FFT原理及C++與MATLAB混合編程詳細介紹
一：FFT原理
1.1 DFT計算
在一個周期內的離散傅里葉級數(DFS)變換定義為離散傅里葉變換(DFT)。
X(k) = \sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{kn}, & 0 \le k \le {N-1} \\
x(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{-kn}, & 0 \le n \le {N-1} \\
\end{cases}
\]
其中，\(W_N = e^{-j\frac{2\pi}{N}}\)。\(X(k)\)是\(x(n)\)的離散傅里葉變換。
用矩陣方程可以更加清楚的看出DFT的變換過程：
\]
\(X = \begin{pmatrix}
X(0) \\
X(1) \\
x(2) \\
\vdots \\
X(N-1) \\
\end{pmatrix}\)；\(W = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & W_N^1 & W_N^2 & \cdots & W_N^{N-1} \\
1 & W_N^2 & W_N^4 & \cdots & W_N^{2(N-1)} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & W_N^{N-1} & W_N^{2(N-1)} & \cdots & W_N^{(N-1)(N-1)} \\
\end{pmatrix}\)；\(x = \begin{pmatrix}
x(0) \\
x(1) \\
x(2) \\
\vdots \\
x(N-1) \\
\end{pmatrix}\)
可以看出，長度為\(N\)的有限長序列\(x(n)\)，其離散傅里葉變換\(X(k)\)仍是一個長度為\(N\)的有限長序列。由(1)可看出時間複雜度為\(O(N^2)\)，如果\(N = 1024\)點的話，需要1048576(一百多萬)次複數乘法。DFT的計算量實在是太大了，於是有了後面的優化版本：快速傅里葉變換(FFT)。
1.2 FFT計算
1.2.1 性質鋪墊
由於係數\(W_N^{nk} = e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}\)是一個周期函數，可以用它的性質來改進演算法，提高計算效率。
-
性質一：\(W_N^{k + \frac{N}{2}} = -W_N^k\) (對稱性)
-
性質二：\(W_N^{nk} = W_1^{\frac{nk}{N}}\) (同除一個常數)
這裡主要利用以上兩個性質，把長度為N點的大點數的DFT運算依次分解為若干個小點數的DFT。因為DFT的計算量正比於\(N^2\)，\(N\)小計算量也小。
1.2.2 按時間抽取的基2FFT(N點)
假設進行FFT的點數N是2的整次方(基2)，首先將序列分為兩組，一組為偶數項，一組為奇數項，然後進行如下的變換，推導如下：
X(k) &= \sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk} \notag\\
&= \sum_{n=0為偶數}^{N-2}x(n)W_{N}^{nk} + \sum_{n=1為奇數}^{N-2}x(n)W_{N}^{nk} \notag\\
&= \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r)W_{N}^{2rk} + \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r+1)W_{N}^{(2r+1)k} \notag\\
&= \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r)W_{N}^{2rk} + W_N^k \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r+1)W_{N}^{2rk} （由性質二\downarrow）\notag\\
&= \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r)W_{\frac{N}{2}}^{rk} + W_N^k \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r+1)W_{\frac{N}{2}}^{rk} ，0 \le k \le \frac{N}{2} – 1 \tag{2}
\end{align}
\]
