位運算的奇技淫巧（三）

2020 年 9 月 15 日
筆記
language: C++, 刷題筆記----------, 演算法基礎：位運算

學習之餘重新複習了下位運算的奇技淫巧（二）

又發現了幾個有趣的位運算，部分內容來自東哥

本文分兩部分，第一部分列舉幾個有趣的位操作，第二部分講解演算法中常用的 n & (n - 1) 操作，順便把用到這個技巧的演算法題列出來講解一下。

因為位操作很簡單，所以假設讀者已經了解與、或、異或這三種基本操作。

位操作（Bit Manipulation）可以玩出很多奇技淫巧，但是這些技巧大部分都過於晦澀，沒必要深究，讀者只要記住一些有用的操作即可。

一、幾個有趣的位操作

利用或操作 | 和空格將英文字元轉換為小寫

('a' | ' ') = 'a'
('A' | ' ') = 'a'

利用與操作 & 和下劃線將英文字元轉換為大寫

('b' & '_') = 'B'
('B' & '_') = 'B'

利用異或操作 ^ 和空格進行英文字元大小寫互換

('d' ^ ' ') = 'D'
('D' ^ ' ') = 'd'

以上操作能夠產生奇特效果的原因在於 ASCII 編碼。字元其實就是數字，恰巧這些字元對應的數字通過位運算就能得到正確的結果，有興趣的讀者可以查 ASCII 碼錶自己算算，本文就不展開講了。

判斷兩個數是否異號

int x = -1, y = 2;
bool f = ((x ^ y) < 0); // true

int x = 3, y = 2;
bool f = ((x ^ y) < 0); // false

這個技巧還是很實用的，利用的是補碼編碼的符號位。如果不用位運算來判斷是否異號，需要使用 if else 分支，還挺麻煩的。讀者可能想利用乘積或者商來判斷兩個數是否異號，但是這種處理方式可能造成溢出，從而出現錯誤。

加一

int n = 1;
n = -~n;
// 現在 n = 2

減一

int n = 2;
n = ~-n;
// 現在 n = 1

5、6點其實沒什麼實際作用，大家了解了解樂呵一下就行。

二、演算法常用操作

上一篇隨筆中似乎沒有涉及 lowbit，這裡補上。

lowbit 操作

lowbit：n&(n-1) 這個操作是演算法中常見的，作用是消除數字 n 的二進位表示中的最後一個 1。

看個圖就很容易理解了：

其核心邏輯就是，n - 1 一定可以消除最後一個 1，同時把其後的 0 都變成 1，這樣再和 n 做一次 & 運算，就可以僅僅把最後一個 1 變成 0 了。

計算漢明權重（Hamming Weight）

就是讓你返回 n 的二進位表示中有幾個 1。因為 n & (n – 1) 可以消除最後一個 1，所以可以用一個循環不停地消除 1 同時計數，直到 n 變成 0 為止。

int hammingWeight(int n) {
    int res = 0;
    while (n != 0) {
        n = n & (n - 1);
        res++;
    }
    return res;
}

判斷一個數是不是 2 的指數

一個數如果是 2 的指數，那麼它的二進位表示一定只含有一個 1：

2^0 = 1 = 0b0001
2^1 = 2 = 0b0010
2^2 = 4 = 0b0100

如果使用 n&(n-1) 的技巧就很簡單了（注意運算符優先順序，括弧不可以省略）：

bool isPowerOfTwo(int n) {
    if (n <= 0) return false;
    return (n & (n - 1)) == 0;
}

查找只出現一次的元素

這裡就可以運用異或運算的性質：

一個數和它本身做異或運算結果為 0，即 a ^ a = 0；一個數和 0 做異或運算的結果為它本身，即 a ^ 0 = a。

對於這道題目，我們只要把所有數字進行異或，成對兒的數字就會變成 0，落單的數字和 0 做異或還是它本身，所以最後異或的結果就是只出現一次的元素：

int singleNumber(vector<int>& nums) {
    int res = 0;
    for (int n : nums) {
        res ^= n;
    }
    return res;
}

以上便是一些有趣/常用的位操作。其實位操作的技巧很多，有一個叫做 Bit Twiddling Hacks 的外國網站收集了幾乎所有位操作的黑科技玩法，感興趣的讀者可以查看：

//graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html#ReverseParallel

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