電腦組成原理
電腦發展史（四個階段）
第一階段（1946~1957）：電子管電腦
世界上第一台電腦叫埃尼阿克(ENIAC)
第二次世界大戰是電子管電腦產生的催化劑（英國為了解密德國海軍的密文），在第二次世界大戰中，戰爭使用了飛機和火箭，打得准需要計算設計參數，設計參數需要幾千次運算才能計算出來，在沒有電腦之前 ，這些都需要人工手動去計算，埃尼阿克的計算速度大約是手工計算的20萬倍。
埃尼阿克(ENIAC)由18000多個電子管，運行耗電量達150千瓦，重量達30噸，佔地1500平方英尺。由此可見，第一階段的電子管電腦，集成度小，空間佔用大，功耗高，運行速度慢，操作複雜，更換程式需要接線。
第二階段（1957~1964）：電晶體電腦
貝爾實驗室的三個科學家發明了電晶體，第一台電晶體電腦產生於麻省理工大學的林肯實驗室。
第三階段（1964~1980）：積體電路電腦
德州儀器的工程師發明了積體電路(IC)，後面就有了積體電路電腦，積體電路電腦讓電腦具備進入千家萬戶的條件。因為積體電路使電腦變得更小，功耗變得更低，計算速度變得更快。
關於積體電路電腦，IBM當時主要推出了兩款電腦，使用量比較大，分別是7094和1401，但這兩款電腦的主打功能不同，而且相互無法兼容，公司也不願意投入兩組人力，於時後來IBM推出了兼容的產品System/360，這也是作業系統的雛形。
第四階段（1980~至今）：超大規模積體電路電腦
超大規模積體電路，一個晶片上集成了上百萬的電晶體，這樣使超大規模積體電路電腦速度更快，價格更低，體積更小，更能被大眾所接受，而且用途豐富，可以用作文本處理，表格處理，高交互的由於與應用等。
電腦的分類
超級電腦
功能最強、運算速度最快、存儲容量最大的電腦，多用於國家高科技領域和尖端技術研究。
運算速度單位是TFlop/s，1TFlob/s=每秒一萬億次浮點數計算
大型電腦
大型電腦又稱大型機、大型主機、主機等；具有高性能，可處理大數據與複雜的運算；在大型機市場領域，IBM佔據著很大的份額。
去”IOE”行動，”IOE”是分別指IBM，Oracle，EMC，去”IOE”是阿里巴巴提出的概念，代表了高維護費用的存儲系統，不夠靈活，伸縮性弱。阿里巴巴在2008年提出去「IOE」行動，在2009年成立了阿里雲。
迷你電腦（伺服器）
迷你電腦也稱為小型機，即普通伺服器，不需要特殊的空調場所，具備不錯的算力，可以完成較複雜的運算。普通的伺服器已經替代了傳統的大型機，成為大規模企業計算的中樞。
工作站
高端的通用微型電腦，提供比個人電腦更強大的性能，類似於普通台式電腦，體積較大，但性能較強。
微型電腦
微型電腦又稱為個人電腦，是最普通的一類電腦。麻雀雖小，五臟俱全，從構成的體質上來講，個人電腦與前面的分類的無異。
電腦的體系與結構
馮諾依曼體系
馮諾依曼體系：將程式指令和數據一起存儲的電腦設計概念結構。在馮諾依曼體系出現前，早期的電腦僅含固定用途程式，如改變程式就需要更改結構，重新設計電路，也就是不能先打會兒遊戲然後再寫會兒程式碼，這樣就很影響我們的使用體驗，所以就提出將程式存儲起來，並設計成通用電路，即存儲程式指令，設計通用電路。
馮諾依曼體系提出：電腦必須有一個存儲器、有一個控制器、有一個計算器、有輸入設備和輸出設備。這樣就能夠把需要的程式和數據送至電腦中（輸入設備），能夠長期記憶程式、數據、中間結果及最終運算結果的能力（存儲器），能夠具備算術、邏輯運算和數據傳送等數據加工處理的能力（運算器、控制器），能夠按照要求將處理結果輸出給用戶（輸出設備）。
由於CPU處理數據的速度要遠快於存儲器的存儲速度，所以CPU和存儲器的分開會造成芬諾伊曼瓶頸，也就是CPU和存儲器之間的速率問題無法調和。
現代電腦的結構
現代電腦在馮諾曼體系結構基礎上進行修改，解決CPU與存儲設備之間的性能差異問題。
電腦的層次與程式語言
程式翻譯與程式解釋
