一維繩波模擬中的探究：完全吸波性邊界條件
完全吸波邊界條件：
波動方程模擬在計算物理中佔有重要的地位，具體應用有聲學振動模擬、電磁波模擬、波函數模擬等。這些波動方程（除波函數外）都具有一個大致相同的形式：
\]
其中\(u\)為某標量場，\(c\)為聲速。
這類方程必定有行波解，在一維情況下，解可以表示為：
\]
即解可以表示為兩列相反傳播的行波\(u_1\)、\(u_2\)的疊加。其中\(u_1\)、\(u_2\)為任意一元函數。
這種方程的求解除了與初始條件相關，還與邊界有很大關係。邊界處一般設置為固定或自由邊界條件，兩種邊界在性質上有些許區別，但又有相似性，例如都能實現完全反射，從而形成駐波。
上面兩張圖為一維繩波的模擬（幾個時刻的圖形疊在一起）。每張圖左端有一個波源，在做正弦振動，而左段為不同的邊界條件，導致不同表現。左圖為自由式邊界條件，繩頭可以自由擺動。右圖為固定式邊界條件，繩頭強制固定在0處。
由於波源發出的能量無法被繩頭耗散，兩種情形下波都會被繩頭反射，從而產生駐波。
於是，自然可以想像，會不會有一種邊界條件，使右行波完全被吸收，從而不產生任何反射呢？答案是有的。可以想像，假如繩子繩頭之外還有繩較長的延伸，從而做到在實驗關心的時間之內，右行的波還沒有碰到真正的邊界，不存在反射，則右行的波就好像被「完全吸收」了。就是說，無限長繩等價於完全吸波條件。
但是電腦永遠模擬不了無限，而只能用有限長的繩子近似「完全吸波條件」。因而實驗時間不能太長，至少在反射波進入人們關心的區域之前，必須中止模擬，否則「完全吸波條件」失效，模擬會出現很大偏差。
並且即使這樣，還是浪費了大量的計算資源在人們不關心的區域的波動方程計算上。這註定是一個糟糕的方法。
存不存在更好的方法？其實是有的。仔細觀察模擬的機制，只要對繩頭進行人為的操縱，讓繩頭的行為表現得和無限長繩情況下一模一樣，就可以「騙過」左方的繩子，讓繩子「以為」右行波還沒有碰到邊界，從而不會發生反射。
但是該如何認為移動繩頭才能讓繩頭「矇混過關」呢？天真的想法是利用該問題中只包含右行波的特點：
\]
在該解中，繩子上每一個點的運動狀態都滯後重複前面的點的運動狀態，即：
\]
那麼繩頭只需要簡單地滯後重複某個相鄰點的運動，即可完美地實現「完全吸波」。
然而數值模擬殘酷地表明，這種方法完全行不通！具體原因和數值離散過程密切相關，筆者能力和精力有限，並沒有進一步研究。
幸好，繩波系統有一個十分優異的特性——線性，將繩頭視為一個系統，繩頭的位移看成系統的輸出端，而與繩頭相連的倒數第二個節點的位移看成該系統的輸入端，則該系統是一個線性時不變系統。該系統的含時響應完全線性取決與輸入端的位移方程。
數學推導：
取繩頭的位移為\(u_o(t)\)（輸出）,而繩頭前一個節點的位移為\(u_i(t)\)（輸入），則線性時不變系統有如下優良特性：
\]
又由於：
u_o(t)&=\int_0^t{u_i(t-p)dF(p)}\\
&=-\int_0^t{F(p)du_i(t-p)}+[u_i(t-p)F(p)]\bigg|^t_0
\end{aligned}
\]
式中，\(F(t)=\int^t_0f(t)dt\)，因而最後一項為0。上式最終化簡為：
\]
我們把\(F(t)\)叫做繩頭的「衝擊響應函數」，因為如果輸入函數具有以下形式：
\begin{aligned}
0,t\lt\epsilon\\
1,t\ge\epsilon\\
\end{aligned}
\]
其中\(\epsilon\)為一無限接近0的小量，則輸出函數為：
u_o(t)&=\int_0^t{F(p)\dot{u_i}(t-p-\epsilon)dp}\\
