特殊數據結構：單調棧

引言

棧（stack）是很簡單的一種數據結構，先進後出的邏輯順序，符合某些問題的特點，比如說函數調用棧。

單調棧實際上就是棧，只是利用了一些巧妙的邏輯，使得每次新元素入棧後，棧內的元素都保持有序（單調遞增或單調遞減）。

用簡潔的話來說就是：單調棧就是 棧內元素單調遞增或者單調遞減 的棧，單調棧只能在棧頂操作。

聽起來有點像堆（heap）？不是的，單調棧用途不太廣泛，只處理一種典型的問題，叫做 Next Greater Element。本文用講解單調隊列的演算法模版解決這類問題，並且探討處理「循環數組」的策略。

介紹

首先，講解 Next Greater Number 的原始問題：給你一個數組，返回一個等長的數組，對應索引存儲著下一個更大元素，如果沒有更大的元素，就存 -1。不好用語言解釋清楚，直接上一個例子：

給你一個數組$ [2,1,2,4,3]$，你返回數組 $[4,2,4,-1,-1]$。

解釋：第一個 2 後面比 2 大的數是 4; 1 後面比 1 大的數是 2；第二個 2 後面比 2 大的數是 4; 4 後面沒有比 4 大的數，填 -1；3 後面沒有比 3 大的數，填 -1。

這道題的暴力解法很好想到，就是對每個元素後面都進行掃描，找到第一個更大的元素就行了。但是暴力解法的時間複雜度是$ O(n^2)$。

這個問題可以這樣抽象思考：把數組的元素想像成並列站立的人，元素大小想像成人的身高。這些人面對你站成一列，如何求元素「2」的 Next Greater Number 呢？很簡單，如果能夠看到元素「2」，那麼他後面可見的第一個人就是「2」的 Next Greater Number，因為比「2」小的元素身高不夠，都被「2」擋住了，第一個露出來的就是答案。

這個情景很好理解吧？帶著這個抽象的情景，先來看下程式碼。

vector<int> nextGreaterElement(vector<int>& nums) {
    vector<int> ans(nums.size()); // 存放答案的數組
    stack<int> s;
    for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) { // 倒著往棧里放
        while (!s.empty() && s.top() <= nums[i]) { // 判定個子高矮
            s.pop(); // 矮個起開，反正也被擋著了。。。
        }
        ans[i] = s.empty() ? -1 : s.top(); // 這個元素身後的第一個高個
        s.push(nums[i]); // 進隊，接受之後的身高判定吧！
    }
    return ans;
}

這就是單調隊列解決問題的模板。for 循環要從後往前掃描元素，因為我們藉助的是棧的結構，倒著入棧，其實是正著出棧。while 循環是把兩個「高個」元素之間的元素排除，因為他們的存在沒有意義，前面擋著個「更高」的元素，所以他們不可能被作為後續進來的元素的 Next Great Number 了。

這個演算法的時間複雜度不是那麼直觀，如果你看到 for 循環嵌套 while 循環，可能認為這個演算法的複雜度也是 O(n^2)，但是實際上這個演算法的複雜度只有 O(n)。

分析它的時間複雜度，要從整體來看：總共有 n 個元素，每個元素都被 push 入棧了一次，而最多會被 pop 一次，沒有任何冗餘操作。所以總的計算規模是和元素規模 n 成正比的，也就是 O(n) 的複雜度。

現在，你已經掌握了單調棧的使用技巧，來一個簡單的變形來加深一下理解。

給你一個數組 T = [73, 74, 75, 71, 69, 72, 76, 73]，這個數組存放的是近幾天的天氣氣溫（這氣溫是鐵板燒？不是的，這裡用的華氏度）。你返回一個數組，計算：對於每一天，你還要至少等多少天才能等到一個更暖和的氣溫；如果等不到那一天，填 0 。

舉例：給你 T = [73, 74, 75, 71, 69, 72, 76, 73]，你返回 [1, 1, 4, 2, 1, 1, 0, 0]。

解釋：第一天 73 華氏度，第二天 74 華氏度，比 73 大，所以對於第一天，只要等一天就能等到一個更暖和的氣溫。後面的同理。

你已經對 Next Greater Number 類型問題有些敏感了，這個問題本質上也是找 Next Greater Number，只不過現在不是問你 Next Greater Number 是多少，而是問你當前距離 Next Greater Number 的距離而已。

