整數、浮點數在電腦中的存儲

• 2019 年 10 月 8 日
• 筆記

一、簡述

1.1 電腦底層存儲數據的基本原理

　　電腦要處理的資訊是多種多樣的，如數字、文字、符號、圖形、音頻、影片等，這些資訊在人們的眼裡是不同的。但對於電腦來說，它們在記憶體中都是一樣的，都是以二進位的形式來表示。要想學習編程，就必須了解二進位，它是電腦處理數據的基礎。

　　記憶體條是一個非常精密的部件，包含了上億個電子元器件，它們很小，達到了納米級別。這些元器件，實際上就是電路；電路的電壓會變化，要麼是 0V，要麼是 5V，只有這兩種電壓。5V 是通電，用1來表示，0V 是斷電，用0來表示。所以，一個元器件有2種狀態，0 或者 1。我們通過電路來控制這些元器件的通斷電，會得到很多0、1的組合。例如，8個元器件有 28=256 種不同的組合，16個元器件有 216=65536 種不同的組合。雖然一個元器件只能表示2個數值，但是多個結合起來就可以表示很多數值了。

我們可以給每一種組合賦予特定的含義，例如，可以分別用 1101000、00011100、11111111、00000000、01010101、10101010 來表示 C、語、言、中、文、網 這幾個字，那麼結合起來 1101000 00011100 11111111 00000000 01010101 10101010 就表示」C語言中文網「。一般情況下我們不一個一個的使用元器件，而是將8個元器件看做一個單位，即使表示很小的數，例如 1，也需要8個，也就是 00000001。1個元器件稱為1比特（Bit）或1位，8個元器件稱為1位元組（Byte），那麼16個元器件就是2Byte，32個就是4Byte，以此類推。我們平時使用電腦時，通常只會設計到 KB、MB、GB、TB 這幾個單位，PB 和 EB 這兩個高級單位一般在大數據處理過程中才會用到。

• 1Byte = 8 Bit
• 1KB = 1024Byte = 2^10Byte
• 1MB = 1024KB = 2^20Byte
• 1GB = 1024MB = 2^30Byte
• 1TB = 1024GB = 2^40Byte
• 1PB = 1024TB = 2^50Byte
• 1EB = 1024PB = 2^60Byte

　　所以，在記憶體中沒有abc這樣的字元，也沒有gif、jpg這樣的圖片，只有0和1兩個數字，電腦也只認識0和1。所以，電腦使用二進位，而不是我們熟悉的十進位，寫入記憶體中的數據，都會被轉換成0和1的組合。

1.2 數據的類型

　　數據的類型有很多，不同的程式語言會將數據的類型分為不同的類別。但是一般的分類是兩大類：基本數據類型和引用類型。

• 基本數據類型：直接存儲數值。一般有：整型（byte / short / int / long）、浮點型(float / double)、布爾型(boolean)和字元型(char)。
• 引用類型：存儲的是地址，數組、字元串、結構體、對象等

二、整數的存儲

2.1 整數的基本概念

　　大家知道，整數包括負數，零，和正數。電腦中的整數分為有符號數和無符號數。

• 有符號數：最高位表示符號，即最高位為0，表示正數，最高位為1，表示負數。如果用N位來表示整數，那麼有符號數的範圍為：[-2^(N-1)，(2^(N-1))-1]。用8位來表示有符號整數數，由於第8位用於表示了符號，因此，整數的表示範圍為[-128，+127]。
• 無符號數：表示非負數，整個位數都用來表示整數的值。如果用N位來表示整數，無符號數的表示範圍為[0，(2^N)-1]。用8位來表示有符號整數數，則無符號數的表示範圍為[0，255]。

2.2 整數的編碼方式

　　整數的編碼分為原碼、反碼、和補碼。計算里使用的是補碼的存儲方式。它們的定義如下：

• 原碼：在數值前面增加了一位符號位（即最高位為符號位），該位為0表示正數，該位為1表示負數，其餘位表示數值的大小。
• 反碼：正數的反碼與其原碼相同。負數的反碼是對其原碼逐位取反，但符號位除外。
• 補碼：正數的補碼與其原碼相同，負數的補碼就是對該負數的反碼加1。

　　因為電腦是以補碼來存儲整數的，所以補碼就顯得很重要。那麼如何計算整數的補碼呢？下面以具體例子來說明。

100 的補碼：01100100 0 的補碼：0 -100 的補碼：絕對值：01100100 –>取反加1：10011011+1 –>10011100 1 的補碼：00000001 -1 的補碼：絕對值：00000001 –>取反加1：111111110+1 –>11111111 127 的補碼：01111111 -128 的補碼：絕對值：10000000 –>取反加1：01111111+1 –>10000000 在電腦系統中，數值一律用補碼來表示（存儲）。

　　從定義可以看出，正數的補碼，反碼，原碼相同。0的補碼就是本身。那麼負數的原碼和補碼如何轉換呢？已知一個負數求補碼方法：絕對值原碼按位求反加1。已知負數補碼求負數方法：符號位不變，其他位按位求反加1。對於8位整數來說，補碼的表示範圍為[-128，127]。 大家應該記住一些常見的補碼的表示，這些數包括但不局限於下面表中列出的數：

