邏輯回歸的原理與實踐

• 2020 年 8 月 10 日
• AI
• Python, 演算法

1.學習目標

• 了解邏輯回歸的理論
• 掌握邏輯回歸的sklearn函數調用使用並將其運用到鳶尾花數據集預測

2.邏輯回歸的應用

邏輯回歸模型廣泛用於各個領域，包括機器學習，大多數醫學領域和社會科學。例如，最初由Boyd 等人開發的創傷和損傷嚴重度評分（TRISS）被廣泛用於預測受傷患者的死亡率，使用邏輯回歸 基於觀察到的患者特徵（年齡，性別，體重指數，各種血液檢查的結果等）分析預測發生特定疾病（例如糖尿病，冠心病）的風險。邏輯回歸模型也用於預測在給定的過程中，系統或產品的故障的可能性。還用於市場營銷應用程式，例如預測客戶購買產品或中止訂購的傾向等。在經濟學中它可以用來預測一個人選擇進入勞動力市場的可能性，而商業應用則可以用來預測房主拖欠抵押貸款的可能性。

邏輯回歸模型現在同樣是很多分類演算法的基礎組件，比如 分類任務中基於GBDT演算法+LR邏輯回歸實現的信用卡交易反欺詐，CTR(點擊通過率)預估等，其好處在於輸出值自然地落在0到1之間，並且有概率意義。模型清晰，有對應的概率學理論基礎。它擬合出來的參數就代表了每一個特徵(feature)對結果的影響。也是一個理解數據的好工具。但同時由於其本質上是一個線性的分類器，所以不能應對較為複雜的數據情況。很多時候我們也會拿邏輯回歸模型去做一些任務嘗試的基準線。

3.邏輯回歸原理簡介

邏輯回歸，該模型的輸出變數範圍始終在 0 和 1 之間。

邏輯回歸模型的假設是：

其中： X 代表特徵向量 g 代表邏輯函數(logistic function)是一個常用的邏輯函數為 S 形函數(Sigmoid function)，公式為：

該函數的影像為：

的作用是，對於給定的輸入變數，根據選擇的參數計算輸出變數=1 的可能性(estimated probablity)即

例如，如果對於給定的?，通過已經確定的參數計算得出，則表示有 70%的幾率?為正向類，相應地?為負向類的幾率為 1-0.7=0.3。

在邏輯回歸中，我們預測：
當時，預測 y = 1。
當時，預測 y = 0 。
根據上面繪製出的 Sigmoid函數 影像，我們知道當
z = 0 時 g(z) = 0.5
z > 0 時 g(z) > 0.5
z < 0 時 g(z) < 0.5
又 ，即：
時，預測 y = 1
時，預測 y = 0

因為各個觀測樣本之間相互獨立，那麼它們的聯合分布為各邊緣分布的乘積。得到似然函數為

接下來我們的目的就是求解似然函數的最大值，對上式兩邊取對數，得到

所以，我們就可以構造Loss Functionl如下式

加上-1/m，求解的最小值，也就是求解似然函數的最大值，主要是為了方便後面的梯度下降法。所以使用梯度下降法求解，其更新函數為

而

4.Demo實踐

• Step1：庫函數導入

##  基礎函數庫
import numpy as np 

## 導入畫圖庫
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

## 導入邏輯回歸模型函數
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

• Step2：訓練模型

##Demo演示LogisticRegression分類

## 構造數據集
x_fearures = np.array([[-1, -2], [-2, -1], [-3, -2], [1, 3], [2, 1], [3, 2]])
y_label = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1])

## 調用邏輯回歸模型
lr_clf = LogisticRegression()

## 用邏輯回歸模型擬合構造的數據集
lr_clf = lr_clf.fit(x_fearures, y_label) #其擬合方程為 y=w0+w1*x1+w2*x2

• Step3：模型參數查看

##查看其對應模型的w
print('the weight of Logistic Regression:', lr_clf.coef_)
##查看其對應模型的w0
print('the intercept(w0) of Logistic Regression:', lr_clf.intercept_)
##the weight of Logistic Regression:[[0.73462087 0.6947908]]
##the intercept(w0) of Logistic Regression:[-0.03643213]