相同類型的問題，相同的思路，直接調用單調棧的演算法模板，稍作改動就可以啦，直接上程式碼把。

vector<int> dailyTemperatures(vector<int>& T) {
    vector<int> ans(T.size());
    stack<int> s; // 這裡放元素索引，而不是元素
    for (int i = T.size() - 1; i >= 0; i--) {
        while (!s.empty() && T[s.top()] <= T[i]) {
            s.pop();
        }
        ans[i] = s.empty() ? 0 : (s.top() - i); // 得到索引間距
        s.push(i); // 加入索引，而不是元素
    }
    return ans;
}

單調棧講解完畢。下面開始另一個重點：如何處理「循環數組」。

同樣是 Next Greater Number，現在假設給你的數組是個環形的，如何處理？

給你一個數組 [2,1,2,4,3]，你返回數組 [4,2,4,-1,4]。擁有了環形屬性，最後一個元素 3 繞了一圈後找到了比自己大的元素 4 。

首先，電腦的記憶體都是線性的，沒有真正意義上的環形數組，但是我們可以模擬出環形數組的效果，一般是通過 % 運算符求模（餘數），獲得環形特效：

int[] arr = {1,2,3,4,5};
int n = arr.length, index = 0;
while (true) {
    print(arr[index % n]);
    index++;
}

回到 Next Greater Number 的問題，增加了環形屬性後，問題的難點在於：這個 Next 的意義不僅僅是當前元素的右邊了，有可能出現在當前元素的左邊（如上例）。

明確問題，問題就已經解決了一半了。我們可以考慮這樣的思路：將原始數組「翻倍」，就是在後面再接一個原始數組，這樣的話，按照之前「比身高」的流程，每個元素不僅可以比較自己右邊的元素，而且也可以和左邊的元素比較了。

怎麼實現呢？你當然可以把這個雙倍長度的數組構造出來，然後套用演算法模板。但是，我們可以不用構造新數組，而是利用循環數組的技巧來模擬。直接看程式碼吧：

vector<int> nextGreaterElements(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    vector<int> res(n); // 存放結果
    stack<int> s;
    // 假裝這個數組長度翻倍了
    for (int i = 2 * n - 1; i >= 0; i--) {
        while (!s.empty() && s.top() <= nums[i % n])
            s.pop();
        res[i % n] = s.empty() ? -1 : s.top();
        s.push(nums[i % n]);
    }
    return res;
}

初步來總結一下單調棧吧，單調棧其實是一個看似原理簡單，但是可以變得很難的解法。線性的時間複雜度是其最大的優勢，每個數字只進棧並處理一次，而解決問題的核心就在處理這塊，當前數字如果破壞了單調性，就會觸發處理棧頂元素的操作，而觸發數字有時候是解決問題的一部分，比如在 Trapping Rain Water 中作為右邊界。有時候僅僅觸發作用，比如在 Largest Rectangle in Histogram 中是為了開始處理棧頂元素，如果僅作為觸發，可能還需要在數組末尾增加了一個專門用於觸發的數字。另外需要注意的是，雖然是遞增或遞減棧，但裡面實際存的數字並不一定是遞增或遞減的，因為我們可以存坐標，而這些坐標帶入數組中才會得到遞增或遞減的數。所以對於玩數組的題，如果相互之間關聯很大，那麼就可以考慮考慮單調棧能否解題。

另外，單調棧也可以用於離線解決 RMQ 問題。

我們可以把所有詢問按右端點排序，然後每次在序列上從左往右掃描到當前詢問的右端點處，並把掃描到的元素插入到單調棧中。這樣，每次回答詢問時，單調棧中存儲的值都是位置 $\le r$ 的、可能成為答案的決策點，並且這些元素滿足單調性質。此時，單調棧上第一個位置 $\ge l$ 的元素就是當前詢問的答案，這個過程可以用二分查找實現。使用單調棧解決 RMQ 問題的時間複雜度為 $O(q\log q + q\log n)$ ，空間複雜度為 $O(n)$ 。

參考資料

CSDN：單調棧介紹

部落格園：單調棧小結