概率也會欺騙你
- 2019 年 11 月 30 日
- 筆記
有一道包含四個選項的單選題，你發現你完全不知道該怎麼做。在不考慮「三短一長選一長」「遇到不會就選 C」的玄學答題法時，你有一個機會去掉一個錯誤選項，然後就只能隨機瞎選。請問這時你選到正確答案的概率是多少？
老師，這道題我會答，是 1/3！
恭喜你答對了！沒去掉錯誤選項時，答對概率是 1/4，去掉就只剩三個選項了，所以是 1/3。
規則變一下，你先在四個選項中選一個，然後老師在剩下的三個選項中去掉一個錯誤答案，請問你要不要更改答案？
這就要看改與不改，正確的概率分別是多少了。
- 如果不改，因為老師總能去掉一個錯誤答案，這件事有沒有對你沒有任何影響（因為你沒改答案）。所以正確率仍為 1/4
- 如果改，沒去掉選項前剩下選項的正確率之和為 3/4，去掉一個錯誤選項，其他兩個選項的正確率為： 3/4 ÷ 2 = 3/8。所以改答案更優。
哈？
不懂沒關係，我們換個極端的情況，有 100 個選項，你選了 1 個，老師去掉了錯誤的 98 個，問你要不要改成沒去掉的那一個？
老師你當我傻比嗎？你沒去掉那一個，正確率是 99%！當然要改。
一個是先去掉再選，一個是先選再去掉，這裡面有什麼區別？
有區別，老師去掉錯誤答案時，是告訴你一個資訊：去掉的選項，是 100% 錯誤的。這樣你的概率空間就縮小了。100 個選項情況下，你選某一個時，概率空間仍是完整的，100 選 1。你選的正確率是 1%，剩下的 99 個選項平分 99% 正確率（每個 1%）。老師去掉了 9 8個錯誤選項，是告訴你這98個選項的正確率都是 0%。所以那個沒去掉的選項就獨得 99% 正確率。
有沒有資訊，能影響一件事情的概率分布。比如一個 6 位數的密碼，你什麼資訊也不知道，和你已知前 5 位數，猜對的概率有天壤之別。再看下一題：
- 已知老王有兩個孩子，老大是男孩，請問老二也是男孩的概率是多少？
- 已知老王有兩個孩子，其中有一個是男孩，請問另一個也是男孩的概率是多少？
- 已知老王有兩個孩子，老大是周二出生的男孩，請問老二也是男孩的概率是多少？
- 已知老王有兩個孩子，其中有一個是周二出生的男孩，請問另一個也是男孩的概率是多少？
冷靜！先把刀放下，我先揭曉一下正確答案：1/2, 1/3, 1/2, 13/27。
第一題，很簡單，獨立同分布，老大是男是女不影響老二的性別。1/2
第二題和第一題區別在哪呢？想像一下出題人出第一題的時候，他只需要看老大的性別就可以跑來問你了，可能老二他見都沒見到。但第二題呢，他可能觀察了兩個孩子的性別，然後告訴你其中有一個是男孩，問你另一個的性別。我們不知道這孩子是男是女，也不知道他是老大老二，它的概率空間比第一題要大了。有可能這個孩子是老大，是男孩，那老二是男是女都無所謂（根據題設）。也有可能這個孩子是老二，是女孩，那老大就必須是男孩。所以我們需要列出兩個孩子性別的聯合分布：男男，男女，女男，女女。女女這個情況已經被觀察者去掉了，所以剩下三種情況，另一個也是男孩（男男）的概率是 1/3。
當然，第一題也可以列聯合分布來做，去掉的是（女男、女女），剩下兩種情況，男男的概率是 1/2。可以發現，給定其中一個孩子的性別，另一個孩子性別的分布沒有變化，仍是 1/2，這就是獨立分布的意義。
第三題，同樣，出題人沒有給出任何第二個孩子的資訊，第二個孩子的性別是獨立的， 1/2。就算你說破大天，說老大是大隊長三好學生鋼琴十級，仍然沒有 P 用。老二是男孩子的概率還是 1/2。
第四題，出題人問的是另一個孩子的性別，又沒問星期幾齣生，你告訴我老大是周二出生有什麼用，Who TM cares? No, no, no（搖手指）。這就是多餘的資訊起到的微妙的作用。出題人也要觀察兩個孩子，問他娘，老王的媳婦他們是周幾齣生的，才能告訴你這個資訊。有三個維度：排行、性別、周幾齣生，概率空間又擴大了。我們用 B 表示男孩子，G 表示女孩，周幾齣生用 數字 表示，比如 2B 是周二出生的男孩。列出所有包含 2B 的情況：
| 2B 1B | 2B 2B | 2B 3B | 2B 4B | 2B 5B | 2B 6B | 2B 7B | | 2B 1G | 2B 2G | 2B 3G | 2B 4G | 2B 5G | 2B 6G | 2B 7G | | 1G 2B | 2G 2B | 3G 2B | 4G 2B | 5G 2B | 6G 2B | 7G 2B | | 1B 2B | 3B 2B | 4B 2B | 5B 2B | 6B 2B | 7B 2B |
其中兩個男孩的情況（第一行和最後一行）佔總數的 13/27，略小於 1/2。可以想像，條件給的越精確，這個數會越接近 1/2。
現在大家都喜歡把「薛定諤的貓」當段子講，其實它的原理跟上面的例子一樣：因為我們的觀察，獲得了資訊，導致了概率分布的改變。原來是一半生一半死，一觀察，就變成 100% 的生或死了。