我們將人類語言變為電腦能看懂的語言，需要進行語言之間的轉換。程式翻譯就是將較為高級的電腦語言L1轉為較為低級的電腦語言L0（編譯器），L0就是電腦實際執行的語言。程式解釋就是把較為高級的語言L1，作為用L0語言實現的一個程式的輸入，然後得到較為低級電腦語言L0。
程式翻譯與程式解釋的對比：
- 電腦實際執行的指令都是L0
- 翻譯過程生成新的L0程式，解釋過程不生成新的L0程式
- 解釋過程由L0編寫解釋器去執行L1程式
程式翻譯的常見語言：C/C++, Object-C, Golang; 程式解釋的常見語言：Python, Php, JavaScript。而Java和C#是屬於翻譯加解釋性語言，Java程式轉為JVM位元組碼的過程是程式翻譯，由JVM位元組碼變成機器碼的過程是程式解釋。
電腦的層次
硬體邏輯層：門、觸發器等邏輯電路組成，屬於電子工程領域。
微程式機器層：程式語言是微指令集，微指令所組成的微程式直接交由硬體執行。
傳統機器層：程式語言是CPU指令集（機器指令），程式語言和硬體直接相關，不同架構的CPU使用不同的指令集。一條機器指令對應一個微程式，一個微程式對應一組機器指令。
作業系統層：向上提供了簡易的操作介面，向下對接了指令系統，管理硬體資源，作業系統層是硬體和軟體之間的適配層。
彙編語言層：程式語言是彙編語言，彙編語言可以翻譯成可直接執行的機器語言，完成翻譯過程的程式就叫彙編器。
高級語言層：程式語言為廣大程式設計師所接受的高級語言，高級語言的種類非常多，有幾百種，常見的高級語言有C/C++、Java、Python、Golang等。
應用層：滿足電腦針對某種用途而專門設計，例如常見的辦公軟體Excel,Word,PPT等。
電腦的字元與編碼集
使用7個bits就可以完全表示ASCII碼，包含95個可列印字元，33個不可列印字元（包括控制字元），即 33+95=128=27，但是這個ASCII碼在很多應用和很多國家中的符號都無法表示，例如數學符號：「\(\div\) \(\neq\) \(\geq\) \(\approx\) \(\pi\)」。所以在第一次對ASCII碼進行擴充時，7bits=> 8bits，在可拓展的ASCII碼中，包含了常見的運算符，帶音標的歐洲字元，和其他常用符、表格等。
字元編碼集的國際化：由於歐洲、中亞、東亞、拉丁美洲國家的語言多樣性，造成語言體系不一樣，不以有限字元組合的語言，尤其是中國、韓國、日本的語言最為複雜。國標2312（GB2312）：《資訊交換用漢字編碼字符集-基本集》是中文編碼集，一共收錄了7445個字元，包括6763個漢字和682個其他符號。Unicode(統一碼、萬國碼、單一碼)定義了世界通用的符號集，UTF-*實現了編碼，UTF-8以位元組為單位對Unicode進行編碼。Unicode是兼容全球的字符集。
電腦的匯流排與IO設備
電腦的匯流排
什麼是匯流排？
匯流排提供了對外的介面，不同設備可以通過USB（Universal Serial Bus）介面進行連接，連接的標準，促使外圍設備介面的統一。
當我們的輸入設備向電腦中輸入資訊，要求電腦給出指定輸出時，這時需要IO匯流排來進行匯流排連接。
匯流排的分類？
- 片內匯流排：晶片內部的匯流排，暫存器與暫存器之間，暫存器與控制器、運算器之間。片內匯流排是高集成度晶片內部的資訊傳輸線。
- 系統匯流排：CPU、主記憶體、IO設備、各組件之間的資訊傳輸線
- 數據匯流排：雙向傳輸各個部件的數據資訊，數據匯流排的位數（匯流排寬度）是數據匯流排的重要參數，一般與CPU位數相同（32位、64位）
- 地址匯流排：指定源數據或目的數據在記憶體中的地址，地址匯流排的位數與存儲單元有關。若地址匯流排位數=n，定址範圍：0~2n
- 控制匯流排：控制匯流排是用來發出各種控制訊號的傳輸線，控制訊號經由控制匯流排從一個組件發給另外一個組件，控制匯流排可以監視不同組件之間的狀態（就緒/未就緒）
匯流排的仲裁：為了解決匯流排使用權的衝突問題
匯流排的仲裁方法：
- 鏈式查詢：好處：電路複雜度低，仲裁方式簡單；壞處：優先順序低的設備難以獲得匯流排的使用權，對電路故障敏感。
- 計時器定時查詢
