AVL樹（平衡二叉樹）
目錄
什麼是平衡二叉樹？
為什麼叫AVL樹？
因為AVL樹是由 G.M.Adelson-Velsky 和 E.M.Landis 這兩位俄羅斯科學家在1962年的論文中首次提出，是最早的自平衡二分搜索樹結構。
由於AVL樹是自平衡二分搜索樹，所以本質上還是二分搜素樹，也就是二分搜索樹的性質AVL樹都滿足，由於二分搜索樹在添加有序元素時，會退化成鏈表，造成時間複雜度為O(n)，但AVL樹是不會出現這種情況的，因為AVL樹通過自平衡來解決了退化成鏈表的問題，關於二分搜索樹，你可以看我之前二分搜索樹(Binary Search Tree)這篇文章。
平衡二叉樹：對於任意一個節點，左子樹和右子樹的高度差都不能超過1。
為了更好的維護AVL樹的自平衡，我們可以在每個節點中，標註該節點的高度，並計算該節點的平衡因子。平衡因子就是左子樹的高度減去右子樹的高度。
現在讓我們來基於二分搜索樹，程式碼實現一個AVL樹，這裡先實現一個二分搜索樹，程式碼如下：
/**
* AVL樹是基於之前實現的二分搜索樹，只不過加了自平衡機制
* 因此AVL樹中的元素仍然必須具有可比較性
* 這裡把AVL樹設計成鍵值對的形式，方便後續基於AVL樹實現Set和Map
*/
public class AVLTree<K extends Comparable<K>,V> {
//節點
private class Node{
public K key;
public V value;
public Node left, right;
//當前節點的高度
public int height;
public Node(K key, V value){
this.key = key;
this.value = value;
left = null;
right = null;
height = 1;
}
}
private Node root;
private int size;
public AVLTree(){
root = null;
size = 0;
}
public boolean isEmpty(){
return this.size == 0;
}
//獲取節點node的高度
public int getNodeHight(Node node){
if (node == null)
return 0;
return node.height;
}
//獲取節點node的平衡因子
public int getBalanceFactor(Node node){
if (node == null)
return 0;
//平衡因子：左子樹的高度 - 右子樹的高度
return getNodeHight(node.left) - getNodeHight(node.right);
}
// 向二分搜索樹中添加新的元素(key, value)
public void add(K key, V value){
root = add(root, key, value);
}
// 向以node為根的二分搜索樹中插入元素(key, value)，遞歸演算法
// 返回插入新節點後二分搜索樹的根
private Node add(Node node, K key, V value){
if(node == null){
size ++;
return new Node(key, value);
}
if(key.compareTo(node.key) < 0)
node.left = add(node.left, key, value);
else if(key.compareTo(node.key) > 0)
node.right = add(node.right, key, value);
else // key.compareTo(node.key) == 0
node.value = value;
// 更新height
node.height = 1 + Math.max(getNodeHight(node.left), getNodeHight(node.right));
// 計算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if(Math.abs(balanceFactor) > 1)
System.out.println("unbalanced : " + balanceFactor);
return node;
}
// 返回以node為根節點的二分搜索樹中，key所在的節點
private Node getNode(Node node, K key){
if(node == null)
return null;
if(key.equals(node.key))
return node;
else if(key.compareTo(node.key) < 0)
return getNode(node.left, key);
else // if(key.compareTo(node.key) > 0)
return getNode(node.right, key);
}
public boolean contains(K key){
return getNode(root, key) != null;
}
public V get(K key){
Node node = getNode(root, key);
return node == null ? null : node.value;
}
public void set(K key, V newValue){
Node node = getNode(root, key);
if(node == null)
throw new IllegalArgumentException(key + " doesn't exist!");
node.value = newValue;
}
// 返回以node為根的二分搜索樹的最小值所在的節點
private Node minimum(Node node){
if(node.left == null)
return node;
return minimum(node.left);
}
// 刪除掉以node為根的二分搜索樹中的最小節點
// 返回刪除節點後新的二分搜索樹的根
private Node removeMin(Node node){
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}
// 從二分搜索樹中刪除鍵為key的節點
public V remove(K key){
Node node = getNode(root, key);
if(node != null){
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}
private Node remove(Node node, K key) {
if (node == null)
return null;
if (key.compareTo(node.key) < 0) {
node.left = remove(node.left, key);
return node;
} else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
node.right = remove(node.right, key);
return node;
} else { // key.compareTo(node.key) == 0
// 待刪除節點左子樹為空的情況
if (node.left == null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
