卷積是怎麼【卷】的
- 2019 年 12 月 10 日
- 筆記
前言：
現在人工智慧很火，但是它的數學門檻讓很多人都望而卻步，今天這篇文章就以很通俗的語言來講解了卷積，希望對大家有所幫助。
卷積，這個詞大家應該都不陌生，數學中傅立葉變換的時候，物理中訊號處理的時候，影像處理中濾波的時候、提取邊緣的時候，還有深度學習中卷積神經網路的時候，處處可見卷積的影子。卷積在影像處理中的應用非常廣泛，可以說理解了卷積，就可以理解影像處理演算法的半壁江山，也不知道這個說法是否誇張了。
但是都說卷積卷積，那捲積到底是怎麼個卷法呢？本文嘗試解答這一問題。
理解的卷積計算過程
想要理解卷積，一些必要的數學公式是少不了的，放心吧，就下面這一個公式了，所有討論圍繞這一個公式展開。
我們從維基百科中對於卷積的解釋引入：
設：, 是 上的兩個可積函數，作積分： 可以證明，關於幾乎所有的 ，上述積分是存在的。這樣，隨著 的不同取值，這個積分就定義了一個新函數 ，稱為函數 與 的卷積，記為 。
我們提取下重點公式寫在下面，記為公式1：
以上公式1最令人迷惑也是最需要注意的部分在於，在等式的左邊，自變數是，然而等式的右邊自變數卻變成了，更令人疑惑的是——右邊自變數不是是也就算了,竟然還出現了一個。
那麼問題來了，和，到底哪個在變？還是兩個都在變？如果是都在變，那到底是怎麼個變法？
這些問題還是需要慢慢道來。我們先看一個卷積稍微通俗一點的解釋。
卷積
（1）即是通過兩個函數和生成第三個函數的一種數學運算元。
（2）表徵函數f與經過翻轉和平移的g的乘積函數所圍成的的曲邊梯形的面積。
上面兩句話都非常重要，我們從第二句話開始看，第二句話中包含了以下四個重點資訊：
- 翻轉
- 平移
- 乘積
- 積分（函數圍成的面積不就是積分么？）
我們一個一個來看。先看右邊，我們不妨先令， 也就是不變而變的情況。於是公式1就變成了公式2：
1. 翻轉
先看翻轉，怎麼翻轉一個函數呢，想一下最簡單的，不難發現，翻轉之後即為。我用Python畫出了這倆函數的影像，看起來更為直觀。
f(x)-f(-x)
2. 平移
然後看一下一個函數如何平移，仍然以為例，回一下我們中學學過的數學知識，也許還能記起來，就是由向右平移得到的。我們仍然以圖說話，用Python作圖如下，分別取值為。
f(t-x)
3. 乘積
現在我們只看公式的右邊部分：
現在我們可以知道就是翻轉之後又向右平移了個單位。這時候需要考慮另一個函數了。這裡 我們繼續舉個例子，不妨令。
我們繼續用Python畫出如下圖所示：
fg
4. 積分
現在是較為完整的公式3的樣子了，這裡為了能夠更好地表達，我們把區間從改為，即畫出
int
注意了，在上面的所有過程中，一直是不變的，變的是。即我們上面一直是在做的是公式2右邊的計算，公式2如下：
不論怎麼變化，最後一旦積分，等式右邊就成了一個確定的數字，一個常量。
趣談編程註：積分確定了上下限，面積也就隨之確定了。
一個對應一個嘛。此時我們可以繼續看公式左邊了，我們直接看公式1：
左邊換下位置我們也許會更好理解，即。也即之前提到的一句話：卷積即是通過兩個函數和生成第三個函數的一種數學運算元。
總結一下，卷積計算過程可以分解為四步：翻轉、平移、乘積、積分。
卷積為什麼叫「卷積」？
1. 卷積之【卷】
那麼問題來了？卷積為什麼要叫「卷積」呢？換言之，卷積之「卷」和卷積之「積」分別是什麼含義？
這裡想像一下如果我們要捲起一張A4紙，需要怎麼做？
（1）首先我們需要提起對著自己一條邊，向上翻轉使之對著自己身體前方——翻轉！
捲紙0
（2）然後繼續向下打個圈之後，就可以向前推了——平移！
捲紙1
看到沒？翻轉！平移！
你肯定還記得上面說的卷積計算的四個過程：翻轉、平移、乘積、積分。卷積之「卷」，你明白了嗎？
本文完
什麼？還不能走？你想要畫圖的源碼？
# coding:utf-8 """ Author: CVPy-冰不語 Date: 2019/11/26 """ import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 定義函數f(x) def f(x): """$f (\tau)$""" return x # 定義函數g(x) def g(x): """$f(x)=sin(x)$""" return np.sin(x/10) # 設置坐標系 def set_ax(ax): ax.spines['top'].set_color('none') ax.spines['right'].set_color('none') ax.spines['bottom'].set_color('deepskyblue') ax.spines['left'].set_color('deepskyblue') ax.xaxis.set_ticks_position('bottom') ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) ax.yaxis.set_ticks_position('left') ax.spines['left'].set_position(('data', 0)) ax.set_xticks(np.arange(-100,101, 50)) # ax.set_yticks(np.arange(-100,101, 50)) return ax if __name__ == "__main__": # x的取值範圍 x = np.arange(-100, 100, 0.1) # ---------第一幅圖：f(x)和f(-x)---------- fig = plt.figure(figsize=(6, 6)) # 左邊畫f(x) ax1 = fig.add_subplot(121) ax1 = set_ax(ax1) ax1.plot(x, f(x), 'orange', label=f.