- 獨立請求
- 每個設備均有匯流排獨立連接仲裁器
- 設備可單獨向仲裁器發送請求和接受請求
- 當同時收到多個請求訊號，仲裁器有權按優先順序分配使用權
- 好處：響應速度快，優先順序可動態改變，設備連線多，匯流排控制複雜。
常見的IO設備
常見的輸入設備：分為字元輸入設備和影像輸入設備。字元輸入設備就如鍵盤，影像輸入設備如滑鼠、數位板、掃描儀等。
常見的輸出設備：顯示器、印表機、投影儀
輸入輸出介面的通用設計：我們需要考慮如何向設備發送數據？如何讀取數據？該設備有沒被佔用？設備是否已經啟動？設備是否已經連接？等等還有其他問題，基於對輸入輸出設備介面通用設計的考慮，至少應該有以下幾部分：
- 數據線
- 是I/O設備與主機之間進行數據交換的傳送線
- 單向傳輸數據線
- 雙向傳輸數據線
- 狀態線
- IO設備狀態向主機報告的訊號線
- 查詢設備是否已經正常連接並就緒
- 查詢設備是否已經被佔用
- 命令線
- CPU向設備發送命令的訊號線
- 發送讀寫訊號
- 發送啟動停止訊號
- 設備選擇線
- 主機選擇I/O設備進行操作的訊號線
- 對連在匯流排上的設備進行選擇
電腦的存儲器
存儲器的分類：
- 按存儲介質分：
- 半導體存儲器：例如記憶體、U盤、固態硬碟
- 磁存儲器：例如磁帶、磁碟等
- 按存取方式分類：
- 隨機存儲器（RAM）：隨機讀取，與位置無關
- 串列存儲器：與位置有關，按順序查找
- 只讀存儲器（ROM）：只讀不寫，BIOS就是存儲在只讀存儲器中
存儲器的層次：
對於存儲器，我們希望它讀寫速度快，存儲容量大，而價格最好低一些。存儲器的層次結構如下圖：
快取：指的就是CPU中的暫存器以及高速快取；主存：電腦中的記憶體；輔存：電腦的外部存儲設備，比如磁碟、U盤、移動硬碟等。
快取-主存層次：
- 原理：局部性原理，局部性原理就是指CPU訪問存儲器時，無論是存取指令還是存取數據，所訪問的存儲單元都趨集於在一個較小的連續區域中。
- 實現：在CPU與主存之間增加一層速度快（容量小）的Cache
- 目的：解決主存速度不足的問題
主存-輔存層次：
- 原理：局部性原理
- 實現：主存之外增加輔助存儲器（磁碟，SD卡，U盤等）
- 目的：解決主存容量不足的問題
電腦突然斷電，記憶體數據就會丟失，但是電腦斷電，磁碟數據不會丟失。
- 主存儲器——記憶體
- RAM（隨機存取存儲器 ：Random Access Memory）
- RAM通過電容存儲數據，必須隔一段時間刷新一次
- 如果斷電，那麼一段時間後將丟失所有數據
對於32位系統，電腦記憶體最大為 232 = 430 = 4GB，對於64為系統，電腦記憶體最大為 264 = 234 x 230 = 234GB
- 輔助存儲器——磁碟
- 表面是可磁化的硬磁特性材料
- 移動磁頭徑向運動讀取磁軌資訊
電腦的輔助存儲器常用演算法
- 先來先服務演算法
- 最短尋道時間優先
- 與磁頭當前位置有關
- 優先訪問離磁頭最近的磁軌
- 掃描演算法（電梯演算法）
- 循環掃描演算法
電腦的高速快取
高速快取的工作原理
字：是指存放在一個存儲單元中的二進位程式碼組合
字塊：存儲在連續的存儲單元中而被看作是一個單元的一組位元組
一個字快有32位，一個字快共B個字，主存中共M個字塊，則主存總字數=B*M，主存總容量(bits)=B*M*32。字的地址包含兩部分：前m位指定字快的地址，後b位指定字在字快中的地址。
例子：假設主存用戶空間容量位4G，字快大小為4M，字長為32位，則對於字地址中的快地址m和塊內地址b的位數，至少應該是多少？
由於1G=1024M，所以4G=4096M，由於字快大小為4M，所以字快數為：\(4096\div4=1024\)，所以字快地址m=\(\log_2 1024=10\)，塊內字數為\(4M\div32bit=1048576bit\)，塊內地址b=\(\log_2 1048576=20\)，所以快地址m的位數至少為10，塊內地址b的位數最少為20。
