電腦組成原理 – 計算篇

• 2020 年 11 月 26 日
• 筆記
• 電腦組成原理

章節導學

1. 進位運算的基本知識

1.1 進位概述

1. 進位的定義

   • 有限種數字元號來表示無限的數值
   • 進位制是一種記數方式，亦稱進位計數法或位值計數法

• 使用的數字元號的數目稱為這種進位制的基數或底數

2. 常見的進位

   • 二進位
   • 八進位
   • 十六進位
   • 二十進位
   • 六十進位

1.2 二進位運算的基礎

二進位(整數)轉換十進位

二進位(整數)轉換十進位：按權展開法

正整數N，基數為r

𝑁 = 𝑑_𝑛−1𝑑_𝑛−2 ⋯ 𝑑₁𝑑₀

= 𝑑_𝑛−1r^𝑛−1 +𝑑_𝑛−2 r^𝑛−2 + ⋯ + 𝑑₁𝑟 + 𝑑₀

例：𝑁 = 01100101 = 1 ∗ 2⁶ + 1 ∗ 2⁵ + 1 ∗ 2² + 1 = 101

例：𝑁 = 11101101 = 1 ∗ 2⁷ + 1 ∗ 2⁶ + 1 ∗ 2⁵ + 1 ∗ 2³ + 1 ∗ 2² + 1 = 237

十進位(整數)轉換二進位

十進位(整數)轉換二進位：重複相除法

例：(101)₁₀ = ( )₂

𝑁 = (01100101)₂ = 1 ∗ 2⁶ + 1 ∗ 2⁵ + 1 ∗ 2²+ 1 = (101)₁₀

例：237₁₀ = ( )₂

𝑁 = （11101101）₂ = 1 ∗ 2⁷ + 1 ∗ 2⁶ + 1 ∗ 2⁵ + 1 ∗ 2³ + 1 ∗ 2^2 + 1 = (237)₁₀

二進位(小數)轉換十進位

二進位(小數)轉換十進位：按權展開法

小數N，基數為r，從小數點右邊開始，小數點左邊為正，右邊為負

𝑁 = 𝑑_𝑛−1𝑑_𝑛−2 ⋯ 𝑑₁𝑑₀

= 𝑑_𝑛−1r^𝑛−1 +𝑑_𝑛−2 r^𝑛−2 + ⋯ + 𝑑₁𝑟 + 𝑑₀

例：𝑁 = (0.11001) = 1 ∗ 2⁻¹ + 1 ∗ 2⁻² + 1 ∗ 2⁻⁵ = 0.78125 = 25/32

例：𝑁 = (0.01011) = 1 ∗ 2⁻² + 1 ∗ 2⁻⁴ + 1 ∗ 2⁻⁵ = 0.34375 = 11/32

十進位(小數)轉換二進位

十進位(小數)轉換二進位：重複相乘法

1. 重複乘以2
2. 得積
3. 取整數部分
4. 結果按正序排列

十進位(分數)轉換二進位

十進位(分數)轉換二進位：重複相乘法

1. 重複乘以2
2. 得積：把假分數化為真分數
3. 取1：取第一個數值
4. 結果按正序排列

例：25/32轉化為二進位

𝑁 = 0.11001 = 1 ∗ 2⁻¹ + 1 ∗ 2⁻² + 1 ∗ 2⁻⁵ = 0.78125=25/32

例：11/32轉化為二進位

𝑁 = 0.01011 = 1 ∗ 2⁻² + 1 ∗ 2⁻⁴ + 1 ∗ 2⁻⁵ = 0.34375 = 11/32

2. 二進位數據的表示方法

2.1 有符號數與無符號數

+表示正數，-表示負數

2.2 二進位的原碼錶示法

原碼錶示法特點

1. 規定符號位位於數值第一位
2. 使用0表示正數、1表示負數
3. 表達簡單明了，是人類最容易理解的表示法

0在原碼中有兩種表示方法：00、10

原碼進行運算非常複雜，特別是兩個操作數符號不同的時候

2.3 二進位的補碼錶示法

補碼的定義

例子1：n=4，x=13，計算x的二進位原碼和補碼

