[OpenGL](翻譯+補充)投影矩陣的推導
1.簡介
電腦顯示器是一個2D的平面，一個3D的場景要被OpenGL渲染必須被投影到2D平面上以生成2D的影像。在OpenGL中，GL_PROJECTION矩陣可以用來進行投影變換。首先，它將所有的頂點數據從相機坐標系(eye coordinates)轉換到裁剪坐標系(clip coordinates)，然後通過除以裁剪空間坐標的w值，將裁剪空間坐標系轉換到歸一化設備坐標系(normalized device coordinates，NDC)
我們需要注意的一點就是，裁剪和NDC變換都通過GL_PROJECTION矩陣來完成。之後的文章，將會利用6個參數來構建投影矩陣，這六個參數是：left，right，bottom，top，near，far，分別為近裁剪面的左右下上邊界，近裁剪面，遠裁剪面。
視錐體剔除是在裁剪坐標下進行的，在轉換到NDC坐標系之前。已經變換到裁剪坐標系的坐標\(x_c,y_c,z_c\)會和\(w_c\)進行比較，如果裁剪坐標大於\(w_c\)或小於\(-w_c\)，則頂點會被剔除，OpenGL會重建多邊形的邊。
ps.解釋一下為什麼要和\(w_c\)進行比較。因為NDC坐標的範圍是\([-1,1]\)，而裁剪坐標和NDC坐標之間的關係是\(x_c/w_c = x_n\)，所以\(x_c\)必須得在\([-w_c,w_c]\)之間才可見，其他兩個軸同理。不是在NDC坐標階段進行裁剪，是因為不可見的頂點，沒有必要在對其進行運算，會消耗資源。在作用完投影矩陣後，得到的是齊次坐標，OpenGL會自動除以\(w_c\)，以得到笛卡爾坐標，OpenGL應該是在除以\(w_c\)之前進行視錐體剔除工作。
2.透視投影
在透視投影中，1個3D的點在一個像被切了一刀的金字塔的視錐體中，此時的坐標系是相機坐標系，這個坐標系會被映射正方體的NDC坐標系中。
- \(x:[l,r]->[-1,1]\)
- \(y:[b,t]->[-1,1]\)
- \(z:[-n,-f]->[-1,1]\)
相機坐標系定義在右手坐標系，NDC是左手坐標系，所以相機朝著-Z的方向看去，而NDC朝著+Z的方向看去。因為glFrustum()裁剪面的參數必須為正數，所以在創建投影矩陣的時候，我們要對其進行去取反。
ps.glFrustum是opengl類庫中的函數，它是將當前矩陣與一個透視矩陣相乘，把當前矩陣轉變成透視矩陣，在使用它之前，通常會先調用glMatrixMode(GL_PROJECTION).
void glFrustum(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble nearVal, GLdouble farVal)，left,right指明相對於垂直平面的左右坐標位置，bottom,top指明相對於水平剪切面的下上位置，nearVal,farVal指明相對於深度剪切面的遠近的距離，兩個必須為正數。
在OpenGL中，1個3D的點將會被投影到近裁剪平面上，下圖展示了點\((x_e,y_e,z_e)\)如何投影到\((x_p,y_p,z_p)\)。
在視錐體的頂視圖，我們可以利用相似三角形計算\(x_p\)的值
x_p = \frac{-nx_e}{z_e}=\frac{nx_e}{-z_e}
\]
同理，在側視圖中，利用相似三角形計算\(y_p\)的值
y_p = \frac{-ny_e}{z_e}=\frac{ny_e}{-z_e}
\]
我們觀察到\(x_p,y_p\)都依賴於\(z_e\)，他們都除以\(z_e\)，這是第一個線索，來幫助我們構建透視投影矩陣。當相機坐標系經過透視投影矩陣變換後，得到的是裁剪坐標系的齊次坐標，最後通過除以齊次坐標的\(w_c\)，來得到NDC
x_c\\
y_c\\
z_c\\
w_c
\end{bmatrix}
=M_{projection}
\begin{bmatrix}
x_e\\
y_e\\
z_e\\
w_e
\end{bmatrix}
,
\begin{bmatrix}
x_n\\
y_n\\
z_n\\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x_c/w_c\\
y_c/w_c\\
z_c/w_c\\
\end{bmatrix}
\]
因此我們可以設置\(w_c\)的值為\(-z_e\)，現在投影矩陣看起來是
x_c\\
y_c\\
z_c\\
w_c
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
.&.&.&.\\
.&.&.&.\\
.&.&.&.\\
0&0&-1&0\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_e\\
y_e\\
z_e\\
w_e
\end{bmatrix}
\]
接著，我們需要將\(x_p,y_p\)映射到\(x_n,y_n\)，\([l,r]->[-1,1],[b,t]->[-1,1]\)。
相當於是給定l，我要得到-1，給定r，我要得到1，這不就是給定二維平面上的兩個點，求其直線方程的問題。
帶入點(r,1),1 = \frac{2r}{r-l}+\beta\\
化簡求得\beta=-\frac{r+l}{r-l}\\
最終得x_n = \frac{2x_p}{r-l}-\frac{r+l}{r-l}
\]
帶入點(t,1),1 = \frac{2t}{t-b}+\beta\\
化簡求得\beta=-\frac{t+b}{t-b}\\
最終得y_n = \frac{2y_p}{t-b}-\frac{t+b}{t-b}
\]
現在有了從\(x_e,y_e\)到\(x_p,y_p\)和從\(x_p,y_p\)到\(x_n,y_n\)，現在聯立一下就可以得到從\(x_e,y_e\)到\(x_n,y_n\)的關係表達式。