我們已經知道在CPU與主存之間存在高速快取，當CPU需要的數據在快取里時，則CPU直接從高度快取中讀取數據即可，不需要去訪問主存，但當CPU需要的數據不在快取里時，則需要去主存拿。由於CPU的處理速度遠遠快於主存的讀取速度和數據傳輸速度，所以這樣會導致CPU空轉來等待數據傳輸，造成資源上的浪費。所以我們儘可能的讓CPU去高速快取中讀取數據，因此我們需要一個量化指標，這個量化指標就是命中率。命中率是衡量快取的重要性能指標，理論上CPU每次都能從高速快取中讀取數據的時候，命中率為1。假設訪問主存次數為\(N_m\)，訪問Cache次數為：\(N_c\)，則命中率h為：\(h=\frac{N_c}{N_c+N_m}\)。現在來看看訪問效率e，假設訪問主存時間為\(t_m\)，訪問快取時間為\(t_c\)，則訪問Cache-主存系統的平均時間為：\(t_a=ht_c+(1-h)t_m\)，則訪問效率e為：\(e=\frac{t_c}{t_a}=\frac{t_c}{ht_c+(1-h)t_m}\)
例子：假設CPU在執行某段程式時，共訪問了Cache命中2000次，訪問主存50次，已知Cache的存取時間為50ns，主存的存取時間為200ns，求Cache-主存系統中的命中率、訪問效率和平均訪問時間。
命中率：\(h=\frac{N_c}{N_c+N_m}=\frac{2000}{2000+50}=0.97\)
訪問效率：\(e=\frac{t_c}{t_a}=\frac{t_c}{ht_c+(1-h)t_m}=\frac{50}{0.97\ast50+(1-0.97)200}=0.917=91.7\%\)
平均訪問時間：\(0.97\ast50+(1-0.97)200=54.5ns\)
高速快取的替換策略
由於高速快取的運行需要良好的快取替換策略。什麼是快取替換策略呢？就是當高速快取中沒有數據時，需要從主存中載入所需要的數據。高速快取中常見的替換策略：
- 隨機演算法
- 先進先出演算法（FIFO）
- 最不經常使用演算法（LFU）
- 優先淘汰最不經常使用的字快
- 需要額外的空間記錄字快的使用頻率
- 最近最少使用演算法（LRU）
- 優先淘汰一段時間內沒有使用的字快
- 有多種實現方法，一般使用雙向鏈表
- 把當前訪問節點置於鏈表前面（保證鏈表頭部節點是經常使用的）
電腦的指令系統
- 機器指令的形式
機器指令主要有兩部分組成：操作碼、地址碼。地址碼直接給出操作數和操作數的地址，分三地址指令、二地址指令和一地址指令，最後還有零地址指令，零地址指令在機器指令中沒有地址碼，用來進行空操作、停機操作、中斷返回操作等。
- 機器指令的操作類型：
- 數據傳輸：在暫存器之間、暫存器與存儲單元、存儲單元之間傳送；還可以進行數據獨寫、交換地址數據、清零置一等操作。
- 算術邏輯操作：操作數之間的加減乘除運算；操作數的與或非等邏輯運算
- 移位操作：數據左移（乘2）、數據右移（除2）；完成數據在算術邏輯單元的必要操作。
- 控制指令：主要有等待指令、停機指令、空操作指令、中斷指令等。
- 機器指令的定址方式
- 指令定址：順序定址；跳躍定址
- 數據定址：
- 立即定址：指令直接獲得操作數，無需訪問存儲器
- 直接定址：直接給出操作數在主存中的地址，尋找操作數簡單，無需計算數據地址
- 間接定址：指令地址碼給出的是操作數地址的地址，需要訪問一次或多次主存來獲取操作數
| 定址方式 | 優點 | 缺點 |
|---|---|---|
| 立即定址 | 速度塊 | 地址碼位數限制操作數表示範圍 |
| 直接定址 | 尋找操作數簡單 | 地址碼位數限制操作數表示範圍 |
| 間接定址 | 操作數定址範圍大 | 速度較慢 |
電腦的控制器
控制器是協調和控制電腦運行的，電腦的控制器主要組成部分如下：
- 程式計數器：程式計數器用來存儲下一條指令的地址；循環從程式計數器中拿出指令；當指令被拿出時，指向下一條指令
- 時序發生器：電氣工程領域，用於發送時序脈衝；CPU根據不同的時序脈衝有節奏的進行工作
