斐波那契數列通項公式
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簡介
斐波那契數列是指的這樣的一個數列，從第3項開始，以後每一項都等於前兩項之和。寫成遞推公式即：
\[a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(n \ge 3)
\]
\]
假設令\(a_1=1,a_2=1\)，則斐波那契數列指的是這樣的一串數：\({1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…}\)。接下來，文章提到斐波那契數列特指\(a_1=1,a_2=1\)的這串數。
斐波那契數列的通項公式及證明
通項公式
斐波那契數列的通項公式非常對稱：
\[a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n-(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n]
\]
\]
可以發現，斐波那契數列都是整數，但斐波那契數列的通項公式確是由無理數拼湊而來的。那麼接下來，我們就來看看如何證明（求解）
證明
由
\[a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(n \ge 3)
\]
\]
可設
\[a_n-\lambda a_{n-1}=\mu (a_{n-1}-\lambda a_{n-2})
\]
\]
移項後，使係數相同，得到：
\[\left\{\begin{matrix}
\lambda + \mu = 1\\
-\lambda \times \mu =1
\end{matrix}\right.\]
\lambda + \mu = 1\\
-\lambda \times \mu =1
\end{matrix}\right.\]
解得
\[\left\{\begin{matrix}
\lambda = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\
\mu = \frac{1-\sqrt{5}}{2}
\end{matrix}\right.\text{或}\left\{\begin{matrix}
\lambda = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\\
\mu = \frac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{matrix}\right.\]
\lambda = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\
\mu = \frac{1-\sqrt{5}}{2}
\end{matrix}\right.\text{或}\left\{\begin{matrix}
\lambda = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\\
\mu = \frac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{matrix}\right.\]
將其帶回到原式可得到
\[\left\{\begin{matrix}
a_n-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}(a_{n-1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n-2})—————1.\\
a_n-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}(a_{n-1}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n-2})—————2.
\end{matrix}\right.\]
a_n-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}(a_{n-1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n-2})—————1.\\
a_n-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}(a_{n-1}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n-2})—————2.
\end{matrix}\right.\]
然後
\[2. \times \frac{1-\sqrt{5}}{2}-1.\times \frac{1+\sqrt{5}}{2}
\]
\]
化簡得
\[a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n-(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n]
\]
\]