可以看出求\(x(n)\)的DFT變成了求其偶數項的DFT和奇數項的DFT的組合，但注意這隻計算出了前一半的DFT值，後一半由如下性質得到：
由性質一\(\downarrow\)
\]
這樣一來，我們就計算出了完整的\(x(n)\)的DFT值，其實這就是FFT的核心思想了，接下來我們用蝶形圖讓上面的計算步驟更直觀形象一些。
1.3 蝶形訊號流圖
用\(G(k)\)代替偶數項DFT，用\(H(k)\)代替奇數項DFT，則整理公式(2)、(3)為：
X(k) = G(k) + W_N^k H(k)，& 0 \le k \le \frac{N}{2} – 1\\
X(k + \frac{N}{2}) = G(k) – W_N^k H(k), & 0 \le k \le \frac{N}{2} – 1 \tag{4} \\
\end{cases}
\]
其中
G(k) = \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r)W_{\frac{N}{2}}^{rk}\\
H(k) = \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r+1)W_{\frac{N}{2}}^{rk} \tag{5} \\
\end{cases}
\]
從（4）和（5）可以看出，我們可以把一串時域數據分成偶數部分和奇數部分來計算\(G(K)\)和\(H(k)\)，同樣也可以再把偶數部分再分成偶數部分和奇數部分計算，直到分到最後只剩下兩個數據，再遞歸計算出FFT結果，具體直觀點的流程見下面經典的N點蝶形圖：
二：FFT的C++實現
#include <iostream> // fft演算法實現，基2時間抽取
#include <vector>
#include <ctime>
using namespace std;
const double PI = acos(-1); // pi值
struct Cpx // 定義一個複數結構體和複數運演算法則
{
double r, i;
Cpx() : r(0), i(0) {}
Cpx(double _r, double _i) : r(_r), i(_i) {}
};
Cpx operator + (Cpx a, Cpx b) { return Cpx(a.r + b.r, a.i + b.i); }
Cpx operator - (Cpx a, Cpx b) { return Cpx(a.r - b.r, a.i - b.i); }
Cpx operator * (Cpx a, Cpx b) { return Cpx(a.r * b.r - a.i * b.i, a.r * b.i + a.i * b.r); }
void fft(vector<Cpx>& a, int lim, int opt)
{
if (lim == 1) return;
vector<Cpx> a0(lim >> 1), a1(lim >> 1); // 初始化一半大小，存放偶數和奇數部分
for (int i = 0; i < lim; i += 2)
a0[i >> 1] = a[i], a1[i >> 1] = a[i + 1]; // 分成偶數部分和奇數部分
fft(a0, lim >> 1, opt); // 遞歸計算偶數部分
fft(a1, lim >> 1, opt); // 遞歸計算偶數部分
Cpx wn(cos(2 * PI / lim), opt * -sin(2 * PI / lim)); //等於WN
Cpx w(1, 0);
for (int k = 0; k < (lim >> 1); k++) // 見蝶形圖1運算過程
{
a[k] = a0[k] + w * a1[k];
a[k + (lim >> 1)] = a0[k] - w * a1[k];
w = w * wn;
}
//for (int k = 0; k < (lim >> 1); k++) // 見蝶形圖2，小優化一下，少一次乘法
//{
// Cpx t = w * a1[k];
// a[k] = a0[k] + t;
// a[k + (lim >> 1)] = a0[k] - t;
// w = w * wn;
//}
}
int main()
{
int opt = 1; // 1為FFT，-1為IFFT
vector<Cpx> a(16); // 這裡固定為16點，可以改變
for (int i = 0; i < 16; i++) // 隨機生成16個數作為待處理的數據
{
Cpx c = Cpx(cos(0.2 * PI * i), 0);
a[i] = c;
}
if (1 == opt)
fft(a, 16, opt); // a數組成為FFT過後的值
else if (-1 == opt)
{
