數據結構和演算法躬行記（4）——二分查找
- 2020 年 9 月 15 日
- 筆記
- 數據結構和演算法躬行記
二分查找（Binary Search）是對一種針對有序數據集合的查找演算法，依賴數組，適合靜態數據。通過 n/2^k=1（k 是比較次數），可以求得 k=log2^n，因此時間複雜度為高效地 O(logn)。
其思路很簡單，就是每次與區間的中間數據做比較，縮小查找範圍，但是期間涉及到的細節很容易踩坑，例如比較時是否帶等號、mid值是否要加一等。例題：704. 二分查找。
LeetCode的69. x 的平方根，x=sqrt(y); y=x^2，由於y和x是單調遞增的，因此可用二分查找，每次取中值，不斷逼近。另一種解題思路是牛頓迭代法。
在《劍指offer》一書中曾提到，寫出高品質的程式碼需要了解3個方面：
（1）規範性，書寫清晰、布局清晰和命名合理。
（2）完整性，完成基本功能、考慮邊界條件、做好錯誤處理。
（3）魯棒性，採取防禦性編程、處理無效的輸入。
下面是二分查找最基本的程式碼實現，改編自《二分搜索》，為了防止mid的溢出，才設計成了 low + Math.floor((high – low) / 2)。
function binarySearch(nums, target) { let low = 0, high = ...; while(...) { let mid = low + ((high - low) >> 1); if (nums[mid] == target) { ... } else if (nums[mid] < target) { low = ... } else if (nums[mid] > target) { high = ... } } return ...; }
其中佔位符「…」處就是容易出錯的細節部分：
（1）循環退出條件。
（2）low 和 high 的更新。
（3）找到目標值時的處理。
（4）函數的返回值。
一、無重複數據
在下面的binarySearch()函數中，nums是一個無重複數據的數組，需要注意：
（1）while循環的判斷條件是小於等於，因為high的取值是末尾索引，相當於兩端閉區間 [low, high]。
（2）當不匹配時，縮小查找區間，分成兩塊閉區間：[mid+1, high] 或 [low, mid-1]。
function binarySearch(nums, target) { let low = 0, high = nums.length - 1; //注意 while(low <= high) { //注意 let mid = low + ((high - low) >> 1); if (nums[mid] == target) { return mid; //注意 } else if (nums[mid] < target) { low = mid + 1; //注意 } else if (nums[mid] > target) { high = mid - 1; //注意 } } return -1; //注意 }
面試題11 旋轉數組的最小數字。二分查找的思路，用兩個指針指向數組的第一個和最後一個元素，如果中間元素位於前面的遞增子數組，那麼它應該大於或等於第一個指針指向的元素。
面試題53 在排序數組中查找數字。用二分查找鎖定指定值，然後在左右兩邊順序掃描，直至找出第一個和最後一個指定值。延伸題：0～n-1 中缺失的數字。
二、含重複數據
當查找的數組中包含重複數據時，二分查找需要做些處理。
面試題3 不修改數組找出重複數字。二分查找思想，從中間數字m分成兩部分，1~m和m+1~n，如果1~m的數字超過m，那麼區間有重複數字。
1）查找第一個等於給定值的元素
在下面的binarySearchLow()函數中，需要注意：
（1）while循環的判斷條件是小於，因為 low 和 high 相等會陷入死循環。
（2）查找到匹配的數據不是立即返回，而是縮小範圍，並且增加一次 high 的邊界值判斷。
（3）在跳出循環後，需要最終判斷是否與目標值匹配。
function binarySearchLow(nums, target) { let low = 0, high = nums.length - 1; while(low < high) { //注意 let mid = low + ((high - low) >> 1); if (nums[mid] == target) { high = mid - 1; //注意 if (nums[high] != target) //注意 return mid; //注意 } else if (nums[mid] < target) { low = mid + 1; } else if (nums[mid] > target) { high = mid - 1; } } return nums[low] == target ? low : -1; //注意 }
另一個類似的問題是查找最後一個等於給定值的元素，修改匹配時的範圍，如下所示。
function binarySearchHigh(nums, target) { let low = 0, high = nums.length - 1; while(low < high) { let mid = low + ((high - low) >> 1); if (nums[mid] == target) { low = mid + 1; //注意 if (nums[low] != target) //注意 return mid; //注意 } else if (nums[mid] < target) { low = mid + 1; } else if (nums[mid] > target) { high = mid - 1; } } return nums[low] == target ? low : -1; }
2）查找第一個大於等於給定值的元素
在下面的binarySearchLow()函數中，需要注意：
（1）修改匹配給定值的條件，變為大於等於。
（2）額外匹配一次 high 的邊界值，成功時直接返回 mid。
（3）修改跳出循環後的匹配條件。
function binarySearchLow(nums, target) { let low = 0, high = nums.length - 1; while(low < high) { let mid = low + ((high - low) >> 1); if (nums[mid] >= target) { //注意 high = mid - 1; //注意 if (nums[high] < target) //注意 return mid; //注意 } else if (nums[mid] < target) { low = mid + 1; } } return nums[low] >= target ? low : -1; //注意 }
另一個類似的問題是查找最後一個小於等於給定值的元素，修改匹配時的範圍，如下所示。
function binarySearchHigh(nums, target) { let low = 0, high = nums.length - 1; while(low < high) { let mid = low + ((high - low) >> 1); if (nums[mid] <= target) { //注意 low = mid + 1; //注意 if (nums[low] > target) //注意 return mid; //注意 } else if (nums[mid] > target) { high = mid - 1; } } return nums[low] <= target ? low : -1; //注意 }
本文的這些示例都沒有經過大量測試用例的嚴謹驗證，歡迎指正其中的潛在錯誤。