原碼：x=0,1101

補碼：x=0,1101

例子2：x=-13，計算x的二進位原碼和補碼

原碼：x=1,1101

補碼：2^𝑛+1 + 𝑥 = 2⁴⁺¹ − 13 = 100000 − 1101 = 1 0011（高亮部分為符號位）
補碼：x=1,0011

例子3：x=-7，計算x的二進位原碼和補碼

原碼：x=1,0111

補碼：2^𝑛+1 + 𝑥 = 2⁴⁺¹ − 7 = 100000 − 0111 = 1 1001
補碼：x=1,1001

例子4：x=-1，計算x的二進位原碼和補碼

原碼：x=1,0001

補碼：2^𝑛+1~ + 𝑥 = 2⁴⁺¹ − 1 = 100000 − 0001 = 1 1111
補碼：x=1,1111

引進補碼的目的

1. 使用加法代替減法操作，從而消除減法

2. 減法運算複雜，希望找到使用正數替代負數的方法

   但在計算補碼的過程中，還是使用了減法！！

2.4 二進位的反碼錶示法

反碼的定義

例子1：x=-13，計算x的二進位原碼和反碼

原碼：x=1,1101

反碼：(2^𝑛+1−1) + 𝑥 = (2⁴⁺¹−1)− 13 = 011111 − 1101 = 1 0010（高亮部分為符號位）
反碼：x=1,0010

例子2：x=-7，計算x的二進位原碼和反碼

原碼：x=1,0111

反碼：(2^𝑛+1−1) + 𝑥 = (2⁴⁺¹−1) − 7= 011111 − 0111 = 1 1000
反碼：x=1,1000

從以上兩個例子中可以看出按照定義求反碼依然有減法

引進反碼的目的

消除減法

通過以下規則求反碼可以消除減法的出現

負數的反碼等於原碼除符號位外按位取反

負數的補碼等於反碼+1

例子3：x=-7，計算x的二進位原碼和反碼和補碼

原碼：x=1,0111

反碼：x=1,1000

補碼：x=1,1001

例子4：x=-9，計算x的二進位原碼和反碼和補碼

原碼：x=1,1001

反碼：x=1,0110

補碼：x=1,0111

2.5 小數的二進位補碼錶示

二進位小數的補碼定義

負數的反碼等於原碼除符號位外按位取反

負數的補碼等於反碼+1

例子1：x= 9/16，計算x的二進位原碼和反碼和補碼

原碼：x=0,0.1001 (重複相乘法)

反碼：x= 0,0.1001

補碼：x= 0,0.1001

例子2：x= -11/32，計算x的二進位原碼和反碼和補碼

原碼：x=1,0.01011 (重複相乘法)

反碼：x=1,1.10100

補碼：x=1,1.10101

3. 二進位數據的運算

3.1 定點數與浮點數

3.1.1 定點數的表示方法

定點數：小數點固定在某個位置的數稱之為定點數

3.1.2 浮點數的表示方法

浮點數的表示格式

舉例引入：

123450000000 = 1.2345 × 10¹¹（科學計數法）

1.2345：尾數

10：基數 11：階碼

浮點數的表示格式

S：尾數 ， r：基數 ， j：階碼

舉例

11.0101 = 0.110101 × 2¹⁰
11.0101 = 0.0110101 × 2¹¹

浮點數的表示範圍

階碼錶示範圍： [−(𝟐^𝒎 − 𝟏), 𝟐^𝒎 − 𝟏]

尾數表示範圍： [−(𝟏 − 𝟐^−𝒏), −(𝟐^−𝒏)] [𝟐^−𝒏, 𝟏 − 𝟐^−𝒏]