fft(a, 16, opt); // a數組成為IFFT過後的值
for (int i = 0; i < 512; i++) a[i].r /= 512, a[i].i /= -512;// IFFT要除以長度
}
else;
return 0;
}
三：MATLAB與C++混合編程
在工程上有的時候為了使數據處理更快或者支援某些定點運算，而選擇將某些處理步驟用C/C++來處理，其實一般工程用MATLAB處理速度已經足夠了，混合編程也全當是複習一下C++吧。
MATLAB與C++混合編程分為MATLAB中調用C++和C++中調用MATLAB，這裡我們討論的是前者。MATLAB與C++混合編程不是簡單的把兩種語言寫在一起就行，而是需要遵循一種介面規範，具體在3.2中討論。
3.1 混合編程步驟
從MATLAB的編譯器配置到最後程式跳轉到VS中打斷點調試，在整個混合編程的過程中遇到了不少的困難，網上能找的資料多但是也雜亂，這裡總結一下我從開始到最後所做的步驟。
① 我是用的是MATLAB2019b和VS2019，之前用的MATLAB2016，然後下載什麼2019支援文件，修改註冊表等等搞了很久也沒弄好，索性直接換MATLAB2019b。
② MATLAB中運行mex -setup C++與mbuild -setup C++，如果不成功那就是當前版本的MATLAB不支援當前版本的Visual Studio，建議把MATLAB版本升高。不建議把VS的版本降低，會有兼容問題。
③ 不需要創建工程，直接創建一個xx.cpp文件按照mex介面定義寫一個C++程式（具體程式之後討論）。之前創建工程搗鼓了很久VS裡面的配置問題，比如鏈接extern庫等等，但感覺最後也並不需要創建工程，所以並不需要配置這些外部鏈接庫？直接寫xx.cpp文件就好了？（我也不太確定，也可能有用）
④ 程式寫好之後在MATLAB中運行mex -g xx.cpp，如果xx.cpp程式寫的符合規範的話，就會mex成功，生成xx.mexw64和xx.pdb文件；如果mex失敗的話根據MATLAB返回的警告去修改程式碼。注意為了之後能進入到VS2019里斷點調試，要加-g。
⑤ 在MATLAB腳本中寫相應的測試程式，設置斷點運行停在xx()函數處。
⑥ 用VS2019打開xx.cpp文件，在『調試』一欄找到『添加到進程』，進去 選擇『本機』，然後把MATLAB添加到進程。在你想停的地方設置斷點。
⑦ MATLAB繼續運行，則進入到VS2019中的相應斷點處。（最後兩步有可能進不去，其實我也是有時候能進去有時候不能，暫時也沒有什麼好的解決辦法）
3.2 介面使用
mex文件是MATLAB中.m文件與VS中.cpp文件的橋樑，mex介面好壞關係到我們的MATLAB數據能不能正確地在C++程式中運行。
其中最重要的頭文件和介面主函數如下，寫法是固定的。
#include "mex.h"
void mexFunction(int nlhs, mxArray *plhs[], int nrhs, const mxArray *prhs[])
int nrhs：輸入參數的個數
mxArray *prhs[]:輸入參數的指針數組
int nlhs：輸出參數的個數
const mxArray *plhs[]：輸出參數的指針數組
注意輸入和輸出都是以指針的形式傳輸的，可以理解成MATLAB把它的參數放到了某個地址處，然後C++中根據這個參數的長度去相應地址處讀取相應長度的數據，就完成了參數的傳遞過程。相反最後再傳遞迴去。
下面總結幾個常用的mex函數：
讀取參數時會用到的函數：
// 複數單值讀取
double Nr1 = *mxGetPr(prhs[0]); // 讀取第一個參數的實部
double Ni2 = *mxGetPr(prhs[1]); // 讀取第二個參數的虛部
// 地址讀取
double* Pr1 = mxGetPr(prhs[0]); // 讀取第一個參數的實部地址
double* Pi2 = mxGetPi(prhs[0]); // 讀取第一個參數的虛部地址
// 矩陣維度讀取
int M = mxGetM(prhs[2]); // 讀取第三個參數的行數
int N = mxGetN(prhs[2]); // 讀取第三個參數的列數
待補充
輸出參數時會用到的函數：
// 輸出復矩陣
plhs[0] = mxCreateDoubleMatrix(M, N, mxCOMPLEX); // 創建M*N的復矩陣
double* outPr = mxGetPr(plhs[0]);
double* outPi = mxGetPi(plhs[0]);
待補充
3.3 FFT的MATLAB/C++混合實現
先將第二章中FFT的程式碼用mex介面改寫成如下形式：