return rightNode;
}
// 待刪除節點右子樹為空的情況
if (node.right == null) {
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
return leftNode;
}
// 待刪除節點左右子樹均不為空的情況
// 找到比待刪除節點大的最小節點, 即待刪除節點右子樹的最小節點
// 用這個節點頂替待刪除節點的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = removeMin(node.right);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
return successor;
}
}
}
由上述程式碼可以看出，我們並沒有實現AVL樹的自平衡機制，只是在二分搜索樹的基礎上，加入了對高度的維護，和獲取平衡因子的方法。因為AVL樹是對於二分搜索樹的一種改進，只不過解決了退化成鏈表的問題，AVL樹也是二分搜索樹，所以也需要滿足二分搜索樹的性質。我們可以根據二分搜索樹的中序遍歷是順序的性質，來判斷是否是二分搜索樹。程式碼實現如下：
// 判斷該二叉樹是否是一棵二分搜索樹
public boolean isBST(){
List<K> keys = new ArrayList<>();
inOrder(root, keys);
for(int i = 1 ; i < keys.size() ; i ++)
if(keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0)
return false;
return true;
}
//二分搜素樹的中序遍歷 -- 遞歸實現
private void inOrder(Node node, List<K> keys){
if(node == null)
return;
inOrder(node.left, keys);
keys.add(node.key);
inOrder(node.right, keys);
}
//判斷該二叉樹是否是一顆平衡二叉樹
public boolean isBalanced(){
return isBalanced(root);
}
//判斷以Node為根的二叉樹是否是一棵平衡二叉樹，遞歸演算法
private boolean isBalanced(Node node) {
if (node == null)
return true;
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
//判斷當前節點的平衡因子是否大於1
if(Math.abs(balanceFactor) > 1)
return false;
return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
}
//獲取節點node的高度
public int getNodeHight(Node node){
if (node == null)
return 0;
return node.height;
}
在什麼時候維護平衡？
加入節點後，沿著節點向上維護平衡性。
插入的元素在不平衡節點左側的左側（LL）
對於這種情況我們就需要對這個不平衡節點進行右旋轉（順時針旋轉）
右旋轉程式碼實現：
// 對節點y進行向右旋轉操作，返迴旋轉後新的根節點x
// y x
// / \ / \
// x T4 向右旋轉 (y) z y
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// z T3 T1 T2 T3 T4
// / \
// T1 T2
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T3 = x.right;
//右旋轉
x.right = y;
y.left = T3;
// 更新height
y.height = Math.max(getNodeHight(y.left), getNodeHight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getNodeHight(x.left), getNodeHight(x.right)) + 1;
return x;
}
並在ALV樹的添加方法和刪除方法程式碼中，對數的平衡性進行維護：
// 平衡維護
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0)
return rightRotate(node);
插入的元素在不平衡節點右側的右側（RR）
對於這種情況我們就需要對這個不平衡節點進行左旋轉
程式碼實現：
// 對節點y進行向左旋轉操作，返迴旋轉後新的根節點x
// y x
// / \ / \
// T1 x 向左旋轉 (y) y z
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// T2 z T1 T2 T3 T4
// / \
// T3 T4
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node T2 = x.left;
// 向左旋轉過程
x.left = y;
y.right = T2;
// 更新height
y.height = Math.max(getNodeHight(y.left), getNodeHight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getNodeHight(x.left), getNodeHight(x.right)) + 1;
return x;
}
在我們的添加方法和刪除方法中對樹的平衡性進行維護：
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0)
return leftRotate(node);
插入的元素在不平衡節點左側的右側（LR）
對於這種情況我們需要先進行左旋轉操作，轉成LL的情況，再進行右旋轉：
由於我們前面已經對左旋轉何有旋轉都已經程式碼實現了，所以對該情況，只需要添加和刪除方法中，對樹的平衡性進行維護即可：
//LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
插入的元素在不平衡節點右側的左側（RL）
對於這種情況我們需要先進行右旋轉操作，轉成LL的情況，再進行左旋轉：
在添加和刪除方法中，對樹的平衡性進行維護：
//RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
下面是本文實現的AVL平衡二叉樹的的全部程式碼：
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
/**
* AVL樹是基於之前實現的二分搜索樹，只不過加了自平衡機制
* 因此AVL樹中的元素仍然必須具有可比較性
* 這裡把AVL樹設計成鍵值對的形式，方便後續基於AVL樹實現Set和Map
*/
public class AVLTree<K extends Comparable<K>,V> {
//節點
private class Node{
public K key;
public V value;
public Node left, right;
//當前節點的高度
public int height;
public Node(K key, V value){
