反直覺的三門問題：Python告訴你，為什麼80%的人都錯了

• 2019 年 12 月 2 日
• 筆記

作者：吹牛Z

來源：數據不吹牛（ID：shujubuchuiniu）

01 什麼是「三門問題」？

我，莫名其妙的出現在舞台中央，所有聚光燈齊齊射來，突如其來的強光刺的我睜不開眼，只聽見場下震耳欲聾的吶喊「堅持你的選擇！堅持你的選擇！」

我趕緊捋了捋腦中殘存的思緒，原來，我穿越到另一個有獎闖關者身上。他一路披荊斬棘，KO掉來自全國的所有競爭對手，此刻，正面臨最後一個挑戰，眼前5000萬大獎唾手可得，萬萬沒想到被我給穿（擠）下線了。

最後一關，是一個叫做「決定」的挑戰，獎金高達5000萬元：

生存，還是毀滅，這是一個問題。換，還是不換，這也是一個問題。 乍一看，第一步就是盲選啊，而且被我擠下線的那個倒霉蟲已經遵循「什麼不會就選C」的選擇題黃金定律選擇了C門。

此刻，主持人友善的打開了B門，門後空空如也，然後狡黠一笑，挑著眉問：「先生，你是堅持最初的選擇C呢？還是投向A門的懷抱？」

「堅持你的選擇！不要臨陣變卦！」觀眾嘶聲力竭。

我有點懵逼，畢竟沒怎麼經歷過這麼大的陣仗，趕緊緊閉雙眼，試圖讓注意力集中，嘴裡念念有詞的回憶當年做選擇題的要訣：

• 三長一短就選短
• 三短一長就選長
• 參差不齊就選D
• 三個選項就蒙C

從經驗的角度來看，蒙C的確是目前的最優選項啊！我清了清嗓子，篤定的開腔」我堅持我最初的選擇！」

主持人笑出了魚尾紋，優雅的打開了所有的門，C門後空空如也，而A門後則是金光閃閃的終極大獎。

擦！大獎擦擦擦擦肩而過！

「看吶！你終於為自己的固執付出代價了！」觀眾瞬間換了腔調，嘲諷的聲浪幾乎把人吞沒。

我胸口越來越悶，一股氣擰成團堵在嗓子眼，盡全力想呼出救命卻發不出任何聲音，突然，眼前一片漆黑。

02 先說結論：一定要改變最初的選擇！

不知過了多久，再次被強光刺醒，發現自己又回到了舞台中央，再次聽見震耳欲聾的吶喊「堅持你的選擇！堅持你的選擇！」《恐怖游輪》中無線循環的場景闖入腦中，一聲聲卧槽在心中回蕩。

「哥們，是你把我擠下線了把！就你這智商，還想贏大獎？」腦海中另一個聲音無比清晰。

我不禁回應道：「剛才C還不是你選的，我只是錯信了傻X而已」

「告訴你吧，第一次的選擇並不重要，關鍵在於，在主持人幫你打開一扇門之後，一定要改變最初的選擇！」

「扯吧你，改了選項之後的選擇題，一定是錯的，當我不知道考場潛規則嘛！」我是個經驗主義者，對他的話表露出一臉不屑。

「這樣吧，我換個思路給你講清楚，總體邏輯其實是一樣的。

假設你現在面前有1000扇門，只有一扇門背後藏著獎品，你第一次隨便選一個門，然後主持人會幫你在你沒選擇的999扇門中打開998扇沒有獎品的門，現在場上還剩你最初選擇的那個門，和主持人幫你排除之後的一個門，你換不換？」

「這個,當然是換的中獎概率更大！但是我們這個玩法好像不太一樣吧」我似懂非懂。

「三扇門選擇的邏輯也是一樣的！只是樣本量不同而已！」他扯著嗓子怒吼。

「我就是不信，剛才其實只是運氣不好，再來一輪准沒問題！」於是，我又一輪堅持自己的選擇，又一次與大獎擦肩而過，又一次胸悶，又一次回到了重生點。 「哥，我為什麼運氣這麼差！」我被這突如其來的循環穿越搞的近乎絕望，只想儘快逃出這個鬼循環。