- 指令解碼器：指令解碼器是控制器主要部件之一，電腦指令由操作碼和地址碼組成，翻譯操作碼對應的操作以及控制傳輸地址碼對應的數據
- 各種暫存器
- 指令暫存器：指令暫存器也是控制器的主要部件之一，從主存或高速快取讀取電腦指令
- 主存地址暫存器：保存當前CPU正要訪問的記憶體單元的地址
- 主存數據暫存器：保存當前CPU正要讀或寫的記憶體數據
- 通用暫存器：用於暫時存放或傳送數據和指令，可保存ALU的運算中間結果，容量比一般的專用暫存器要大
- 匯流排
電腦的運算器
運算器是用來進行數據加工運算的，主要組成部分如下：
- 數據緩衝器：分為輸入緩衝和輸出緩衝，輸入緩衝暫時存放外設送過來的數據；輸出緩衝暫時存放送往外設的數據
- ALU：算術邏輯單元，是運算器的主要組成，常見的位運算（左右移、與或非等），算數運算（加減乘除等）
- 通用暫存器
- 狀態字暫存器：存放運算狀態（條件碼、進位、溢出、結果正負等）；存放運算控制資訊（調試跟蹤標記位、允許中斷位等）
- 匯流排
計算篇
進位概述
進位是一種計數方式，亦稱為進位計數法或位值計數法，用有限種數字元號來表示無線的數值，使用的數字元號的數目稱為這種進位制的基數或底數。例如n=10[0-9]稱為十進位；還有例如瑪雅文明的瑪雅數字，因努伊特的因努伊特數字使用的就是二十進位；像時間、坐標、角度等量化數據使用的就是六十進位。但我們使用的電腦喜歡二進位，但是使用二進位表達太長了，使用大進位可以解決這個問題，電腦常用的大進位有八進位、十六進位。因為八進位和十六進位都滿足2的n次方要求。例如1024分別使用二進位、八進位、十六進位表示為：1024 = 0b1000000000 = oO2000 = ox400
二進位的運算基礎
1.整數十進位和二進位的互相轉換
(整數)十進位轉換二進位：重複相除法。例子：十進位數101轉為二進位：如下
| 重複除以2 | 得商 | 取餘數 |
|---|---|---|
| 101/2 | 50 | 1 |
| 50/2 | 25 | 0 |
| 25/2 | 12 | 1 |
| 12/2 | 6 | 0 |
| 6/2 | 3 | 0 |
| 3/2 | 1 | 1 |
| 1/2 | 0 | 1 |
最後，倒著取餘數，所以101的二進位表示是：1100101。二進位轉為十進位使用的是按權展開法：\(1100101 = 1 \times 2^6 + 1 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 +0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 101\)
再舉一個例子：十進位數237轉為二進位，如下
| 重複除以2 | 得商 | 取餘數 |
|---|---|---|
| 237/2 | 118 | 1 |
| 118/2 | 59 | 0 |
| 59/2 | 29 | 1 |
| 29/2 | 14 | 1 |
| 14/2 | 7 | 0 |
| 7/2 | 3 | 1 |
| 3/2 | 1 | 1 |
| 1/2 | 0 | 1 |
最後倒著取數，所以237的二進位表示是：11101101。使用按權展開法把二進位轉為十進位：\(11101101 = 1 \times 2^7 + 1 \times 2^6 + 1 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 +0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 237\)
二進位轉為十進位：按權展開法的的計算公式如下：
\(N = d_{n-1}d_{n-2}…d_1d_0 = d_{n-1}r^{n-1} + d_{n-2}r^{n-2} + d_1r +d_0\)
2.小數十進位和二進位的互相轉換