• Step4：數據和模型可視化

## 可視化構造的數據樣本點
plt.figure()
plt.scatter(x_fearures[:, 0], x_fearures[:, 1], c=y_label, s=50, cmap='viridis')
plt.title('Dataset')
plt.show()

# 可視化決策邊界
plt.figure()
plt.scatter(x_fearures[:, 0], x_fearures[:, 1], c=y_label, s=50, cmap='viridis')
plt.title('Dataset')

nx, ny = 200, 100
x_min, x_max = plt.xlim()
y_min, y_max = plt.ylim()
x_grid, y_grid = np.meshgrid(np.linspace(x_min, x_max, nx), np.linspace(y_min, y_max, ny))

z_proba = lr_clf.predict_proba(np.c_[x_grid.ravel(), y_grid.ravel()])
z_proba = z_proba[:, 1].reshape(x_grid.shape)
plt.contour(x_grid, y_grid, z_proba, [0.5], linewidths=2., colors='blue')

plt.show()

### 可視化預測新樣本

plt.figure()
## new point 1
x_fearures_new1 = np.array([[0, -1]])
plt.scatter(x_fearures_new1[:, 0], x_fearures_new1[:, 1], s=50, cmap='viridis')
plt.annotate(s='New point 1', xy=(0, -1), xytext=(-2, 0), color='blue', arrowprops=dict(arrowstyle='-|>', connectionstyle='arc3', color='red'))

## new point 2
x_fearures_new2 = np.array([[1, 2]])
plt.scatter(x_fearures_new2[:, 0], x_fearures_new2[:, 1], s=50, cmap='viridis')
plt.annotate(s='New point 2', xy=(1,2), xytext=(-1.5, 2.5), color='red', arrowprops=dict(arrowstyle='-|>', connectionstyle='arc3', color='red'))

## 訓練樣本
plt.scatter(x_fearures[:, 0], x_fearures[:, 1], c=y_label, s=50, cmap='viridis')
plt.title('Dataset')

# 可視化決策邊界
plt.contour(x_grid, y_grid, z_proba, [0.5], linewidths=2., colors='blue')

plt.show()

• Step5：模型預測

##在訓練集和測試集上分布利用訓練好的模型進行預測
y_label_new1_predict = lr_clf.predict(x_fearures_new1)
y_label_new2_predict = lr_clf.predict(x_fearures_new2)
print('The New point 1 predict class:\n', y_label_new1_predict)
print('The New point 2 predict class:\n', y_label_new2_predict)
##由於邏輯回歸模型是概率預測模型（前文介紹的p = p(y=1|x,\theta)）,所有我們可以利用predict_proba函數預測其概率
y_label_new1_predict_proba = lr_clf.predict_proba(x_fearures_new1)
y_label_new2_predict_proba = lr_clf.predict_proba(x_fearures_new2)
print('The New point 1 predict Probability of each class:\n', y_label_new1_predict_proba)
print('The New point 2 predict Probability of each class:\n', y_label_new2_predict_proba)
##TheNewpoint1predictclass:
##[0]
##TheNewpoint2predictclass:
##[1]
##TheNewpoint1predictProbabilityofeachclass:
##[[0.695677240.30432276]]
##TheNewpoint2predictProbabilityofeachclass:
##[[0.119839360.88016064]]

可以發現訓練好的回歸模型將X_new1預測為了類別0（判別面左下側），X_new2預測為了類別1（判別面右上側）。其訓練得到的邏輯回歸模型的概率為0.5的判別面為上圖中藍色的線。

5.基於鳶尾花（iris）數據集的邏輯回歸分類實踐

在實踐的最開始，我們首先需要導入一些基礎的函數庫包括：numpy （Python進行科學計算的基礎軟體包），pandas（pandas是一種快速，強大，靈活且易於使用的開源數據分析和處理工具），matplotlib和seaborn繪圖。