「說白了，你不改變選擇，中獎概率只有1/3，一旦改變了選擇，中獎概率就會上升到2/3了」他直接拋出了結論，而且語氣平和了許多，好像已經習慣了我的腦迴路。

看著我緊皺的眉心，他嘆了口氣：「閉上眼睛吧，我帶你到思維的平行世界，用邏輯和Python程式碼給你演示，演到你服為止。」

03 Python演示

在我們面前有3個門，大獎藏在某個門背後，我們給大獎所在的門編個號（1號，2號，3號），在1,2,3之間隨機生成，生成幾就表示大獎在幾號門。要讓你信服，我們會玩很多輪，所以定義一個函數，默認是生成100輪的正確答案（也就是玩100次）。

#這裡我們默認是玩100輪  def gen_random(num = 100):      #獎品在1，2，3號門中隨機出現      lst = np.random.randint(1,4,size = num)      return lst  

1. 猜法一，堅持最初的選擇

猜法一就是盲猜，我們從1,2,3個門中隨機猜一個，且不會因為主持人的干擾而改變想法，所以開始猜什麼最終也就是什麼，猜法一比較簡單，我們直接定義一個函數：

#定義基於第一種猜法的函數  def guess_one(num = 100):      #生成正確的答案      lst = gen_random(num)      #猜的輪數和前面生成的輪數一致，這裡默認玩100次（生成100次正確答案，對應猜100次）      guess = np.random.randint(1,4,size = len(lst))      #計算有多少個正確的，相等即為正確，最終返回FALSE和TRUE的序列      judge = (lst == guess)      #因為TRUE默認是1，FALSE默認是0，我們直接求和，來計算正確率是多少      correct_rate = judge.sum() / len(judge)      print('Bro，這次我們玩%d輪~' % num)      print('在第二次不改變選擇的策略下，你最終的中獎率是:%.2f' % (correct_rate * 100))

2. 猜法二，改變最初的選擇

猜法二，先從1，2，3個門中隨機猜一個，當主持人打開一個空門，改變最初的選擇。

無論我們首次的選擇是否中獎，在主持人第一次打開門階段，我們選擇的門不會被打開，背後是大獎的門也不會被打開（有時候可能是同一個）。

先生成數據：

#和上面一樣，隨機生成100次正確答案  lst = gen_random(num)    #第一步，依然是隨機猜100次  guess = np.random.randint(1,4,size = len(lst))    #因為第二次我們會改變選擇，這裡創建一個列表來存儲我們改變後的最終選擇  guess_change = []

• 場景一：我們第一次猜的門沒有獎品

如果正確答案和我們第一次猜的不一致，主持人排除掉一個門（空門)之後我們改變選擇，最終選的肯定是正確答案。舉個栗子：當我們選擇的是A門，大獎藏在B門，那主持人幫我們打開的空門一定是C門，然後問我們是否改變選擇。如果我們第一步猜的和正確答案不一致，改變選擇之後一定會中獎。

#循環遍歷每一輪的正確答案和我們第一步猜的結果  for anwser,g in zip(lst,guess):      #當答案和我們猜的不一樣，那我們改變選擇之後就是正確答案      if anwser != g:          guess_change.append(anwser)

• 場景二：我們第一次就猜對了

當我們猜的門和正確答案一致，主持人隨機打開一扇門之後，我們會選擇剩下一扇未被打開的空門。

繼續舉栗子：如果我們猜的A門，大獎就在A門，那麼真理既然被我們選中，主持人在沒有獎的B和C門中隨機打開一扇都可以，然後問我們是否change，要是B門被打開，那麼剩下A（我們第一步選擇的）和C門，我們改變立場會投向C門的懷抱，結果就是大獎飛走了。