浮點數的規格化

1. 尾數規定使用純小數
2. 尾數最高位必須是1

舉例

123450000000 = 1.2345 × 10¹¹

錯誤寫法：

舉例

11.0101 = 0.110101 × 2¹⁰

錯誤寫法：

例子1：設浮點數字長為16位，階碼為5位，尾數為11位，將十進位數 13/128表示為二進位浮點數。

• 利用重複相乘法求出原碼
• 原碼=反碼=補碼：𝑥 = 0.0001101000

例子2：設浮點數字長為16位，階碼為5位，尾數為11位，將十進位數−54表示為二進位浮點數。

• 原碼： 𝑥 = 1,110110

3.1.3 定點數與浮點數的對比

1. 當定點數與浮點數位數相同時，浮點數表示的範圍更大
2. 當浮點數尾數為規格化數時，浮點數的精度更高
3. 浮點數運算包含階碼和尾數，浮點數的運算更為複雜
4. 浮點數在數的表示範圍、精度、溢出處理、編程等方面均優於定點數
5. 浮點數在數的運算規則、運算速度、硬體成本方面不如定點數

3.2 定點數的加減法運算

3.2.1 加法運算

整數加法：A[補] + B[補] = (𝐴 + 𝐵)[補] (𝑚𝑜𝑑2𝑛+1)

小數加法：A[補] + B[補] = (𝐴 + 𝐵)[補] (𝑚𝑜𝑑2)

數值位與符號位一同運算，並將符號位產生的進位自然丟掉

例子1：A=-110010， B=001101，求A+B

A[補] = 1,001110

B[補]= B[原] = 0,001101

A[補] + B [補]= (A + B) [補] =1,011011

A + B = −100101

數值位與符號位一同運算，並將符號位產生的進位自然丟掉

例子2：A=-0.1010010， B=0.0110100，求A+B

A[補] = 1,1.0101110

B[補] = B[原] = 0,0.0110100

A[補] + B[補]= (A + B)[補] =1,1.1100010

A + B =-0.0011110

數值位與符號位一同運算，並將符號位產生的進位自然丟掉

例子3：A=-10010000， B=-01010000，求A+B

A[補] = 1, 01110000

B[補] = 1, 10110000

A[補] + B[補] = (A + B)[補] =1,00100000

A + B =-11100000

驗證：A = −144， B = −80 ， A + B = −224

數值位與符號位一同運算，並將符號位產生的進位自然丟掉

例子4：A=-10010000， B=-11010000，求A+B

A[補] = 1, 01110000

B[補] = 1, 00110000

A[補] + B[補] = (A + B) 補 = 0,10100000

A + B = 10100000

驗證：

A = −144， B = −208， A + B = 160

數值位與符號位一同運算，並將符號位產生的進位自然丟掉

3.3.2 判斷溢出

• 雙符號位判斷法

  • 單符號位表示變成雙符號位：0=>00, 1=>11
  • 雙符號位產生的進位丟棄
  • 結果的雙符號位不同則表示溢出

再來看例子4：A=-10010000， B=-11010000，求A+B

A[補] = 1, 01110000

B[補] = 1, 00110000

再來看例子3：A=-10010000， B=-01010000，求A+B

A[補] = 1, 01110000

B[補] = 1, 10110000

(A + B)[原] = 11,11100000 = −11100000

3.2.3 減法運算

整數減法：A[補] − B[補] = 𝐴 + (−𝐵)[補] (𝑚𝑜𝑑2𝑛+1)

小數減法：A[補] − B[補] = 𝐴 + (−𝐵)[補] (𝑚𝑜𝑑2)

-B[補]等於B[補]連同符號位按位取反，末位加一

B[補] = 1,0010101

(−B)[補] = 0,1101011

例子5：A=11001000， B=-00110100，求A-B

A[補] = A[原] = 0,11001000

B[補] = 1,11001100

(−B)[補] = 0,00110100

A[補] − B[補] = A[補] + (−B)[補] = A + (−B)[補]

