五道邏輯思維題

• 2021 年 2 月 20 日
• 筆記

文章首發於微信公眾號：幾何思維

問題1

1.1 問題描述

從1到100排列成一排，總共100個數，每一輪抽走奇數位置的數，問最後剩下哪個數？

1.2.分析

先思考小規模的問題，例如從1到10，模擬整個抽取過程如下。

第1輪抽取完剩下所有偶數，如果都除以2，就變成了1到5的小問題；第2輪抽取後，還是剩下偶數，再除以2，變成1到2。

所以最後剩下的數如果因式分解，就是包含因數2最多的數。那麼還原上面的問題，1到100最後剩下的數是64。

問題2

2.1 問題描述

編號為1~100的燈，初始時都開著。
現進行如下操作：

• 編號為1的倍數的燈反方向撥一次開關。
• 編號為2的倍數的燈反方向撥一次開關。
• …
• 編號為100的倍數的燈反方向撥一次開關。

問最後哪些燈是關閉的狀態？

2.2 分析

輪次數如果為燈編號的因數，那就需要操作一次開關。
而且還能得出：

• 操作偶數次開關，狀態不變
• 操作奇數次開關，狀態改變

所以問題就轉化為判斷每個燈的編號有奇數個還是偶數個因數。

例如\(12=1\times 12=2\times 6=3\times 4\)。
可以看出因數是對稱的，如果2個因數不一樣，肯定有偶數個因數。
只有能開平方的數才有奇數個因數，比如\(9=1\times 9=3\times 3\)。
所以最後關閉的燈編號為1，4，9，16，25，36，49，64，81。

問題3

3.1 問題描述

假設有8個球，其中有一個球偏重。給你一個天平，問最少要稱幾次就能找出這個偏重的球？

3.2 分析

天平不能稱出具體的重量，只能比較，所以每一次兩邊的球數量要一樣多。
很容易就可以想到用2分的方法，先4+4，再2+2，再1+1，總共3次就可以找出來。
那有沒有更少次數的方法呢？
如果第一次稱3+3，有2種情況如下：

• 平，剩下2個球，再稱一次就能找出來
• 不平，在重的3個球中，選擇2個球1+1稱一次，也能一次找出來

還能更少嗎？答案是不能了，因為還剩下2+2或者1+1稱第一次，都無法一次找出來，所以最少要兩次就能找出偏重的球。

問題4

4.1 問題描述

兩個桶分別裝了一樣多的紅色和藍色的顏料。先從藍色桶里舀一杯倒入紅色中，攪拌不均勻。再從有藍色的紅色桶中舀一杯倒入藍色桶里，問兩個桶中藍：紅與紅：藍的大小關係？

4.2 分析

第二步舀的時候，因為不均勻，所以無法知道具體有多少比例的紅色和藍色，可以換一個角度來考慮。
因為是用的相同大小的杯子，所以兩次操作後，兩邊的桶里的總體顏色是一樣多的。假設紅色裡面混了一部分藍色的顏料體積為X升，那麼就有X升的紅色顏料到了藍色的桶里，所以兩邊的比例是一樣的。

問題5

5.1 問題描述

有無限多的水，給你兩個杯子，容量分別為5升和6升，問如何量出3升水？

5.2 分析

杯子沒有具體的刻度，所以肯定要裝滿才有意義。兩個杯子相差1升，所以要利用之間的差來量出其它的容量。
步驟如下：

• 將6升裝滿，再倒入5升中，剩下1升；將這1升轉移到5升容量的杯子里
• 再將6升裝滿，再倒入5升中，剩下2升；將這2升轉移到5升容量的杯子里
• 繼續將6升裝滿，再倒入5升中，剩下3升

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