為什麼選擇B+樹作為資料庫索引結構？

2019 年 10 月 3 日
筆記

背景

首先，來談談B樹。為什麼要使用B樹？我們需要明白以下兩個事實：

【事實1】
不同容量的存儲器，訪問速度差異懸殊。以磁碟和記憶體為例，訪問磁碟的時間大概是ms級的，訪問記憶體的時間大概是ns級的。有個形象的比喻，若一次記憶體訪問需要1秒，則一次外存訪問需要1天。所以，現在的存儲系統，都是分級組織的。最常用的數據儘可能放在更高層、更小的存儲器中，只有在當前層找不到，才向更低層、更大的存儲器中尋找。這也就解釋了，當處理大規模數據的時候（指無法將數據一次性存入記憶體），演算法的實際運行時間，往往取決於數據在不同存儲級別之間的IO次數。因此，要想提升速度，關鍵在於減少IO。

【事實2】
磁碟讀取數據是以數據塊(block)（或者：頁，page）為基本單位的，位於同一數據塊中的所有數據都能被一次性全部讀取出來。換句話說，從磁碟中讀1B，與讀1KB幾乎一樣快！因此，想要提升速度，應該利用外存批量訪問的特點，在一些文章中，也稱其為磁碟預讀。系統之所以這麼設計，是基於一個著名的局部性原理：

當一個數據被用到時，其附近的數據也通常會馬上被使用，程式運行期間所需要的數據通常比較集中

B樹

假設有10億條記錄（1000*1000*1000），如果使用平衡二叉搜索樹（Balanced Binary Search Tree, BBST），最壞的情況下，查找需要log(2, 10^9) = 30次 I/O 操作，且每次只能讀出一個關鍵字（即如果這次讀出來的關鍵字不是我要查找的，就要再進行一次I/O去讀取數據）。如果換成B樹，會是怎樣的情況呢？

B 樹是為了磁碟或其它輔助存儲設備而設計的一種多叉平衡搜索樹。多級存儲系統中使用B樹，可針對外部查找，大大減少I/O次數。通過B樹，可充分利用外存對批量訪問的高效支援，將此特點轉化為優點。每下降一層，都以超級結點為單位（超級結點就是指一個結點內包含多個關鍵字），從磁碟中讀入一組關鍵字。那麼，具體多大為一組呢？

一個節點存放多少數據視磁碟的數據塊大小而定，比如磁碟中1 block的大小有1024KB，假設每個關鍵字的大小為 4 Byte，則可設定每一組的大小m = 1024 KB / 4 Byte = 256。目前，多數資料庫系統採用 m = 200~300。假設取m = 256，則B樹存儲1億條數據的樹的高度大概是 log(256, 10^9) = 4，也就是單次查詢所需要進行的I/O次數不超過 4 次，由此大大減少了I/O次數。

一般來說，B樹的根節點常駐於記憶體中，B樹的查找過程是這樣的：首先，由於一個節點內包含多個（比如，是256個）關鍵碼，所以需要先順序/二分來查找，如果找到則查找成功；如果失敗，則根據相應的引用從磁碟中讀入下一層的節點數據（這裡就涉及到一次磁碟I/O），同樣的在節點內順序查找，如此往複進行…事實上，B樹查找所消耗的時間很大一部分花在了I/O上，所以減少I/O次數是非常重要的。

B樹的定義

B樹就是平衡的多路搜索樹，所謂的m階B樹，即m路平衡搜索樹。根據維基百科的定義，一棵m階B樹需滿足以下要求：

每個結點至多含有m個分支節點（m>=2）。
除根結點之外的每個非葉結點，至少含有┌m/2┐個分支。
若根結點不是葉子結點，則至少有2個孩子。
一個含有k個孩子的非葉結點包含k-1個關鍵字。（每個結點內的關鍵字按升序排列）
所有的葉子結點都出現在同一層。實際上這些結點並不存在，可以看作是外部結點。

根據節點的分支的上下限，也可以稱其為(┌m/2┐, m)樹。比如，階數m=4時，這樣的B樹也可以稱為(2,4)樹。（事實上，(2,4)樹是一棵比較特殊的B樹，它和紅黑樹有著特別的淵源！後面談及紅黑樹時會談到。）

並且，每個內部結點的關鍵字都作為其子樹的分隔值。比如，某結點含有2個關鍵字（假設為a1和a2），也就是說該結點含有3個子樹。那麼，最左子樹的關鍵字均小於a1；中間子樹的關鍵字介於a1~a2；最右子樹的關鍵字均大於a2。

示例，一棵3階的B樹是這個樣子：

B樹的高度（了解）

假定一棵B樹非空，具有n個關鍵字、高度為h（令根結點為第1層）、階數為m，那麼該B樹的最大高度和最小高度分別是多少？

最大高度

當樹的高度最大時，則每個結點含有的關鍵字數應該盡量少。根據定義，根結點至少有2個孩子（即1個關鍵字），除根結點之外的非葉結點至少有┌m/2┐個孩子（即┌m/2┐-1個關鍵字），為了描述方便，這裡令p = ┌m/2┐。

第1層 1個結點  （含1個關鍵字）  第2層 2個結點  （含2*(p-1)個關鍵字）  第3層 2p個結點 （含2p*(p-1)^2個關鍵字）  ...  第h層 2p^(h-2)個結點    故總的結點個數n  ≥ 1+(p-1)*[2+2p+2p^2+...+2p^(h-2)]  ≥ 2p^(h-1)-1  從而推導出 h ≤ log_p[(n+1)/2] + 1 （其中p為底數，p=┌m/2┐）

最小高度

當樹的高度最低時，則每個結點的關鍵字都至多含有m個孩子（即m-1個關鍵字），則有

n ≤ (m-1)*(1 + m + m^2 +...+ m^(h-1)) = m^h - 1  從而推導出 h ≥ log_m(n+1)  （其中m為底數）

B+樹

B+樹的定義

B+樹是B樹的一個變體，B+樹與B樹最大的區別在於：

葉子結點包含全部關鍵字以及指向相應記錄的指針，而且葉結點中的關鍵字按大小順序排列，相鄰葉結點用指針連接。
非葉結點僅存儲其子樹的最大（或最小）關鍵字，可以看成是索引。

一棵3階的B+樹示例：（好好體會和B樹的區別，兩者的關鍵字是一樣的）

問：為什麼說B+樹比B樹更適合實際應用中作業系統的文件索引和資料庫索引？

答：

B+樹更適合外部存儲。由於內結點不存放真正的數據（只是存放其子樹的最大或最小的關鍵字，作為索引），一個結點可以存儲更多的關鍵字，每個結點能索引的範圍更大更精確，也意味著B+樹單次磁碟IO的資訊量大於B樹，I/O的次數相對減少。
MySQL是一種關係型資料庫，區間訪問是常見的一種情況，B+樹葉結點增加的鏈指針，加強了區間訪問性，可使用在區間查詢的場景；而使用B樹則無法進行區間查找。

參考：
1）清華大學鄧俊輝數據結構-高級搜索樹
2）https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/BPlusTree.html （數據結構可視化）

為什麼選擇B+樹作為資料庫索引結構？

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