this.key = key;
this.value = value;
left = null;
right = null;
height = 1;
}
}
private Node root;
private int size;
public AVLTree(){
root = null;
size = 0;
}
public int getSize(){
return size;
}
public boolean isEmpty(){
return this.size == 0;
}
// 判斷該二叉樹是否是一棵二分搜索樹
public boolean isBST(){
List<K> keys = new ArrayList<>();
inOrder(root, keys);
for(int i = 1 ; i < keys.size() ; i ++)
if(keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0)
return false;
return true;
}
//二分搜素樹的中序遍歷 -- 遞歸實現
private void inOrder(Node node, List<K> keys){
if(node == null)
return;
inOrder(node.left, keys);
keys.add(node.key);
inOrder(node.right, keys);
}
//判斷該二叉樹是否是一顆平衡二叉樹
public boolean isBalanced(){
return isBalanced(root);
}
//判斷以Node為根的二叉樹是否是一棵平衡二叉樹，遞歸演算法
private boolean isBalanced(Node node) {
if (node == null)
return true;
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
//判斷當前節點的平衡因子是否大於1
if(Math.abs(balanceFactor) > 1)
return false;
return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
}
//獲取節點node的高度
public int getNodeHight(Node node){
if (node == null)
return 0;
return node.height;
}
//獲取節點node的平衡因子
public int getBalanceFactor(Node node){
if (node == null)
return 0;
//平衡因子：左子樹的高度 - 右子樹的高度
return getNodeHight(node.left) - getNodeHight(node.right);
}
// 對節點y進行向右旋轉操作，返迴旋轉後新的根節點x
// y x
// / \ / \
// x T4 向右旋轉 (y) z y
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// z T3 T1 T2 T3 T4
// / \
// T1 T2
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T3 = x.right;
//右旋轉
x.right = y;
y.left = T3;
// 更新height
y.height = Math.max(getNodeHight(y.left), getNodeHight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getNodeHight(x.left), getNodeHight(x.right)) + 1;
return x;
}
// 對節點y進行向左旋轉操作，返迴旋轉後新的根節點x
// y x
// / \ / \
// T1 x 向左旋轉 (y) y z
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// T2 z T1 T2 T3 T4
// / \
// T3 T4
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node T2 = x.left;
// 向左旋轉過程
x.left = y;
y.right = T2;
// 更新height
y.height = Math.max(getNodeHight(y.left), getNodeHight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getNodeHight(x.left), getNodeHight(x.right)) + 1;
return x;
}
// 向二分搜索樹中添加新的元素(key, value)
public void add(K key, V value){
root = add(root, key, value);
}
// 向以node為根的二分搜索樹中插入元素(key, value)，遞歸演算法
// 返回插入新節點後二分搜索樹的根
private Node add(Node node, K key, V value){
if(node == null){
size ++;
return new Node(key, value);
}
if(key.compareTo(node.key) < 0)
node.left = add(node.left, key, value);
else if(key.compareTo(node.key) > 0)
node.right = add(node.right, key, value);
else // key.compareTo(node.key) == 0
node.value = value;
// 更新height
node.height = 1 + Math.max(getNodeHight(node.left), getNodeHight(node.right));
// 計算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
// if(Math.abs(balanceFactor) > 1)
// System.out.println("unbalanced : " + balanceFactor);
// 平衡維護
//LL
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0)
return rightRotate(node);
//RR
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0)
return leftRotate(node);
//LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
//RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
return node;
}
// 返回以node為根節點的二分搜索樹中，key所在的節點
private Node getNode(Node node, K key){
if(node == null)
return null;
if(key.equals(node.key))
return node;
else if(key.compareTo(node.key) < 0)