A + (−B)[補] = 0,11111100

A − B = 111111100 （正數的補碼還是自身）

3.3 浮點數的加減法運算

𝑥 = 𝑆_𝑥 × 𝑟^𝑗𝑥
𝑦 = 𝑆_𝑦 × 𝑟^𝑗y

操作流程

3.3.1 對階

• 浮點數尾數運算簡單
• 浮點數位數實際小數位與階碼有關
• 階碼按小階看齊大階的原則
• 対階的目的是使得兩個浮點數階碼一致，使得尾數可以進行運算

舉例

𝑥 = 0.1101 × 2⁰¹ , 𝑦 = (−0.1010) × 2¹¹， 求 x+y

3.3.2 尾數求和

• 使用補碼進行運算
• 對於減法運算要轉化為加法運算：A – B = A + (-B)

3.3.3 尾數規格化（左移）

對補碼進行規格化需要判斷兩種情況：S>0 和 S<0

1. S[補] = 00.1xxxxxx(𝑆 > 0)

2. S[補] = 11.0xxxxxx(𝑆 < 0)

   符號位與最高位不一致

如果不滿足此格式，即符號位與最高位一致， 需要進行左移，同時階碼相應變化，以滿足規格化

因此：𝑥 + 𝑦 = −0.1110 × 2¹⁰

3.3.4 尾數規格化（右移）

1. 一般情況下都是左移
2. 雙符號位不一致下需要右移 (定點運算的溢出情況)
3. 右移的話則需要進行舍入操作

3.3.5 舍入

• 「0舍1入」法（二進位的四捨五入）

例1：

S [補] = 10.10110111

S [補] = 11.01011011(1) 【1次尾數右移，記得階碼要+1哦】

例2：

S [補] = 01.11111111

S [補] = 00.10000000(1)

S [補] = 01.00000000

S [補] = 00.1000000(0)【兩次右規，記得階碼要+2哦】

3.3.6 溢出判斷

• 定點運算雙符號位不一致為溢出
• 浮點運算尾數雙符號位不一致不算溢出【因為尾數雙符號位可以進行右規】
• 浮點運算主要通過階碼的雙符號位判斷是否溢出
• 如果規格化後，階碼雙符號位不一致，則認為是溢出

例子：𝑥 = 0.11010011 × 2¹¹⁰¹，𝑦 = 0.11101110 × 2¹¹⁰⁰，假設階碼4位，尾數8位，計算x + y

𝑥 + 𝑦[原] = 𝑥 + 𝑦[補] = 0.10100101 × 2¹¹¹⁰

3.3.7 浮點數的加減法運算總結

尾數右移1位：階碼加1

尾數左移1位：階碼減1

3.4 浮點數的乘除法運算

這部分作為了解

𝑥 = 𝑆_𝑥 × 𝑟^𝑗𝑥
𝑦 = 𝑆_𝑦 × 𝑟^𝑗y

乘法：階碼相加，尾數求積

𝑥 × 𝑦 = ( 𝑆_𝑥 × 𝑆_𝑦 ) × 𝑟^{(𝑗𝑥+𝑗y)}

除法：階碼相減，尾數求商

𝑥/𝑦 = ( 𝑆_𝑥 / 𝑆_𝑦 ) × 𝑟^{(𝑗𝑥−𝑗y)}

操作流程

例子：𝑥 = 0.11010011 × 21101，𝑦 = 0.11101110 × 20001，假設階碼4位，尾數8位，計算x * y

𝑥 × 𝑦 = ( 𝑆_𝑥 × 𝑆_𝑦 ) × 𝑟^{(𝑗𝑥+𝑗y)}

= (0.11010011 × 0.11101110) × 𝑟^1101+0001

= 0.11000100(保留八位) × 𝑟¹¹¹⁰