詳解三道一維的動態規劃演算法題

2019 年 11 月 22 日
筆記

來源：知乎（已獲得授權）

作者：單金折

例1: 打家劫舍

動態規劃思考步驟：

1、原問題：

在一條直線上，有n個房屋，每個房屋中有數量不等的財寶，有一個盜賊希望從房屋中盜取財寶，由於房屋中有報警器，如果同時從相鄰的兩個房屋中盜取財寶就會觸發報警器。問在不觸發報警器的前提下，最多可獲取多少財寶？例如 [5，2，6，3，1，7]，則選擇5，6，7

來源於LeetCode 198. House Robber

2 、子問題：

（1）、只考慮前兩個房間時，誰大選誰（2）、考慮第三個房間

如果偷第三個房間，則意味著第二個房間不投，也就是第三個房間值 + 第一個房間的寶藏數量
如果不偷第三個房間，則寶藏數量等於前兩個房間寶藏數量

3、確認狀態：

int [] nums; // 各個房間的寶藏數

int [] flags = new int [n]; // 記錄各個房間有沒有被偷，若flag = 0 則沒偷， flag = 1 則偷了。

int [] dp = new int [n]; // dp[i]表示前i個房間偷到的最大寶藏數

4、初始狀態：

第一個房間：

Condistion 1 ：dp[0] = nums[0] ; flags[0] = 1;
Condistion 2 ：dp[0] = 0; flags[0] = 0;

第二個房間：

Condistion 1 ：when flags[1] = 1; dp[1] = nums[1];
Condistion 2 ：whenflags[1] = 0; dp[1] = dp[0];
選 Condistion 1 還是 Condistion 2呢？比較兩種情況下dp[1]的大小推廣到前i個房間: (i>=2)
when flags[i] = 1, dp[i] = nums[i] + dp[i-2]
when flags[i] = 0; dp[i] = dp[i-1]

5、狀態轉移方程：

dp[0] = nums[0];  dp[1] = max(nums[0],nums[1]);  for(int i = 2;i<n;i++)      dp[i] = max(nums[i] + dp[i-2],dp[i-1])

6、程式碼實現

class Solution {      public int rob(int[] nums) {          if(nums.length == 0)              return 0;          int [] dp = new int[nums.length];          dp[0] = nums[0];          // 每次做數組判定時都需要做數組邊界判定，防止越界          if(nums.length < 2)              return nums[0];          dp[1] = (nums[0]>nums[1]) ? nums[0] : nums[1];          for(int i = 2;i<nums.length;i++)              dp[i] = ((nums[i] + dp[i-2]) > dp[i-1]) ? (nums[i]+dp[i-2]) : dp[i-1];          return dp[nums.length-1];      }  }

例2:最大子段和

動態規劃思考步驟：

1、原問題

給定一個數組，求這個數組的連續子數組中，最大的那一段的和。如數組[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 的子段為：[-2,1]、[1,-3,4,-1]、[4,-1,2,1]、…、[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，和最大的是[4,1,2,1]，為6。

示例：  Input: int [] nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],  Output: 6  Explanation: [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

來源於LeetCode 53. Maximum Subarray

2、子問題

只考慮第一個元素，則最大子段和為其本身 DP[0] = nums[0]
考慮前兩個元素，最大子段和為 nums[0],num[1]以及 nums[0] + num[1] 中最大值設為DP[1]
考慮前三個元素，如何求其最大子段和？還是分為兩種情況討論，第三個元素在最後的字串內嗎？
- 若第三個元素也包含在最後的字串內，則DP[2] = Max(DP[1]+nums[2] , nums[2])

3、確認狀態

DP[i] 為以nums[i]結尾的子段的最大最短和

例如 DP[1]則為以nums[1]結尾的最大欄位和

4、初始狀態

dp[0] = nums[0]

dp[1] = max(dp[0]+nums[1] , nums[1])

5、狀態轉移方程：

dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i],nums[i])

6、解題程式碼：

public class lc53_MaximumSubarray {      public int maxSubArray(int[] nums) {          int len = nums.length;          if(len == 0)              return 0;          int [] dp = new int[len];          dp[0] = nums[0];          int max = dp[0];          for (int i = 1; i<len;i++){              dp[i] = (dp[i-1]+nums[i] > nums[i]) ? dp[i-1]+nums[i] : nums[i];              if (dp[i]>max)                  max = dp[i];          }          return max;      }  }

例3：找零錢

已知不同面值的鈔票，求如何用最少數量的鈔票組成某個金額，求可以使用的最少鈔票數量。如果任意數量的已知面值鈔票都無法組成該金額，則返回-1。

示例：  Input: coins = [1, 2, 5], amount = 11  Output: 3  Explanation: 11 = 5 + 5 + 1  Input: coins = [2], amount = 3  Output: -1

來源於LeetCode 322. Coin Change

動態規劃解題步驟：

將原問題拆分成子問題

已知什麼？顯而易見，鈔票的金額都只需要其本身1張即可
如何在已知鈔票的情況下構造出金額X需要的最少鈔票組合

確認狀態

DP[0] – DP[amount] 表示構造金額amount需要的最小鈔票數

確認邊界狀態（初始條件）

DP[coin] = 1 其他的都未知初始值設為 -1
例如coins = [1, 2, 5], amount = 11 已知 dp[1]、dp[2]、dp[5] =1
現在已知 DP[coin] 需要求出每一個DP[amount]

狀態轉移方程

dp[i] = min(dp[i-1], dp[i-2], dp[i-5]) + 1

解題程式碼：（java）

    public int coinChange(int[] coins, int amount) {          int len = coins.length;          if (len == 0 || amount<0)              return -1;          if (amount==0)              return 0;          int [] dp = new int[amount+1];          for (int i = 0; i <= amount; i++){              dp[i] = -1;          }          for (int i = 0; i< len;i++){              if(coins[i] == amount)                  return 1;              if(coins[i] < amount)                  dp[coins[i]] = 1;          }          // State Transfer Function          for(int i = 1; i <= amount;i++){              for (int j = 0; j < len; j++){                  if (i - coins[j] >= 0 && dp[i - coins[j]] != -1){                      if (dp[i] == -1 || dp[i] > dp[i - coins[j]] + 1){                          dp[i] = dp[i - coins[j]] + 1;                      }                  }              }          }          return dp[amount];      }