# include "mex.h"
# include <vector>
# include <ctime>
const double PI = acos(-1); // pi
struct Cpx // 定義一個複數結構體和複數運演算法則
{
double r, i;
Cpx() : r(0), i(0) {}
Cpx(double _r, double _i) : r(_r), i(_i) {}
};
Cpx operator + (Cpx a, Cpx b) { return Cpx(a.r + b.r, a.i + b.i); }
Cpx operator - (Cpx a, Cpx b) { return Cpx(a.r - b.r, a.i - b.i); }
Cpx operator * (Cpx a, Cpx b) { return Cpx(a.r * b.r - a.i * b.i, a.r * b.i + a.i * b.r); }
void fft(std::vector<Cpx>& a, int lim, int opt)
{
if (lim == 1) return;
std::vector<Cpx> a0(lim >> 1), a1(lim >> 1);
for (int i = 0; i < lim; i += 2)
a0[i >> 1] = a[i], a1[i >> 1] = a[i + 1]; // 分成偶數部分和奇數部分
fft(a0, lim >> 1, opt);
fft(a1, lim >> 1, opt);
Cpx wn(cos(2 * PI / lim), opt * -sin(2 * PI / lim));
Cpx w(1, 0);
for (int k = 0; k < (lim >> 1); k++) // 蝶形運算過程
{
a[k] = a0[k] + w * a1[k];
a[k + (lim >> 1)] = a0[k] - w * a1[k];
w = w * wn;
}
}
void mexFunction(int nlhs, mxArray* plhs[], int nrhs, const mxArray* prhs[]) // mex主函數
{
int M = mxGetM(prhs[0]); // 輸入矩陣行數
int N = mxGetN(prhs[0]); // 輸入矩陣列數
double* xpr = mxGetPr(prhs[0]); // 輸入矩陣實部指針
double* xpi = mxGetPi(prhs[0]); // 輸入矩陣虛部指針
int lim = *mxGetPr(prhs[1]); // 輸入參數，長度，這裡輸入的為行向量，所以lim = N，M = 1
int opt = *mxGetPr(prhs[2]); // 輸入參數，選擇， 1為FFT，-1為IFFT
plhs[0] = mxCreateDoubleMatrix(M, N, mxCOMPLEX); // 輸出矩陣創建（重要）
double* ypr = mxGetPr(plhs[0]); // 輸出矩陣實部指針
double* ypi = mxGetPi(plhs[0]); // 輸出矩陣虛部指針
std::vector<Cpx> a(lim); // 用vector存儲數據
for (int i = 0; i < lim; i++) // 輸入向量傳入
{
a[i].r = xpr[i];
a[i].i = xpi[i];
}
if (1 == opt)
fft(a, lim, opt); // a數組變為FFT過後的值
else if (-1 == opt)
{
fft(a, lim, opt); // a數組變為IFFT過後的值
for (int i = 0; i < lim; i++) a[i].r /= lim, a[i].i /= lim;// IFFT要除以長度
}
else;
for (int i = 0; i < lim; i++) // 輸出向量傳出
{
ypr[i] = a[i].r;
ypi[i] = a[i].i;
}
return;
}
再在MATLAB腳本中寫如下程式：
clear all
mex fftxx.cpp -g
a = randn(1, 16) + 1i * randn(1, 16); % 隨機生成16個複數數據
fftsize = 16;
b = fftxx(a, fftsize, 1) % 傳入C++中進行FFT處理
b1 = fft(a,fftsize) % MATLAB系統函數進行FFT處理
c = fftxx(b, fftsize, -1) % 傳入C++中進行IFFT處理
c1 = ifft(b, fftsize) % MATLAB系統函數進行IFFT處理
最後運行該.m程式，在MATLAB命令行窗口中可以看到b和b1，c和c1輸出結果完全一致。
