Python利用最優化演算法求解投資內部收益率IRR【一】

2021 年 1 月 19 日
筆記
IRR, Python, SciPy

一、內部收益率和凈現值

內部收益率（Internal Rate of Return, IRR)其實要和凈現值（Net Present Value， NPV）結合起來講。凈現值指的是某個投資項目給公司或企業帶來的價值增值，可以簡單地用以下公式去計算。

1.凈現值：

NPV = CF₀ + CF₁/(1+r₁) + … + CF_t/(1+r_t)^t

其中，CF₀是初始投資額，是一個負值，代表現金的流出；t表示時間，指第t期；後面的CF₁，CF₂，…，CF_t這些是每期的回報金額，為正值，表示投資所得的收益。r₁，r₂，…、r_t是指每期的折現率。

舉個比較通俗的例子，我們花100萬元投資了一個一年期理財產品，預期收益率為10%，一年期國債利率為5%，投資是否合算？

這裡涉及到折現率的相關知識，簡單介紹一下：我們都知道銀行存款是有利率的，我們把10000塊錢存到銀行，一年後，連本帶息就會超過10000元。如果我們不把錢存銀行，一年後還是10000元錢，不存錢相當於虧掉了那麼多利息的錢。也就是說，在存入銀行後，一年後的10000元的拿到現在來看，實際是不到10000元的，我可能存9500，一年後就能拿到10000。這就是一個折現的概念，用時間來換利息。

我們再看這個問題，
1年後，預期的現金流就是：
100×(1+10%)=110（萬元)，
然後，我們按照國債的利率5%來對其折現（假設該產品與國債信用風險相當），即：一年後的110萬元，如果我們按信用等級較高的國債去投資，現在價值多少?
答案是：110/（1+5%）。
計算凈現值：
NPV = -100 + 110/（1+5%）= 4.7619（萬元）
凈現值是正的，說明這筆投資合算。當然，這裡其實只看年利率就可以做出簡單的判斷，實際情況下，不論是理財產品還是國債利率都是浮動的。

2.內部收益率

前面我們取的折現率是國債的利率，是一個與投資決策之外的值，也可以理解是外部的收益率。這裡內部收益率，指的是使凈現值等於0時的折現率，就稱為內部收益率（IRR)。我們用一個固定的折現率r去計算，令NPV=0，則
0 = CF₀ + CF₁/(1+r) + … + CF_t/(1+r)^t
那麼，此時的r在數值上與IRR相等。因此，我們只要知道每年的現金流量情況，就能計算出該筆投資的IRR，將IRR與r相比，若IRR>r，則該項目值得投資；若IRR<r，則該項目不值得投資，不如去買同期的穩定國債之類的產品。

3.內部收益率的簡單計算

如下表所示，第0年也就是現在，產生了-500萬的現金流量，即用500萬元去做一個投資，1年、2年、3年後的現金流量均為正的100萬元、200萬元和300萬元。假設還是以5%的國債利率去做折現，這筆投資是否值得？

年份	現金流 (萬元）
0	-500
1	100
2	200
3	300

計算內部收益率，將其與國債利率比較，
-500 + 100/(1+IRR) + 200/(1+IRR)^2 + 300/(1+IRR)^3 vs 5%
計算得到
IRR約為8% >5%，該筆投資值得。
從另一個角度看，這筆投資3年後累計現金流為+100萬元，如果買3年期利率為5%的國債，則累計現金流為
500×(1+5%)^3-500=78.8125(萬元) < 100(萬元)

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