x_p = \frac{-nx_e}{z_e}=\frac{nx_e}{-z_e}\\
最終可以化簡為(\underbrace{\frac{2n}{r-l}x_e+\frac{r+l}{r-l}z_e}_{x_c})/-z_e
\]
同理
y_p = \frac{-ny_e}{z_e}=\frac{ny_e}{-z_e}\\
最終可以化簡為(\underbrace{\frac{2n}{t-b}y_e+\frac{t+b}{t-b}z_e}_{y_c})/-z_e
\]
現在我們的透視矩陣現在是這個樣子
x_c\\
y_c\\
z_c\\
w_c
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{2n}{r-l}&0&\frac{r+l}{r-l}&0\\
0&\frac{2n}{t-b}&\frac{t+b}{t-b}&0\\
.&.&.&.\\
0&0&-1&0\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_e\\
y_e\\
z_e\\
w_e
\end{bmatrix}
\]
現在還剩下矩陣的第三行。\(z_n\)和其他兩個軸的坐標稍有不同，因為\(z_e\)總是投影到-n的近裁剪面，但是我們需要不同的z值來進行裁剪和深度測試，另外我們應該可以進行逆操作（逆變換）。因為我們知道z的值不依賴於x，y，我們借用w的值來尋找\(z_n,z_e\)之間的關係，因此我們指定第三行矩陣為
x_c\\
y_c\\
z_c\\
w_c
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{2n}{r-l}&0&\frac{r+l}{r-l}&0\\
0&\frac{2n}{t-b}&\frac{t+b}{t-b}&0\\
0&0&A&B\\
0&0&-1&0\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_e\\
y_e\\
z_e\\
w_e
\end{bmatrix}
\]
\]
在相機坐標系中，\(w_e\)的值是1，因此有\(z_n = \frac{Az_e+B}{-z_e}\)，為了獲得A和B的值，我們使用\((z_e,z_n)\)的關係，\((-n,-1),(-f,1)\)，然後將他們代入表達式。
\frac{-Af+B}{f}=1
\]
聯立，這是一個簡單二元一次方程組，容易求得
B = -\frac{2fn}{f-n}
\]
所以最終得到
\]
最終整個投影矩陣的表達式為
x_c\\
y_c\\
z_c\\
w_c
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{2n}{r-l}&0&\frac{r+l}{r-l}&0\\
0&\frac{2n}{t-b}&\frac{t+b}{t-b}&0\\
0&0&-\frac{f+n}{f-n}&-\frac{2fn}{f-n}\\
0&0&-1&0\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_e\\
y_e\\
z_e\\
w_e
\end{bmatrix}
\]
這個投影矩陣是一般的視錐體，如果是對稱的話，有\(r=-l,t=-b\)，那麼有
t+b=0,t-b=2t(height)
\]
最後矩陣可以簡單的化為
\frac{n}{r}&0&0&0\\
0&\frac{n}{t}&0&0\\
0&0&-\frac{f+n}{f-n}&-\frac{2fn}{f-n}\\
0&0&-1&0\\
\end{bmatrix}
\]
注意觀察\(z_e,z_n\)的關係式，這是一個非線性的反比例函數，這意味著，在近裁剪平面的是很好，精度很高，而在遠裁剪面的時候，精度很低。當\([-n,-f]\)很大時，可能導致深度精度問題（z-fighting），一個較小的\(z_e\)的變化，在遠裁剪面可能不會影響\(z_n\)的值，n和f之間的距離應該短一些，從而最小化這個問題。
ps.因為浮點數會存在精度問題，畢竟電腦的存儲是離散的。
3.正交投影
正交投影的要比透視投影簡單許多，\(x_e,y_e,z_e\)相機坐標系將會線性映射到NDC坐標系。我們僅需要將長方體變為正方體，然後移動至原點。
代入(r,1)，最終可得\\
x_n = \frac{2}{r-l}x_e-\frac{r+l}{r-l}
\]
同理
代入(t,1)，最終可得\\
y_n = \frac{2}{t-b}y_e-\frac{t+b}{t-b}
\]
同理
代入(-f,1)，最終可得\\
z_n = \frac{-2}{f-n}z_e-\frac{f+n}{f-n}
\]
因為w的值在正交投影中不必要，所以我們設置為1，因此正交投影矩陣為
\begin{bmatrix}
\frac{2}{r-l}&0&0&-\frac{r+l}{r-l}\\
0&\frac{2}{t-b}&0&-\frac{t+b}{t-b}\\
0&0&-\frac{2}{f-n}&-\frac{f+n}{f-n}\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\]
同透視投影一樣，如果是對稱的話，那麼就可以矩陣就可以變簡單
\begin{bmatrix}
\frac{1}{r}&0&0&0\\
0&\frac{1}{t}&0&0\\
0&0&-\frac{2}{f-n}&-\frac{f+n}{f-n}\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\]
