反證即可，如果 \(G_f\) 存在增廣路，那麼原圖 \(G\) 中存在流量大於 \(0\) 的可行流 \(|f’|\) ，那麼 \(f+f’\) 也是可行流，且流量為 \(|f|+|f’|>|f|\) ，矛盾。

• 下證 2 可以推得 3 ：
  我們將對於 \(G_f\) 中從 \(s\) 出發沿著容量大於 \(0\) 的邊可以到達的點全部放入集合 \(S\) 中，然後令 \(T=V-S\) 。
  那麼對於點 \(x \in S\) ，\(y \in T\) ，邊 \((x,y)\) 一定有 \(f(x,y)=c(x,y)\) 。
  而對於點 \(x \in T\) ，\(y \in S\) 。必然有 \(f(x,y)=0\) 。因而割可以被構造出來。

• 最後證明 3 可以推得 1 ：
  因為 \(|f|\leq 最大流 \leq c(S,T)\) ，而由 3 可知 \(|f|=c(S,T)\) ，故上式取等，即有 \(f\) 是最大流。

最大流FF方法

基於這樣的思路：

1. 尋找增廣路
2. 利用增廣路更新殘留網路

一直這樣做，直到找不到增廣路，那麼即可求得最大流。