圖論之最短路
1.Floyd(弗洛伊德)
\(Floyd\)演算法可以求出任意兩點的最短路徑，相當於求解\(n\)次單源最短路徑問題，並且十分簡單，時間複雜度為\(O(n^3)\)。
思想
Floyd演算法是動態規劃。我們設 \(f [ k ][ i ][ j ]\)表示「經過若干個標號不超過\(k\)的節點」從\(i\)到\(j\)的最短路長度。
其狀態轉移方程式為：
f[k][i][j]=min(f[k-1][i][j],f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j]);
//其中初始值為f[k][i][j]=w[i][j](w為開頭定義的鄰接矩陣)
在這其中，k這一維可以去掉，其狀態轉移方程式為：
f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);
程式碼如下：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,f[505][505],s,t;
int main() {
scanf("%d %d",&n,&m);//n個點,m條邊
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++)
f[i][j]=0x3f3f3f3f;//因為我們是求最短路，所以一開始我們把數組設到無窮大
f[i][i]=0;//第i個點到第i個點需要的權值為0
}
for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++) {
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);//從第u個點到第v個點的權值為0
f[u][v]=w;//因為是有向圖，所以我們不加f[v][u]=w
}
for(int k=1;k<=n;k++) {//k個階段，所以k在最外層
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++) {
if(f[i][j]>f[i][k]+f[k][j])
f[i][j]=f[i][k]+f[k][j];
}
}
}
scanf("%d %d",&s,&t);
printf("%d\n",f[s][t]);//從s到t的最短距離
return 0;
}
Floyd輸出最短路徑
\(Floyd\)演算法輸出路徑也是採用記錄前驅的方式。因為\(Floyd\)是計算任意兩點間最短路徑的演算法，\(f[ i ][ j ]\)記錄從\(i\)到\(j\)的最短路徑值。故我們定義\(pre[i][j]\)為一個二維數組，記錄從\(i\)到\(j\)的最短路徑中，\(j\)的前驅點是哪一個。遞歸還原路徑。
初始化:\(pre[n][n]\)為0，輸入相連邊時，重置相連邊尾結點的前驅
若有無向邊：\(pre[a][b]=a; pre[b][a]=b;\)
更新若\(Floyd\)最短路有更新，那麼\(pre[i][j]=pre[k][j];\)
遞歸輸出指兩點\(s\)，\(t\)的最短路，先輸出起點\(s\)，再將終點\(t\)放入遞歸，輸出\(s+1–t\)的所有點。
void print(int x) {
if(pre[s][x]==0) return;
print(pre[s][x]);
printf(" %d",x);
}
程式碼：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,f[505][505],s,t,pre[505][505];
void print(int x) {
if(pre[s][x]==0) return ;
print(pre[s][x]);
printf(" %d",x);
return ;
}
int main() {
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++)
f[i][j]=0x3f3f3f3f;
f[i][i]=0;
}
for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++) {
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
f[u][v]=w,pre[u][v]=u;
}
for(int k=1;k<=n;k++) {
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++) {
if(f[i][j]>f[i][k]+f[k][j])
f[i][j]=f[i][k]+f[k][j],pre[i][j]=pre[k][j];
}
}
}
scanf("%d %d",&s,&t);
printf("%d\n%d",f[s][t],s);
print(t);
return 0;
}
傳遞閉包問題
給定若干個元素和若干對關係，如果關係具有傳遞性，「通過傳遞性推導出其他元素的關係」的問題叫做傳遞閉包。
我們可以建立\(f[ i ][ j ]\),其中\(f[ i ][ j ]=1\)時表示 \(i\) 和 \(j\) 之間有關係，\(f[ i ][ j ]=0\)時表示 \(i\) 和\(j\)之間沒有關係，其中\(f[ i ][ i ]\)始終為\(1\)。
程式碼：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,f[505][505],s,t;
int main() {
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=1;
