電腦底層到底是如何存儲數字的？

• 2019 年 10 月 12 日
• 筆記

電腦對外資訊展示方式有文字、圖片、音頻、影片等，但不論應用在什麼地方，資訊在機器內部的形式都是一致的，即均為0和1組成的各種編碼。

一、有符號數和無符號數

在電腦中參與運算的數有兩大類：無符號數和有符號數。

無符號數

電腦中的數均放在暫存器中，通常稱暫存器的位數為機器字長。

所謂無符號數，即沒有符號的數，在暫存器中的每一位均可用來存放數值。當存放有符號數時，則需留出位置存放符號。

因此，在機器字長相同時，無符號數與有符號數所對應的數值範圍是不同的。

以機器字長為16位為例，無符號數的表示範圍為 0~65535，而有符號數的表示範圍為 -32768 ~ +32767（此數值對應補碼錶示）。

有符號數

對有符號數而言，符號的「正」、「負」機器是無法識別的，但由於「正」、「負」恰好是兩種截然不同的狀態，如果用「0「表示「正」，用「1」表示「負」，這樣符號也被數字化了，並且規定將它放在有效數字的前面，即組成了有符號數。
例如，+1100 在機器中表示為 01100 ，-1100 在機器中表示為 1 1100 。

在Java語言中，如 int、float 等都是有符號數，故下文所講都是在有符號數的範疇。

二、機器數與真值

把符號（如+、-）「數字化」的數稱為機器數，而把帶「+」或「-」符號的數稱為真值。

一旦符號數字化後，符號和數值就形成了一種新的編碼。在運算過程中，符號位能否和數值部分一起參加運算？如果參加運算，符號位又需作哪些處理？這些問題都與符號位和數值位所構成的編碼有關，這些編碼就是原碼、補碼、反碼和移碼。

原碼

原碼是機器數中最簡單的一種表示形式，符號位為0的表示正數，符號位為1的表示負數，數值位即真值的絕對值，故原碼錶示又稱為帶符號的絕對值表示。

反碼

正數的反碼依舊等於原碼，負數的反碼是在其原碼的基礎上， 符號位不變，其餘各個位取反。

補碼

正數的補碼碼依舊等於原碼，負數的補碼是在其原碼的基礎上， 符號位不變， 其餘各位取反， 最後+1。 (即在反碼的基礎上+1)

移碼

同一個真值的移碼和補碼僅差一個符號位，若將補碼的符號位由「0」改為「1」，或從「1」改為「0」，即可得該真值的移碼。簡單說，無論正負數，只要將其補碼的符號位取反即可。

三、定點數與浮點數

在電腦中，小數點不用專門的器件表示，而是按約定的方式標出，共有兩種方法表示小數點的存在，即定點表示和浮點表示。定點表示的數稱為定點數（如 java 語言中的 int），浮點表示的數稱為浮點數（如 java 語言中的 float、double）。

定點數

小數點固定在某一位置的數為定點數，有以下兩種格式。

當小數點位於數符和第一數值位之間時，機器內的數為純小數；當小數點位於數值位之後時，機器內的數為純整數。

採用定點數的機器稱為定點機。數值部分的位數n決定了定點機中數的表示範圍。若機器數採用原碼，小數定點機中數的表示範圍是 -(1 – 2^-n) ~ (1 – 2^-n)，整數定點機中數的表示範圍是 -(2^n-1) ~ (2^n-1)。

浮點數

實際上電腦中處理的數不一定是純小數或純整數（如圓周率3.1416），而且有些數據的數值範圍相差很大（如電子的品質9×10-6g，太陽的品質2×103g），它們都不能直接用定點小數或定點整數表示，但均可用浮點數表示。浮點數即小數點的位置可以浮動的數，如

352.47 = 3.5247 * 10^2 = 3524.7 * 10^-1

顯然，這裡小數點的位置是變化的，但因為分別乘上了不同的 10 的方冪，故值不變。

通常，浮點數被表示成 N = S * r^j ， 式中，S為尾數（可正可負），j為階碼（可正可負），r是基數（或基值）。在電腦中，基數可取2，4、8或16等。

浮點數的規格化形式為 N = 0.110101 * 2^10。

浮點數在機器中的形式如下所示。

浮點數由階碼j和尾數S兩部分組成。階符表示階碼數值部分的正負，數符表示尾數數值部分的正負。階碼j反映了浮點數的表示範圍及小數點的實際位置。尾數是小數，其位數n反映了浮點數的精度。

定點數與浮點數的比較

定點數和浮點數可從如下幾個方面進行比較。

①當浮點機和定點機中數的位數相同時，浮點數的表示範圍比定點數的大得多。

②當浮點數為規格化數時，其相對精度遠比定點數高。

③浮點數運算要分階碼部分和尾數部分，而且運算結果都要求規格化，故浮點運算步驟比定點運算步驟多，運算速度比定點運算的低，運算線路比定點運算的複雜。

④在溢出的判斷方法上，浮點數是對規格化數的階碼進行判斷，而定點數是對數值本身進行判斷。例如小數定點機中的數其絕對值必須小於1，否則「溢出」，此時要求機器停止運算，進行處理。為了防止溢出，上機前必須選擇比例因子，這個工作比較麻煩給編程帶來不便。而浮點數的表示範圍遠比定點數大，僅當「上溢」時機器才停止運算，故一般不必考慮比例因子的選擇。

總之，浮點數在數的表示範圍、數的精度、溢出處理和程式編程方面（不取比例因子）均優於定點數。但在運算規則、運算速度及硬體成本方面又不如定點數。因此，究竟選用定點數還是浮點數，應根據具體應用綜合考慮。一般來說，通用的大型電腦大多採用浮點數，或同時採用定、浮點數；小型、微型及某些專用機、控制機則大多採用定點數。當需要作浮點運算時，可通過軟體實現，也可外加浮點擴展硬體（如協處理器）來實現。

四、IEEE 754標準

現代電腦中，浮點數一般採用 IEEE 制定的國際標準，這種標準形式如下：

按 IEEE 標準，常用的浮點數有三種：

其中，S為數符，表示浮點數的正負，但與其有效位（尾數）是分開的。

階碼用移碼錶示，階碼的真值都被加上一個常數（偏移量），如短實數、長實數和臨時實數的偏移量用十六進位數表示分別為 7FH、3FFH 和 3FFFH。

尾數部分通常都是規格化表示，即非「0」的有效位最高位總是「1」。

下面列出了十進位數 178.125 的實數表示。

你也可以編寫 java 程式來驗證在機器上浮點數是否是以 IEEE754 標準存儲的，示例程式碼如下：

@Test  public void test(){      int i = Float.floatToIntBits(178.125f);      System.out.println(Integer.toBinaryString(i));      //0 10000110 01100100010000000000000  }