補碼到底是個什麼東西

2019 年 11 月 10 日
筆記

概述

先引入一個前提，在電腦中數字是以二進位進行存儲的，也就是我們看到的2，在電腦中存儲的是10。我們進行的加法運算 2+1=3 在電腦中是這樣的（這裡先假設電腦存儲的是4位二進位數字） 0010+0001=0011

很容易看的出來，4為二進位數能表示的最大數字是1111，就像兩位十進位數表示的最大數字是99一樣。那如果在進行加法運算時，結果超出存儲的容量怎麼辦？比如：9+9=18 二進位表示為：1001+1001=10010，但是，因為只能存儲4位數的原因，最高位丟了，結果變成了 0010，也就是2，這時是發生了溢出的。在做運算時要避免數值發生溢出（當然，現在電腦存儲的數字為64位，日常使用完全不用擔心）

運算不光有加法，還有減乘除。乘法就是多次加法，除法就是多次減法。那麼減法如何實現呢？在剛開始的時候，電腦只能進行加法運算，這時一部分人想辦法讓其能夠直接進行減法計算，而另一部分人想通過加法來實現減法，最終後者先給出了解決方案。（只是我臆想的情景）

通過加法來實現減法

還記得上面提到的，四位二進位數表示的最大數字為15，當發生溢出時：

16=>二進位：10000 => 0 17=>二進位：10001 => 1 顯然，去掉最高位等於減去16

那麼能不能利用加法溢出來實現減法呢？下面簡單推倒一下：

9-2=7 若要實現 9+x=7 那麼利用溢出的原理，就要實現 9+x=7+16=23 簡單的解一下方程 x=23-9=14 ，很好，來驗證一下：

9+14 的二進位表示為：1001+1110=10111 最高位溢出，結果為：0111 也就是7，完美。

下面問題來了：如何將上邊的2轉成14呢？也就是講二進位的0010轉成1110。他們有什麼關係呢？

偉大的數學科學家前輩們總結出了規律。並發明了反碼和補碼的概念。補碼就是上面轉換後的14。

原碼=>按位取反=>反碼反碼=>加１=>補碼

雖然不知道這個規律是如何找出來的，但經過無數次驗證，確實是這樣。

引入負數

當引入了負數的概念時，為了表示正負，規定第一位為符號位（０為正，１為負），因為引入符號位，原來的４位數，能表示的最大值也變成了0111。

因為負數的引入，現在所有的減法都可以當做加法來實現了，9-2=9+(-2)，或者說9+(-2)=9-2。計算仍然是通過補碼來實現。

負數的補碼為：符號位不變按位取反，再加１正數的補碼為：它本身

負數的補碼很好理解，就是上面總結的規律，利用加法來實現減法。正數的補碼為啥是它本身呢？你看剛才分析的減法，只有被減數進行了轉換，減數沒變吧。很好理解。其實也是為了可以統一進行處理，引入補碼後，正負數可以使用一套加減法規則進行計算。

簡單實驗一下：

2+(-4)=-2 -4 => 二進位表示：1100 => 補碼：1100 2 => 二進位表示：0010 => 補碼：0010 1100+0010=1110(補碼) 將計算結果再轉成原碼　1010，-2沒毛病

然後，有一個尷尬的問題，正數的0為: 0000，負數的0為：1000，同一個數字，但是換成補碼後，你會發現是同一個數字: 0000。

總結一下：利用補碼計算，就是通過加法來實現減法運算，是利用了電腦存儲位數有限，超出發生溢出並丟失最高位的特性。

不知道補碼是哪位偉大的科學家發明的，前人栽樹後人乘涼，膜拜。