如果這個十進位是小數，則使用重複相乘法。例如 \(\frac{25}{32}\)轉為二進位，如下：
| 重複乘以2 | 得積 | 取整 |
|---|---|---|
| \(\frac{25}{32} \times 2\) | \(\frac{25}{16} = 1+\frac{9}{16}\) | 1 |
| \(\frac{9}{16} \times 2\) | \(\frac{9}{8} = 1+\frac{1}{8}\) | 1 |
| \(\frac{1}{8} \times 2\) | \(\frac{1}{4} = 0+\frac{1}{4}\) | 0 |
| \(\frac{1}{4} \times 2\) | \(\frac{1}{2} = 0+\frac{1}{2}\) | 0 |
| \(\frac{1}{2} \times 2\) | \(1 = 1+0\) | 1 |
最後順著取整數：\(\frac{25}{32}\)的二進位表示為：0.11001。現在再使用按權展開法把二進位轉為十進位數：
\(N = 0.11001 = 1 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} + 0 \times 2^{-3} + 0 \times 2^{-4} + 1 \times 2^{-5} = 0.78125 = \frac{25}{32}\)
有符號數和無符號數
正的237使用二進位表示為：+237 = 011101101 ，負的237使用二進位表示為：-237 = 111101101，在電腦中，使用0表示正數，使用1表示負數。但電腦是怎麼判斷它是數字位還是符號位的呢？這就需要使用原碼錶示法了，在原碼錶示法中，使用0表示正數，使用1表示負數，規定符號位位於數值的第一位，表達簡單明了，是我們最容易理解的表示法。0有兩種表示法：00或10，在使用原碼進行運算時，會非常複雜，特別是兩個操作符號不同的時候，我們需要進行判斷兩個操作數得絕對值大小，使用絕對值大的數減去絕對值小的數，對於符號值，以絕對值大的為準。因此我們希望找不到不同符號操作數運算更加簡單得方法，也就是可以使用正數來代替負數，使用加法操作來代替減法操作，從而消除減法。於是出現了二進位的補碼錶示法，補碼的定義如下：
\begin{cases}
x & 2^{n} > x \geq 0 \\
2^{n+1} + x & 0 > x \geq -2^n
\end{cases}
\]
例1：x=-13，計算x的二進位原碼和補碼
原碼：x=1,1101
補碼：\(2^{n+1} + x = 2^{4+1} – 13 = 100000 – 1101 = 10011\),這裡的最高位1是符號位
補碼：x = 1,0011
例2：x=-7，計算x的二進位原碼和補碼
原碼：x=1,0111
補碼：\(2^{n+1} + x = 2^{4+1} – 7 = 100000 – 0111 = 1 1001\),這裡的最高位1是符號位
補碼：x = 1,1001
例3：x=-1，計算x的二進位原碼和補碼
原碼：x=1,0001
補碼：\(2^{n+1} + x = 2^{4+1} – 1 = 100000 – 0001 = 1 1111\),這裡的最高位1是符號位
補碼：x = 1,1111
我們引入補碼的初衷是由於減法運算複雜，希望找到使用正數代替負數的方法，使用加法代替減法操作，從而消除減法，但是通過上面例子可以看到，補碼的引入，並沒有實現校除減法的目的。於是就提出了反碼，反碼的目的是找出原碼和補碼之間的規律，消除轉換過程中的減法，反碼的定義如下：
\begin{cases}
x & 2^{n} > x \geq 0 \\
(2^{n+1} – 1) + x & 0 > x \geq -2^n
\end{cases}
\]
例1：x=-13，計算x的二進位原碼和反碼
原碼：x=1,1101
