一文入門：XGBoost與手推二階導
- 2020 年 6 月 22 日
- 筆記
- Python與機器學習競賽, 機器學習常見演算法入門
作者前言
在2020年還在整理XGB的演算法，其實已經有點過時了。。不過，主要是為了學習演算法嘛。現在的大數據競賽，XGB基本上已經全面被LGB模型取代了，這裡主要是學習一下Boost演算法。之前已經在其他博文中介紹了Adaboost演算法和Gradient-boost演算法，這篇文章講解一下XGBoost。
Adaboost和XGBoost無關，但是Gradient-boost與XGBoost有一定關係。
一文搞懂：Adaboost及手推演算法案例
一文讀懂：GBDT梯度提升
樹模型概述
XGB就是Extreme Gradient Boosting極限梯度提升模型。XGB簡單的說是一組分類和回歸樹（CART）的組合。跟GBDT和Adaboost都有異曲同工之處。
【CART=classification adn regression trees】
這裡對於一個決策樹，如何分裂，如何選擇最優的分割點，其實就是一個搜索的過程。搜索怎麼分裂，才能讓目標函數最小。目標函數如下：
\(Obj = Loss + \Omega\)
\(Obj\)就是我們要最小化的優化函數，\(Loss\)就是這個CART模型的預測結果和真實值得損失。\(\Omega\)就是這個CART模型的複雜度,類似神經網路中的正則項。
【上面的公式就是一個抽象的概念。我們要知道的是：CART樹模型即要求預測儘可能準確，又要求樹模型不能過於複雜。】
對於回歸問題，我們可以用均方差來作為Loss：
\(Loss=\sum_i{(y_i-\hat{y_i})^2}\)
對於分類問題，用交叉熵是非常常見的,這裡用二值交叉熵作為例子：
\(Loss = \sum_i{(y_ilog(\hat{y_i})+(1-y_i)log(\hat{y_i}))}\)
總之，這個Loss就是衡量模型預測準確度的損失。
下面看一下如何計算這個模型複雜度\(\Omega\)吧。
\(\Omega = \gamma T+\frac{1}{2} \lambda \sum^T_j{w_j}^2\)
\(T\)表示葉子節點的數量，\(w_j\)表示每個葉子節點上的權重（與葉子節點的樣本數量成正比）。
【這裡有點麻煩的在於，\(w_j\)是與每個葉子節點的樣本數量成正比，但是並非是樣本數量。這個\(w_j\)的求取，要依靠與對整個目標函數求導數，然後找到每個葉子節點的權重值\(w_j\)。】
XGB vs GBDT
其實說了這麼多，感覺XGB和GDBT好像區別不大啊？下面整理一下網上有的說法，再加上自己的理解。有錯誤請指出評論，謝謝！
區別1：自帶正則項
GDBT中，只是讓新的弱分類器來擬合負梯度，那擬合多少棵樹才算好呢？不知道。XGB的優化函數中，有一個\(\Omega\)複雜度。這個複雜度不是某一課CART的複雜度，而是XGB中所有CART的總複雜度。可想而知，每多一顆CART，這個複雜度就會增加他的懲罰力度，當損失下降小於複雜度上升的時候，XGB就停止了。
區別2：有二階導數資訊
GBDT中新的CART擬合的是負梯度，也就是一階導數。而在XGB會考慮二階導數的資訊。
這裡簡單推導一下XGB如何用上二階導數的資訊的：
-
之前我們得到了XGB的優化函數：
\(Obj = Loss + \Omega\) -
然後我們把Loss和Omega寫的更具體一點：
\(Obj = \sum_i^n{Loss(y_i,\hat{y}_i^t)}+\sum_j^t{\Omega(cart_j)}\)- \(\hat{y_i^t}\)表示總共有t個CART弱分類器，然後t個弱分類器給出樣本i的估計值就。
- \(y_i\)第i個樣本的真實值；
- \(\Omega(cart_j)\)第j個CART模型的複雜度。
-
我們現在要求取第t個CART模型的優化函數，所以目前我們只是知道前面t-1的模型。所以我們得到：
\(\hat{y}_i^t = \hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i)\)
t個CART模型的預測，等於前面t-1個CART模型的預測加上第t個模型的預測。 -
所以可以得到：
\(\sum_i^n{Loss(y_i,\hat{y}_i^t)}=\sum_i^n{Loss(y_i,\hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i))}\)
這裡考慮一下特勒展開：
\(f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x + \frac{1}{2} f”(x)\Delta x^2\) -
如何把泰勒公式帶入呢？
\({Loss(y_i,\hat{y}_i^t)}\)中的\(y_i\)其實就是常數，不是變數
所以其實這個是可以看成\(Loss(\hat{y}_i^t)\),也就是:
\(Loss(\hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i))\) -
帶入泰勒公式，把\(f_t(x_i)\)看成\(\Delta x\)：
\(Loss(\hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i))=Loss(\hat{y}_i^{t-1})+Loss'(\hat{y}_i^{t-1})f_t(x_i)+\frac{1}{2}Loss”(\hat{y}_i^{t-1})(f_t(x_i))^2\)- 在很多的文章中，會用\(g_i=Loss'(\hat{y}_i^{t-1})\),以及\(h_i=Loss”(\hat{y}_i^{t-1})\)來表示函數的一階導數和二階導數。
-
把泰勒展開的東西帶回到最開始的優化函數中，刪除掉常數項\(Loss(\hat{y}_i^{t-1})\)(這個與第t個CART模型無關呀)以及前面t-1個模型的複雜度，可以得到第t個CART的優化函數：
\(Obj^t \approx \sum_i^n{[g_i f_t(x_i)+\frac{1}{2}h_i(f_t(x_i))^2}]+{\Omega(cart_t)}\)
【所以XGB用到了二階導數的資訊，而GBDT只用了一階的梯度】
區別3：列抽樣
XGB借鑒了隨機森林的做法，不僅僅支援樣本抽樣，還支援特徵抽樣（列抽樣），不僅可以降低過擬合，還可以減少計算。
區別4：缺失值
XGB可以自適應的處理樣本中的缺失值。如何處理的這裡就不再講述。
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