• Step1：函數庫導入

##  基礎函數庫
import numpy as np 
import pandas as pd

## 繪圖函數庫
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

本次我們選擇鳶花數據（iris）進行方法的嘗試訓練，該數據集一共包含5個變數，其中4個特徵變數，1個目標分類變數。共有150個樣本，目標變數為花的類別其都屬於鳶尾屬下的三個亞屬，分別是山鳶尾 (Iris-setosa)，變色鳶尾(Iris-versicolor)和維吉尼亞鳶尾(Iris-virginica)。包含的三種鳶尾花的四個特徵，分別是花萼長度(cm)、花萼寬度(cm)、花瓣長度(cm)、花瓣寬度(cm)，這些形態特徵在過去被用來識別物種。

• Step2：數據讀取/載入

##我們利用sklearn中自帶的iris數據作為數據載入，並利用Pandas轉化為DataFrame格式
from sklearn.datasets import load_iris
data = load_iris() #得到數據特徵
iris_target = data.target #得到數據對應的標籤
iris_features = pd.DataFrame(data=data.data, columns=data.feature_names) #利用Pandas轉化為DataFrame格式

• Step3：數據資訊簡單查看

##利用.info()查看數據的整體資訊
iris_features.info()

##<class'pandas.core.frame.DataFrame'>
##RangeIndex:150entries,0to149
##Datacolumns(total4columns):
###ColumnNon-NullCountDtype
##----------------------------
##0sepallength(cm)150non-nullfloat64
##1sepalwidth(cm)150non-nullfloat64
##2petallength(cm)150non-nullfloat64
##3petalwidth(cm)150non-nullfloat64
##dtypes:float64(4)
##memoryusage:4.8KB

##進行簡單的數據查看，我們可以利用.head()頭部.tail()尾部
iris_features.head()

iris_features.tail()

##其對應的類別標籤為，其中0，1，2分別代表'setosa','versicolor','virginica'三種不同花的類別

iris_target


##array([0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,


##0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,


##0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,


##1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,


##1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,


##2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,


##2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2])

##利用value_counts函數查看每個類別數量

pd.Series(iris_target).value_counts()

##2    50

##1    50

##0    50

##dtype:int64

##對於特徵進行一些統計描述

iris_features.describe()

從統計描述中我們可以看到不同數值特徵的變化範圍。

• **Step4:**可視化描述

## 合併標籤和特徵資訊
iris_all = iris_features.copy() ##進行淺拷貝，防止對於原始數據的修改
iris_all['target'] = iris_target

## 特徵與標籤組合的散點可視化
sns.pairplot(data=iris_all, diag_kind='hist', hue= 'target')
plt.show()

從上圖可以發現，在2D情況下不同的特徵組合對於不同類別的花的散點分布，以及大概的區分能力。

for col in iris_features.columns:
    sns.boxplot(x='target', y=col, saturation=0.5, palette='pastel', data=iris_all)
    plt.title(col)
    plt.show()

利用箱型圖我們也可以得到不同類別在不同特徵上的分布差異情況。

# 選取其前三個特徵繪製三維散點圖
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

iris_all_class0 = iris_all[iris_all['target'] == 0].values
iris_all_class1 = iris_all[iris_all['target'] == 1].values
iris_all_class2 = iris_all[iris_all['target'] == 2].values
# 'setosa'(0), 'versicolor'(1), 'virginica'(2)
ax.scatter(iris_all_class0[:, 0], iris_all_class0[:, 1], iris_all_class0[:, 2], label='setosa')
ax.scatter(iris_all_class1[:, 0], iris_all_class1[:, 1], iris_all_class1[:, 2], label='versicolor')
ax.scatter(iris_all_class2[:, 0], iris_all_class2[:, 1], iris_all_class2[:, 2], label='virginica')
plt.legend()

plt.show()

• Step5:利用邏輯回歸模型在二分類上進行訓練和預測

##為了正確評估模型性能，將數據劃分為訓練集和測試集，並在訓練集上訓練模型，在測試集上驗證模型性能。
from sklearn.model_selection import train_test_split
##選擇其類別為0和1的樣本（不包括類別為2的樣本）
iris_features_part = iris_features.iloc[:100]
iris_target_part = iris_target[:100]
##測試集大小為20%，80%/20%分
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(iris_features_part, iris_target_part, test_size=0.2, random_state=2020)