補碼：\((2^{n+1} – 1) + x = （2^{4+1} -1） – 13 = 011111 – 1101 = 10010\),這裡的最高位1是符號位
補碼：x = 1,0010
例2：x=-7，計算x的二進位原碼和反碼
原碼：x=1,0111
補碼：\((2^{n+1} – 1) + x = （2^{4+1} -1） – 7 = 011111 – 0111 = 11000\),這裡的最高位1是符號位
補碼：x = 1,1000
我們可以根據反碼補碼的定義進行計算，找一找三者的關係：
| 十進位 | 原碼 | 補碼 | 反碼 |
|---|---|---|---|
| 13 | 0,1101 | 0,1101 | 0,1101 |
| -13 | 1,1101 | 1,0011 | 1,0010 |
| -7 | 1,0111 | 1,1001 | 1,1000 |
| -1 | 1,0001 | 1,1111 | 1,1110 |
根據這個表格中數據，我們可以發現正數原碼、補碼、反碼的值都是一樣的；負數的反碼等於原碼除符號位外都按位取反，負數的補碼等於反碼+1。同樣的，小數的二進位也滿足這個規律，二進位小數的補碼定義如下：
\begin{cases}
x & 1 > x \geq 0 \\
2 + x & 0 > x \geq -1
\end{cases}
\]
例1：\(x=\frac{9}{16}\)，計算x的二進位原碼、反碼和補碼
原碼：x=0,0.1001 反碼：x=0,0.1001 補碼：x=0,0.1001
例2：\(x=-\frac{11}{32}\)，計算x的二進位原碼、反碼和補碼
原碼：x=1,0.01011 反碼：x=1,1.10100 補碼：x=1,1.10101
定點數與浮點數
定點數的表示方法：純小數的小數點放在符號位與數值位之間，純整數的小數點放在數值位末尾，我們的定點數的保存需要乘以比例因子。
定點數的純小數表示：
| 數值 | 符號位 | 數值位 |
|---|---|---|
| 0.1011 | 0 | 1011 |
| -0.1011 | 1 | 1011 |
定點數的純整數表示：
| 數值 | 符號位 | 數值位 |
|---|---|---|
| 1011 | 0 | 1011 |
| -1011 | 1 | 1011 |
由於電腦處理的很大程度上不是純小數或純整數，如果數據範圍很大，定點數就難以表達。
浮點數的表示格式：使用科學計數法表示浮點數，\(123450000000 = 1.2345 \times 10^11\)，1.2345是尾數，10是基數，11是階碼。浮點數的表示格式為：\(N = S \times r^j\)，S代表尾數，r代表基數，j表示階碼，尾數規定使用純小數。例子如下：
\(N = S \times r^j\)
\(11.0101 = 0.110101 \times 2^10\)，這裡都是二進位表示，階碼10對應十進位數為2
\(11.0101 = 0.0110101 \times 2^11\)，這裡都是二進位表示，階碼11對應十進位數為3
| 階碼符號位 | 階碼數值位 | 尾數符號位 | 尾數數值位（8位） |
|---|---|---|---|
| 0 | 10 | 0 | 11010100 |
| 0 | 11 | 0 | 01101010 |
浮點數的表示範圍：假設階碼值取m位，尾數值取n位，\(N = S \times r^j\)，階碼能夠表示的最大值為：\(2^m-1\)，階碼錶示範圍為：\([-(2^m-1),2^m-1]\)；尾數能夠表示的最大值為：\(1 – 2^{-n}\)，尾數能夠表示的最小值為：\(2^{-n}\)，尾數表示的範圍為：\([-(1 – 2^{-n}),-2^{-n}]\) \([2^{-n},1-2^{-n}]\)
單精度浮點數：使用4位元組、32位來表示浮點數（float）
雙精度浮點數：使用8位元組、64位來表示浮點數（double）
浮點數的規格化：尾數規定使用純小數，尾數最高位必須是1.