#如果我們第一次就猜到正確答案  if anwser == g:      #生成一個正確答案的範圍      anwser_range = [1,2,3]        #由於我們猜的就是正確答案，先排除掉（因為最後我們會改變選擇）      anwser_range.remove(anwser)        #主持人在我們選擇之外隨機打開一個門      anwser_range.remove(anwser_range[random.randint(0,1)])        #剩下的一個就是我們最終選擇的門      guess_change.append(anwser_range[0])

第二個場景我們也可以順手封裝成一個完整函數，這個注釋更加完整：

def guess_two(num = 100):      #和上面一樣，隨機生成100次正確答案      lst = gen_random(num)      #第一步，依然是隨機猜100次      guess = np.random.randint(1,4,size = len(lst))      #因為第二次我們會改變選擇，這裡創建一個列表來存儲我們改變後的最終選擇      guess_change = []        for anwser,g in zip(lst,guess):            #無論是否中獎，在主持人第一次打開門階段，我們選擇的門不會被打開，背後是大獎的門也不會被打開（有時候可能是同一個）          #舉個栗子：當我們選擇的是A門，大獎藏在B門，那主持人幫我們打開的空門一定是C門，然後問我們是否改變選擇          #也就是說，當我們第一步猜的和正確答案不一致，改變選擇之後一定會中獎            #anwser是正確答案，g是我們第一步猜的          if anwser != g:              #如果正確答案和我們第一次猜的不一致，主持人排除掉一個門之後我們那改變選擇，肯定選的是正確答案——i              guess_change.append(anwser)            else:              #當我們猜的門和正確答案一致，主持人隨機打開一扇門之後，我們會選擇剩下的一扇未被打開的空門              #繼續舉栗子：如果我們猜的A門，大獎就在A門，那麼真理既然被我們選中，主持人在沒有獎的B和C門中隨機打開一扇都可以              #然後問我們是否change，要是B門被打開，那麼剩下A（我們第一步選擇的）和C門，我們改變立場會轉向C門，結果就是大獎飛走了                anwser_range = [1,2,3]              #我們選擇的就是正確答案，先排除掉（因為最後我們會改變選擇）              anwser_range.remove(anwser)              #主持人隨機打開一個門              anwser_range.remove(anwser_range[random.randint(0,1)])                #剩下的一個就是我們最終選擇的門              guess_change.append(anwser_range[0])        #到這一步，我們對剛才改變選擇之後的結果進行匯總      guess_change = np.array(guess_change)      #看看猜對了多少輪      judge = (lst == guess_change)      #正確率是多少      correct_rate = judge.sum() / len(judge)      print('Bro，這次我們玩%d輪~' % num)      print('在第二次改變選擇的策略下，你最終的中獎率是:%.2f' % (correct_rate * 100))

接下來，每種猜法分別玩10，100，1000直到1000萬次。

猜法一：

猜法二：

堅持選擇，獲獎概率最終會穩定在33%，改變選擇，最終會穩定在66%。在鐵一般的事實面前，我完全信服了。 看著我錯愕的眼神，他切掉了這個平行世界的程式碼介面，消失前臉上露出了一副「聰明人的快樂，就是這麼樸實無華且枯燥」的表情。

聚光燈又一次打在我的身上，耳畔再次響起了主持人性感的聲音：「先生，您是否改變最初的選擇」。

已經記不清第一步是誰做出的選擇，也不知道選的什麼門，但是篤定的喊道：「改就完事兒了！」

最終選擇的門緩緩打開，大獎藏在其後！5000萬！！！

在全場的歡呼聲中，憑著我豐富的韭菜經驗，一瞬間便規劃好了理財方針：

• 5000萬的大獎，先交稅，再花1000萬成立程式猿不加班基金會
• 1000萬投P2P，保守估計15%的年化，一年光利息都有150萬進賬
• 接著，1000萬梭哈比特幣，此幣作為傳家寶代代相傳，價值不可估量
• 最後，剩下的……

話音未落，眼前一黑。

我，大獎得主，韭菜大拿，不知道被誰擠下線了……