&=\int_0^t{F(p)\delta(t-p-\epsilon)dp}\\
&=F(t-\epsilon)\\
&=F(t)
\end{aligned}
\]
衝擊響應函數反映了當輸入函數為階躍函數時，輸出端的變化情況。我們接下來的工作就是找到這個階躍函數。
在數值模擬中，繩波系統可以離散為有多個節點的一條長鏈，相鄰節點之間用彈簧連接，彈簧施加線性恢復力。對於第\(n\)個節點的位移\(u_n(t)\)，運動學方程如下：
\]
可以通過設置\(t’=t\)實現無量綱化：
\]
繩波模型的離散化示意圖：
由於該系統實際上具有無限多個節點力學分析將變得十分棘手。但是，有一種方法可以巧妙破解這一難題，從而實現物理系統的方程化：
考慮倒數第1、2個節點，設它們對左方的衝擊響應函數分別為\(F_A(t)\)和\(F_B(t)\)，由於系統右端為無限長序列，則應該有：
\]
現在考慮運動方程：
\ddot{u_A}(t)&=\frac{1}{2}(1-2u_A(t)+u_B(t))\\
u_A(t)&=F(t)\\
u_B(t)&=\int_0^t{F(p)\dot{u_A}(p-t)dp}
\end{aligned}
\]
聯立方程有：
\]
其中初值條件為：
F(t)&=0\\
\dot{F}(t)&=0
\end{aligned}
\]
這個方程是一個積分微分混合型方程，並且由於涉及到卷積，難以有效消除積分號，筆者能力有限難以給出解析解。不過該方程可以用皮卡迭代序列給出級數解。經過艱苦卓絕的求解（玄學找規律），筆者得到級數式為：
\]
利用Python繪圖顯示影像：
可見當時間趨於無窮時，系統會逐漸穩定在1附近，這符合繩波衝擊響應函數的特點。
註：由於泰勒級數收斂性較差，該級數用double精度計算會在\(x=20\)之後發散。為了正確計算，必須提高計算精度。高精度計算的方法在博文Java 高精度浮點數計算工具中有所介紹。
只要繩頭的位移始終滿足：
\]
即能做到完全吸收向右傳來的波，而避免反射波產生，即「完全吸波邊界條件」。
但是，上式還有一個問題，即仍然需要無限大的儲空間才能記錄所有時刻的\(u_i(t)\)，方法仍然沒有可行性。為了解決這一問題，注意到：
\]
可以設置截斷距離\(L\)，使積分近似為：
u_o(t)&=\int_0^L{F(p)\dot{u_i}(t-p)dp}+\int_L^t{F(p)\dot{u_i}(t-p)dp}\\
&\approx\int_0^L{F(p)\dot{u_i}(t-p)dp}+\int_L^t{1*\dot{u_i}(t-p)dp}\\
&=\int_0^L{F(p)\dot{u_i}(t-p)dp}+u_i(t-L)
\end{aligned}
\]
至此，數學推導部分已經全部完成，只剩下程式實現了。
程式模擬：
由於筆者使用java做科學計算的習慣（怪癖），程式由java實現。共編寫兩個類，一個類進行繩波模擬，另一個專註於計算繩頭的衝擊響應。以下是模擬結果。
固定式邊界條件：
自由式邊界條件：
完全吸波邊界條件：
可以看出，完全吸收式邊界條件較為出色地完成了任務，波包到達邊界後幾乎沒有反彈，就好像邊界為無窮大一樣。
程式碼：
見我的github頁面，測試程式碼也在裡面。程式程式碼比較容易理解。
結束語：
通過本文的推導，我們得出了完全吸波邊界的一種可行方法，該方法在電腦波動模擬中十分有用，尤其適用於包含無窮大場景，需要排除反射波的情況。不過筆者沒有想出來如何在2維以上波動系統中實現類似邊界條件。
* 本文為筆者課程學習閑暇時的一點思考，可能有naive的地方。公式推導基本是自己腦洞的，專業性欠缺，如果有誤請各位高人指正。