例1：設浮點數的長度為16位，階碼為5位，尾數為是11位，將十進位數\(\frac{13}{128}\)表示為二進位浮點數
由於正數的原碼=反碼=補碼：\(x = 0.0001101000\)，浮點數的規格化：\(x = 0.1101000 * 2^{-11}\)
| 階碼符號位 | 階碼數值位 | 尾數符號位 | 尾數數值位 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0011 | 0 | 1101000000 |
例2：設浮點數的長度為16位，階碼為5位，尾數為是11位，將十進位數\(-54\)表示為二進位浮點數
原碼：\(x = 1,110110\)，浮點數的規格化：\(x = -0.110110 * 2^{-110}\)，由於尾數為110110 0000，則尾數反碼為：001001 1111，尾數補碼為：001010 0000
| 階碼符號位 | 階碼數值位 | 尾數符號位 | 尾數數值位 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0110 | 1 | 001010 0000 |
定點數與浮點數的對比：
- 定點數與浮點數位數相同時，浮點數表示的範圍更大
- 當浮點數尾數為規格化數時，浮點數的精度更高
- 浮點數運算包含階碼和位數，浮點數的運算更為複雜
總結：浮點數在數的表示範圍、精度、溢出處理、編程等方面均優於定點數；浮點數在數的運算規則、運算速度、硬體成本等方面不如定點數。
定點數的加減法運算
整數加法：A[補] + B[補] = [A+B][補](mod\(2^{n+1}\))
小數加法：A[補] + B[補] = [A+B][補](mod2)
注意：定點數的加減法運算，數值位與符號位一同運算，並將符號位產生的進位自然丟掉
例1：A=-110010，B=001101，求A+B
A[補] = 1,001110，B[補] = B[原] = 0,001101，A[補] + B[補] = (A+B)[補] = 1,011011，則A + B = -100101
例2：A=-0.1010010，B=0.0110100，求A+B
A[補] = 1,1.0101110，B[補] = B[原] = 0.0110100，A[補] + B[補] = (A+B)[補] = 1,1.1100010，則A + B = -0.0011110
例3：A=-10010000，B=-11010000，求A+B
A[補] = 1,01110000，B[補] = 1,00110000，A[補] + B[補] = (A+B)[補] = 0,10100000，則A + B = 10100000，將結果轉為十進位表示是160。我們可以把A和B轉為十進位進行運算：A=-144，B=-208，A+B=-352，我們會發現二進位的計算結果是錯誤的。這是由於我們在計算時，對符號位的進位自然丟掉了，這是就發生了溢出，那我們如何來判斷溢出呢？雙符號位判斷法：單符號位表示變成雙符號位：0=>00，1=>11，雙符號位產生的進位丟棄，結果的雙符號位不同則表示溢出。
整數減法：A[補] – B[補] = A + (-B)[補](mod\(2^{n+1}\))
小數減法：A[補] – B[補] = A + (-B)[補](mod2)
-B[補]等於B[補]連同符號位按位取反，末位加一
浮點數的加減法運算
運算過程：對階->尾數求和->尾數規格化->舍入->溢出判斷
\(x = 0.1101 \times 2^{01}\)
\(y = (-0.1010) \times s^{11}\)
對階：浮點數尾數運算簡單，浮點數位數實際小數位與階碼有關，階碼按小階看齊大階的原則。對階的目的是使得兩個浮點數階碼一致，使得尾數可以進行運算
| 階碼符號位 | 階碼數值位 | 尾數符號位 | 尾數數值位 |
|---|---|---|---|
| 00 | 0001 | 00 | 1101 |
| 00 | 0011 | 11 | 1010 |
對階後：
\(x = 0.001101 \times 2^{11}\)
\(y = (-0.1010) \times s^{11}\)
| 階碼符號位 | 階碼數值位 | 尾數符號位 | 尾數數值位 |
|---|---|---|---|
| 00 | 0011 | 00 | 0011(01) |
| 00 | 0011 | 11 | 1010 |
捨去01，在進行尾數求和，x[原]=00.0011，x[補]=00.0011，y[原]=11.1010，y[補]=11.0110，S=（x+y）[補]=11.1001
| 階碼符號位 | 階碼數值位 | 尾數符號位 | 尾數數值位 |
|---|---|---|---|
| 00 | 0011 | 11 | 1001 |
尾數規格化：對補碼進行規格化需要判斷兩種情況：S>0和S<0，S[補] = 00.1xxxxxxx(S>0)，S[補] = 11.0xxxxxxx(S<0),符號位與最高位不一致，如果不滿足此格式，則需要進行左移，同時階碼相應變化，以滿足規格變化。
| 階碼符號位 | 階碼數值位 | 尾數符號位 | 尾數數值位 |
|---|---|---|---|
| 00 | 0011 | 11 | 1001 |
S = (x + y)[補] = 11.1001 = 11.(1)0010