##從sklearn中導入邏輯回歸模型
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

##定義邏輯回歸模型
clf = LogisticRegression(random_state=0, solver='lbfgs')

##在訓練集上訓練邏輯回歸模型
clf.fit(x_train, y_train)

##查看其對應的w
print('the weight of Logistic Regression:', clf.coef_)

##查看其對應的w0
print('the intercept(w0) of Logistic Regression:', clf.intercept_)

##在訓練集和測試集上分別利用訓練好的模型進行預測
train_predict = clf.predict(x_train)
test_predict = clf.predict(x_test)

from sklearn import metrics
##利用accuracy（準確度）【預測正確的樣本數目佔總預測樣本數目的比例】評估模型效果
print('The accuracy of the Logistic Regression is:', metrics.accuracy_score(y_train, train_predict))
print('The accuracy of the Logistic Regression is:', metrics.accuracy_score(y_test, test_predict))

##查看混淆矩陣(預測值和真實值的各類情況統計矩陣)
confusion_matrix_result = metrics.confusion_matrix(test_predict, y_test)
print('The confusion matrix result:\n', confusion_matrix_result)

##利用熱力圖對於結果進行可視化
plt.figure(figsize=(8, 6))
sns.heatmap(confusion_matrix_result, annot=True, cmap='Blues')
plt.xlabel('Predictedlabels')
plt.ylabel('Truelabels')
plt.show()

##The accuracy of the Logistic Regressionis:1.0
##The accuracy of the Logistic Regressionis:1.0
##The confusion matrix result:
##[[9  0]
##[0  11]]

我們可以發現其準確度為1，代表所有的樣本都預測正確了。

• Step6:利用邏輯回歸模型在三分類(多分類)上進行訓練和預測

##測試集大小為20%，80%/20%分
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(iris_features, iris_target, test_size=0.2, random_state=2020)

##定義邏輯回歸模型
clf = LogisticRegression(random_state=0, solver='lbfgs')

##在訓練集上訓練邏輯回歸模型
clf.fit(x_train, y_train)

##查看其對應的w
print('the weight of Logistic Regression:\n', clf.coef_)
##查看其對應的w0
print('the intercept(w0) of Logistic Regression:\n', clf.intercept_)
##由於這個是3分類，所有我們這裡得到了三個邏輯回歸模型的參數，其三個邏輯回歸組合起來即可實現三分類

##在訓練集和測試集上分布利用訓練好的模型進行預測
train_predict = clf.predict(x_train)
test_predict = clf.predict(x_test)
##由於邏輯回歸模型是概率預測模型（前文介紹的p=p(y=1|x,\theta)）,所有我們可以利用predict_proba函數預測其概率

train_predict_proba = clf.predict_proba(x_train)
test_predict_proba = clf.predict_proba(x_test)

print('The test predict Probability of each class:\n', test_predict_proba)
##其中第一列代表預測為0類的概率，第二列代表預測為1類的概率，第三列代表預測為2類的概率。

##利用accuracy（準確度）【預測正確的樣本數目佔總預測樣本數目的比例】評估模型效果
print('The accuracy of the Logistic Regression is:', metrics.accuracy_score(y_train, train_predict))
print('The accuracy of the Logistic Regression is:', metrics.accuracy_score(y_test, test_predict))

##查看混淆矩陣
confusion_matrix_result = metrics.confusion_matrix(test_predict, y_test)
print('The confusion matrix result:\n', confusion_matrix_result)

##利用熱力圖對於結果進行可視化
plt.figure(figsize=(8, 6))
sns.heatmap(confusion_matrix_result, annot=True, cmap='Blues')
plt.xlabel('Predicted labels')
plt.ylabel('True labels')
plt.show()

##The confusion matrix result:
##[[10  0   0]
##[0   8   2] 
##[0   2   8]]