for(int i=1,u,v;i<=m;i++) {
scanf("%d %d",&u,&v);
f[u][v]=1;
}
for(int k=1;k<=n;k++) {
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++)
f[i][j] |= f[i][k] & f[k][j];
}
}
scanf("%d %d",&s,&t);
if(f[s][t]) printf("Yes");
else printf("No");
return 0;
}
Dijkstra(迪科斯徹)
給定一個帶權有向圖\(G=（V,E）\)，其中每條邊的權是一個實數。另外，還給定\(V\)中的一個頂點，稱為源點。要計算從源點到其他所有各頂點的最短路徑長度。這裡的長度就是指路上各邊權之和。這個問題通常稱為單源最短路徑問題。
\(Dijkstra\)演算法就是求單源最短路徑問題。
思想
流程如下：
1.結點分成兩組：已經確定最短路、尚未確定最短路
2.不斷從第2組中選擇路徑長度最短的點放入第1組並擴展。
本質是貪心，只能應用於正權圖
普通的Dijkstra演算法O(n^2)
鬆弛操作
我們可以舉一個栗子：
原來用一根橡皮筋直接連接\(i、j\)兩點，現在有一點\(k\)，使得\(i->k->j\)比\(i->j\)的距離更短，則把橡皮筋改為\(i->k->j\) ，這樣橡皮筋更加鬆弛。
程式碼如下：
if(dist[j]>dist[k]+w[k][j])
dist[j]=dist[k]+w[k][j];
程式碼
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,s,t,a[2505][2505],dist[2505];
bool vis[2505];
int main() {
scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&s,&t);
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++)
a[i][j]=0x3f3f3f3f;
a[i][i]=0,dist[i]=0x3f3f3f3f;
}
for(int i=1;i<=m;i++) {
int u,v,w;
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
a[u][v]=w,a[v][u]=w;
}
dist[s]=0;
for(int i=1;i<=n;i++) {
int x=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(!vis[j] && (dist[j]<dist[x] || x==0)) x=j;
if(!x) continue;
vis[x]=1;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(dist[j]>dist[x]+a[x][j]) dist[j]=dist[x]+a[x][j];
}
printf("%d",dist[t]);
return 0;
}
優化
我們可以發現\(i\)中的第\(1\)層循環是求最小值，我們完全可以用一個二叉堆來存儲。
至於第\(2\)層循環是求相鄰的邊，但有些點根本沒有相鄰，我們可以用鄰接表，直接省去循環那些不相鄰的點。時間複雜度為\(O((m+n) log~2~^n)\)。
#include <bits/stdc++.h>
#include <queue>
using namespace std;
int n,m,s,t,cnt,head[2505],next[13005],ver[13005],edge[13005],dist[2505];
bitset<2505> vis;
struct lx{
int to,z;
bool operator <(const lx &x) const { return z>x.z; }
};
priority_queue<lx> q;
void add_edge(int u,int v,int w) { ver[++cnt]=v,edge[cnt]=w,next[cnt]=head[u],head[u]=cnt; }
int main() {
scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&s,&t);
for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++) {
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
add_edge(u,v,w),add_edge(v,u,w);
}
for(int i=1;i<=n;i++) dist[i]=0x3f3f3f3f;
q.push((lx){s,0}),dist[s]=0;
while(q.size()) {
int u=q.top().to; q.pop();
if(vis[u]) continue;
vis[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=next[i]) {
int v=ver[i],w=edge[i];
if(dist[v]>dist[u]+w) dist[v]=dist[u]+w,q.push((lx){v,dist[v]});
}
}
printf("%d",dist[t]);
return 0;
}
真好看
Bellman-Ford(貝爾曼-福特)
思想
\(Bellman-Ford\)演算法是鬆弛邊，而\(Dijkstra\)演算法是鬆弛點。