__doc__) plt.legend(loc="upper left", bbox_to_anchor=[0, 1], ncol=1, fancybox=True) # 右邊畫f(-x) ax2 = fig.add_subplot(122) ax2 = set_ax(ax2) plt.plot(x, f(-x), 'orange', label="$f (-\tau)$") plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True) plt.show() # ---------第二幅圖：f(t-x)---------- fig2 = plt.figure(figsize=(6, 6)) ax3 = fig2.add_subplot(111) ax3 = set_ax(ax3) ax3.set_xticks(np.arange(-100, 101, 20)) ax3.set_yticks(np.arange(-100, 181, 20)) for t in [20, 40, 60, 80]: plt.plot(x, f(t-x), label="$f (x_0 - \tau) x_0={0}$".format(t)) plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True) plt.show() # ---------第三幅圖：g(x) * f(t-x)---------- t = 80 def f_mul_g(x, t): """$f(\tau-x)*g(\tau)$""" return f(t-x)*g(x) fig3, ax4 = plt.subplots() ax4 = set_ax(ax4) ax4.set_xticks(np.arange(-100,101, 20)) # ax4.set_yticks(np.arange(-100,181, 20)) plt.plot(x, f_mul_g(x, t), label=f_mul_g.__doc__) plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True) plt.show() # ---------第四幅圖：g(x) * f(t-x)的積分---------- import matplotlib.patches as mPatches def int_fg(x, t, ax5): ax5 = set_ax(ax5) plt.plot(x,f_mul_g(x, t), 'orange', label="$f (\tau)*g(x_0-\tau) x_0={0}$".format(t)) plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True) a = -50 b = 50 ix = np.linspace(a,b) iy = f_mul_g(ix,t) verts = [(a,0)] + list(zip(ix, iy)) + [(b,0)] poly = mPatches.Polygon(verts,color='deepskyblue') ax5.add_patch(poly) # plt.plot(x,g(x),label=g.__doc__) plt.text(30, 50, '$int_a^b f (\tau)*g(x_0-\tau) x_0={0}$'.format(t), style='oblique', bbox={'facecolor': 'orange', 'alpha': 0.5, 'pad': 5}, fontsize=15) fig4, ax5 = plt.subplots() int_fg(x, t, ax5) plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True) plt.ion() # for i in range(100): # y = np.random.random() # plt.autoscale() # plt.scatter(i, y) # plt.pause(0.01) fig4, ax5 = plt.subplots() tn = np.arange(-100,100,5) for t in tn: plt.cla() plt.grid(True) plt.autoscale() int_fg(x, t, ax5) plt.pause(0.01) plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True) plt.show()
以上文章來源於CVPy，作者CVPy冰不語
