李宏毅機器學習課程筆記-5.3神經網路中的反向傳播演算法
鏈式法則（Chain Rule）
- \(z=h(y),y=g(x)\to\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}\)
- \(z=k(x,y),x=g(s),y=h(s)\to\frac{dz}{ds}=\frac{dz}{dx}\frac{dx}{ds}+\frac{dz}{dy}\frac{dy}{ds}\)
反向傳播演算法（Backpropagation）
變數定義
如下圖所示，設神經網路的輸入為\(x^n\)，該輸入對應的label是\(\hat y^n\)，神經網路的參數是\(\theta\)，神經網路的輸出是\(y^n\)。
整個神經網路的Loss為\(L(\theta)=\sum_{n=1}^{N}C^n(\theta)\)。假設\(\theta\)中有一個參數\(w\)，那\(\frac{\partial L(\theta)}{\partial w}=\sum^N_{n=1}\frac{\partial C^n(\theta)}{\partial w}\)。
一個神經元的情況
如下圖所示，\(z=x_1w_1+x_2w_x+b\)，根據鏈式法則可知\(\frac{\partial C}{\partial w}=\frac{\partial z}{\partial w}\frac{\partial C}{\partial z}\)，其中為所有參數\(w\)計算\(\frac{\partial z}{\partial w}\)是Forward Pass、為所有激活函數的輸入\(z\)計算\(\frac{\partial C}{\partial z}\)是Backward Pass。
Forward Pass
Forward Pass是為所有參數\(w\)計算\(\frac{\partial z}{\partial w}\)，它的方向是從前往後算的，所以叫Forward Pass。
以一個神經元為例，因為\(z=x_1w_1+x_2w_x+b\)，所以\(\frac{\partial z}{\partial w_1}=x_1,\frac{\partial z}{\partial w_2}=x_2\)，如下圖所示。
規律是：該權重乘以的那個輸入的值。所以當有多個神經元時，如下圖所示。
Backward Pass
Backward Pass是為所有激活函數的輸入\(z\)計算\(\frac{\partial C}{\partial z}\)，它的方向是從後往前算的，要先算出輸出層的\(\frac{\partial C}{\partial z}\)，再往前計算其它神經元的\(\frac{\partial C}{\partial z}\)，所以叫Backward Pass。
如上圖所示，令\(a=\sigma(z)\)，根據鏈式法則，可知\(\frac{\partial C}{\partial z}=\frac{\partial a}{\partial z}\frac{\partial C}{\partial a}\)，其中\(\frac{\partial a}{\partial z}=\sigma'(z)\)是一個常數，因為在Forward Pass時\(z\)的值就已經確定了，而\(\frac{\partial C}{\partial a}=\frac{\partial z’}{\partial a}\frac{\partial C}{\partial z’}+\frac{\partial z”}{\partial a}\frac{\partial C}{\partial z”}=w_3\frac{\partial C}{\partial z’}+w_4\frac{\partial C}{\partial z”}\)，所以\(\frac{\partial C}{\partial z}=\sigma'(z)[w_3\frac{\partial C}{\partial z’}+w_4\frac{\partial C}{\partial z”}]\)。
對於式子\(\frac{\partial C}{\partial z}=\sigma'(z)[w_3\frac{\partial C}{\partial z’}+w_4\frac{\partial C}{\partial z”}]\)，我們可以發現兩點：
-
\(\frac{\partial C}{\partial z}\)的計算式是遞歸的，因為在計算\(\frac{\partial C}{\partial z}\)的時候需要計算\(\frac{\partial C}{\partial z’}\)和\(\frac{\partial C}{\partial z”}\)。
如下圖所示，輸出層的\(\frac{\partial C}{\partial z’}\)和\(\frac{\partial C}{\partial z”}\)是容易計算的。
-
\(\frac{\partial C}{\partial z}\)的計算式\(\frac{\partial C}{\partial z}=\sigma'(z)[w_3\frac{\partial C}{\partial z’}+w_4\frac{\partial C}{\partial z”}]\)是一個神經元的形式
如下圖所示，只不過沒有嵌套sigmoid函數而是乘以一個常數\(\sigma'(z)\)，每個\(\frac{\partial C}{\partial z}\)都是一個神經元的形式，所以可以通過神經網路計算\(\frac{\partial C}{\partial z}\)。
總結
- 通過Forward Pass，為所有參數\(w\)計算\(\frac{\partial z}{\partial w}\)；
- 通過Backward Pass，為所有激活函數的輸入\(z\)計算\(\frac{\partial C}{\partial z}\)；
- 最後\(\frac{\partial C}{\partial w}=\frac{\partial C}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial w}\)，也就求出了梯度。
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