　　那麼有了原碼，電腦為什麼還要用補碼呢？

　　來看看它們的運算情況。 假設字長為8位 ，那麼原碼的運算方式為： 1 – 1 = 1 + ( -1 ) =(00000001) + (10000001) = (10000010) = -2 ，這顯然不正確。原碼在兩個整數的加法運算中是沒有問題的，問題出現在帶符號位的負數身上。 原碼無法滿足運算要求，因此對除符號位外的其餘各位逐位取反就產生了反碼。反碼的取值空間和原碼相同且一一對應。下面是反碼的減法運算： 1 – 1 = 1 + ( -1 )= (00000001) + (11111110) = (11111111) = ( -0 ) 沒問題。 1 – 2 = 1 + ( -2 ) = (00000001) + (11111101) = (11111110) = ( -1 ) 正確。反碼的問題出現在(+0)和(-0)上，因為在人們的計算概念中零是沒有正負之分的。 再來看補碼的加減運算如下： 1 – 1 = 1 + （-1） = (00000001) + (11111111) = (00000000) = 0 正確。 1 – 2 = 1 + （-2） = (00000001) + (11111110) = (11111111) = ( -1 ) 正確。

　　通過補碼的運算，可以看出補碼的設計目的是：

• 使符號位能與有效值部分一起參加運算，從而簡化運算規則。
• 使減法運算轉換為加法運算，進一步簡化電腦中運算器的線路設計。
• 此外，在補碼中用-128代替了-0，所以沒有+0和-0之分，符合常理，所以補碼的表示範圍為： -128~0~127共256個。

注意：-128沒有相對應的原碼和反碼，-128的補碼為：10000000。

三、浮點數的存儲

　　一般的程式語言都是將浮點類型的數據採用單精度類型（ float）和雙精度類型(double)來存儲，float 數據佔用 32bit，double 數據佔用 64bit，我們在聲明一個變數 float f= 2.25f; 的時候，是如何分配記憶體的呢？如果胡亂分配，那世界豈不是亂套了么，其實不論是 float 還是 double 在存儲方式上都是遵從 IEEE 的規範的， float 遵從的是 IEEE R32.24 ,而 double 遵從的是 R64.53。無論是單精度還是雙精度在存儲中都分為三個部分：

• 浮點數表示的數值：V = (-1)^s × M × 2^E
• 符號(sign) ：1個bit表示，當s=0，V為正數；當s=1，V為負數。
• 階碼(exponent) ：E的作用是對浮點數加權，用於存儲科學計數法中的指數數據，並且採用移位存儲。float類型的階碼是 8 bits，double類型的階碼是 11 bits。
• 尾數(significand) ：M是一個二進位小數，因為是二進位，所以科學計數法中這個值範圍是：1≤M<2。(和十進位中範圍為1~10一樣)

　　R32.24 和 R64.53 的存儲方式都是用科學計數法來存儲數據的。比如 8.25 用十進位的科學計數法表示就為:8.25*10^1 ,而 120.5 可以表示為:1.205*10^2 ,這些小學的知識就不用多說了吧。而我們的傻蛋電腦根本不認識十進位的數據，他只認識 0， 1，所以在電腦存儲中，首先要將上面的數更改為二進位的科學計數法表示， 8.25 用二進位表示可表示為 1000.01,大家不會連這都不會轉換吧?那我估計要沒轍了。 120.5 用二進位表示為：1110110.1 用二進位的科學計數法表示 1000.01 可以表示為 1.0001* 2^3,1110110.1可以表示為 1.1101101* 2^6。

　　IEEE 754對有效數字M和指數E，還有一些特別規定。前面說過，1≤M<2，也就是說，M可以寫成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小數部分。IEEE 754規定，在電腦內部保存 M時，默認這個數的第一位總是1，因此可以被捨去，只保存後面的xxxxxx部分。比如保存1.01的時候，只保存01，等到讀取的時候，再把第一位的1加上去。這樣做的目的，是節省1位有效數字。以32位float浮點數為例，留給M只有23位，將第一位的1捨去以後，等於可以保存24位有效數字。 道理就是在這裡，那 24bit 能精確到小數點後幾位呢，我們知道 9 的二進位表示為 1001，所以 4bit 能精確十進位中的 1 位小數點， 24bit 就能使 float 能精確到小數點後 6 位。

　　至於指數E，情況就比較複雜。 首先，E為一個無符號整數（unsigned int）這意味著，如果E為8位 (float類型) ，它的取值範圍為0~255；如果E為11位（double類型），它的取值範圍 為0~2047。但是，我們知道，科學計數法中的E是可以出現負數的（因為0.75用科學計數法表示就是1.1*2^-1），所以IEEE 754規定，存入記憶體時E的真實值必須再加上一個中間數，對於8位的E，這個中間數是127；對於11位的E，這個中間數是1023。比如，2^10的E是10，所以保存成32位浮點數時，必須保存成10+127=137，即10001001。

　　接下來我們看下 8.25用float類型存儲的數據到底是什麼樣的？8.25f用二進位的科學計數法表示為:1.0001*2^3，按照上面的存儲方式，符號位s = 0，表示為正；指數位 E = 3+127=130 ,尾數部分為1.0001，去掉最前面的整數1，就是M = 0001，所以8.25f用float類型在記憶體中存儲的格式就是：