return getNode(node.left, key);
else // if(key.compareTo(node.key) > 0)
return getNode(node.right, key);
}
public boolean contains(K key){
return getNode(root, key) != null;
}
public V get(K key){
Node node = getNode(root, key);
return node == null ? null : node.value;
}
public void set(K key, V newValue){
Node node = getNode(root, key);
if(node == null)
throw new IllegalArgumentException(key + " doesn't exist!");
node.value = newValue;
}
// 返回以node為根的二分搜索樹的最小值所在的節點
private Node minimum(Node node){
if(node.left == null)
return node;
return minimum(node.left);
}
// 刪除掉以node為根的二分搜索樹中的最小節點
// 返回刪除節點後新的二分搜索樹的根
private Node removeMin(Node node){
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}
// 從二分搜索樹中刪除鍵為key的節點
public V remove(K key){
Node node = getNode(root, key);
if(node != null){
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}
private Node remove(Node node, K key) {
if (node == null)
return null;
Node retNode;
if (key.compareTo(node.key) < 0) {
node.left = remove(node.left, key);
// return node;
retNode = node;
} else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
node.right = remove(node.right, key);
// return node;
retNode = node;
} else { // key.compareTo(node.key) == 0
// 待刪除節點左子樹為空的情況
if (node.left == null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
// return rightNode;
retNode = rightNode;
}
// 待刪除節點右子樹為空的情況
else if (node.right == null) {
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
// return leftNode;
retNode = leftNode;
}
// 待刪除節點左右子樹均不為空的情況
// 待刪除節點左右子樹均不為空的情況
else{
// 找到比待刪除節點大的最小節點, 即待刪除節點右子樹的最小節點
// 用這個節點頂替待刪除節點的位置
Node successor = minimum(node.right);
//successor.right = removeMin(node.right);
successor.right = remove(node.right, successor.key);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
// return successor;
retNode = successor;
}
}
if(retNode == null)
return null;
// 更新height
retNode.height = 1 + Math.max(getNodeHight(retNode.left), getNodeHight(retNode.right));
// 計算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);
// 平衡維護
// LL
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0)
return rightRotate(retNode);
// RR
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0)
return leftRotate(retNode);
// LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
retNode.left = leftRotate(retNode.left);
return rightRotate(retNode);
}
// RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
retNode.right = rightRotate(retNode.right);
return leftRotate(retNode);
}
return retNode;
}
public static void main(String[] args){
System.out.println("Pride and Prejudice");
ArrayList<String> words = new ArrayList<>();
if(FileOperation.readFile("pride-and-prejudice.txt", words)) {
System.out.println("Total words: " + words.size());
AVLTree<String, Integer> map = new AVLTree<>();
for (String word : words) {
if (map.contains(word))
map.set(word, map.get(word) + 1);
else
map.add(word, 1);
}
System.out.println("Total different words: " + map.getSize());
System.out.println("Frequency of PRIDE: " + map.get("pride"));
System.out.println("Frequency of PREJUDICE: " + map.get("prejudice"));
System.out.println("is BST : " + map.isBST());
System.out.println("is Balanced : " + map.isBalanced());
for(String word: words){
map.remove(word);
if(!map.isBST() || !map.isBalanced())
throw new RuntimeException();
}
}
System.out.println();
}
}