給定一張有向圖，若對於圖中的某一條邊\((x,y,z)\)，有\(dist[y] \leqslant dist[x]+z\)成立，則稱該邊滿足三角形不等式。若所有邊都滿足三角形不等式，則\(dist\)數組就是所求的最短路。
流程
1.掃描所有邊\((x,y,z)\)，若\(dist[y]>dist[x]+z\)，則用\(dist[x]+z\)更新\(dist[y]\)。
2.直到沒有更新。
程式碼
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,s,t,dist[505];
struct lx{ int u,v,w; }a[20005];
int main() {
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1,q,w,e;i<=m;i++) {
scanf("%d %d %d",&q,&w,&e);
a[i].u=q,a[i].v=w,a[i].w=e;
}
scanf("%d %d",&s,&t);
for(int i=1;i<=n;i++) dist[i]=0x3f3f3f3f;
dist[s]=0;
for(int i=1;i<n;i++) {
for(int j=1;j<=m;j++) {
if(dist[a[j].v]>dist[a[j].u]+a[j].w)
dist[a[j].v]=dist[a[j].u]+a[j].w;
}
}
for(int i=1;i<=m;i++) {
if(dist[a[i].v]>dist[a[i].u]+a[i].w) {
printf("No Solution");
return 0;
}
}
printf("%d",dist[t]);
return 0;
}
輸出路徑
如果最短路徑有多條,輸出路徑經過邊數較小的解; 如果最短路徑邊數相同,輸出編號較小的序列。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,s,t,dist[505],pre[505];
struct node{ int u,v,w; }a[20005];
void print(int x) {
if(pre[x]==0) return ;
print(pre[x]);
printf(" %d",x);
return ;
}
int main() {
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
scanf("%d %d %d",&a[i].u,&a[i].v,&a[i].w);
scanf("%d %d",&s,&t);
for(int i=1;i<=n;i++) dist[i]=0x3f3f3f3f,pre[i]=0x3f3f3f3f;
dist[s]=0,pre[s]=0;
for(int i=1;i<n;i++) {
for(int j=1;j<=m;j++) {
if(dist[a[j].v]>dist[a[j].u]+a[j].w) dist[a[j].v]=dist[a[j].u]+a[j].w,pre[a[j].v]=a[j].u;
else if(dist[a[j].v]==dist[a[j].u]+a[j].w) pre[a[j].v]=min(pre[a[j].v],a[j].u);
}
}
for(int i=1;i<=m;i++) {
if(dist[a[i].v]>dist[a[i].u]+a[i].w) {
printf("No Solution");
return 0;
}
}
printf("%d\n%d",dist[t],s);
print(t);
return 0;
}
SPFA(隊列優化的Bellman-Ford)
1.將起始點入隊。
2.循環，取出第一個點。
3.循環其邊，如果可以優化，就優化。
4.如果優化後這個點沒在隊列中，就加入，循環第2點，直到隊列中沒有點。
程式碼
#include <bits/stdc++.h>
#include <queue>
using namespace std;
int n,m,s,t,cnt,head[100005],next[1000005],ver[1000005],edge[1000005],dist[100005];
queue<int> q;
bitset<100005> vis;
void add_edge(int u,int v,int w) { ver[++cnt]=v,edge[cnt]=w,next[cnt]=head[u],head[u]=cnt; }
int main() {
scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&s,&t);
for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++) {
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
add_edge(u,v,w),add_edge(v,u,w);
}
for(int i=1;i<=n;i++) dist[i]=0x3f3f3f3f;
dist[s]=0,vis[s]=1,q.push(s);
while(q.size()) {
int u=q.front(); q.pop();
vis[u]=0;
for(int i=head[u];i;i=next[i]) {
int v=ver[i],w=edge[i];
if(dist[v]>dist[u]+w) {
dist[v]=dist[u]+w;
if(!vis[v]) vis[v]=1,q.push(v);
}
}
}
printf("%d",dist[t]);
return 0;
}
