蔚来杯2022牛客暑期多校训练营5 ABCDFGHK

2022 年 8 月 2 日
笔记
比赛题解

A

题解

知识点：图论，dp。

暴力建图，连接所有点的双向通路，除了原点是单向的，并且把路径长度作为权值。

随后，从原点出发（\(f[0] = 0\)，其他点负无穷，保证从原点出发），按照权值从大到小（大的先走小的后走，相等属于同一阶段，满足拓扑序）进行dp。

对于路径 \((u,v)\) 的状态转移方程是 \(g[v] = max(g[v],f[u]+1)\) ，其中 \(f,g\) 分别存储上一次结果和这一次结果，做到滚动数组节省空间，随后把 \(g\) 还给 \(f\)，下次dp前把 \(g\) 初始化负无穷。

最后，找到所有点的最大值。

时间复杂度 \(O(n^2)\)

空间复杂度 \(O(n^2)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

struct node {
    int u, v, w;
};

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    pair<int, int> p[2007];
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        p[i] = { u,v };
    }
    vector<node> e;
    for (int i = 0;i <= n;i++)///暴力连边,只从原点出发
        for (int j = 1;j <= n;j++)
            if (i != j)e.push_back({ i,j,(p[i].first - p[j].first) * (p[i].first - p[j].first) + (p[i].second - p[j].second) * (p[i].second - p[j].second) });
    sort(e.begin(), e.end(), [&](node a, node b) {
        return a.w > b.w;
    });///从大到小距离走
    vector<int> f(n + 1, -2e9), g(n + 1, -2e9);
    int i = 0, j = 0;
    f[0] = 0;///解锁原点
    while (i < e.size()) {
        vector<node> t;
        while (j < e.size() && e[i].w == e[j].w) t.push_back(e[j++]);///把下一个大小的边都加入
        for (auto ed : t) g[ed.v] = -2e9;///初始化
        for (auto ed : t) g[ed.v] = max(g[ed.v], f[ed.u] + 1);///更新到下一个点吃到最多的数量
        for (auto ed : t) f[ed.v] = max(g[ed.v], f[ed.v]);///滚动
        i = j;
    }
    cout << *max_element(f.begin(), f.end()) << '\n';
    return 0;
}

B

题解

知识点：二分，贪心，排序。

答案单调是可以二分的，所以优先考虑二分。发现对于一个答案要选择最便宜的去验证答案，因此每次需要对序列排序（因为排序规则和答案有关），满足关系式：

\[a_{val} + ka_{id} < b_{val} + kb_{id}
\]

取 \(k\) 个如果价值总和小于等于钱数，证明答案可行。

时间复杂度 \(O(n\log^2n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

int n, m;
struct node {
    ll val;
    ll id;
}a[100007];

bool check(int mid) {
    sort(a + 1, a + n + 1, [&](node a, node b) {
        return a.val + mid * a.id < b.val + mid * b.id;
    });
    ll sum = 0;
    for (int i = 1;i <= mid;i++) sum += a[i].val + mid * a[i].id;
    return sum <= m;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i].val, a[i].id = i;
    int l = 0, r = n;
    while (l <= r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) l = mid + 1;
        else r = mid - 1;
    }
    cout << r << '\n';
    return 0;
}

C

题解

知识点：思维。

对某位Y/N数进行分类讨论，如下列表格：

YES数/NO数	0	1	>1
0	-1	-1/0	0
1	-1/1	-1	0
>1	1	1	-1

存在四种情况能确定，两种可能确定，剩下三种不确定直接 \(-1\)。

确定的四种：

Y > 1且N = 0，不可能是错误询问，直接确定为 \(1\)。
N > 1且Y = 0，同上确定为 \(0\) 。
Y > 1且N = 1，确定唯一错误询问，并确定为 \(1\)。
N > 1且Y = 1，同上确定为 \(0\) 。

可能确定的两种：

Y = 1且N = 0，最终错误询问被发现时可确定为 \(1\) ，否则不确定，因此将此类计数，最终判断这种情况。
N = 1且Y = 0，同上可能确定为 \(0\) 。

不确定的三种：

Y = 0且N = 0，显然不确定。
Y = 1且N = 1，发现错误询问，但依然不确定。
Y > 1且N > 1，错误询问超额。

时间复杂度 \(O(n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

struct bit {
    int y, n;
}a[100007];

bool ans[100007];

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    int x;
    string s;
    for (int i = 1;i <= 3 * n;i++) {
        cin >> x >> s;
        if (s == "YES") a[x].y++;
        else a[x].n++;
    }
    bool fault = false;
    bool ok = true;
    int cnt = 0;
    for (int i = 0;i < n;i++) {
        if (a[i].y > 1 && a[i].n == 0) ans[i] = 1;
        else if (a[i].y == 0 && a[i].n > 1) ans[i] = 0;
        else if (!fault && a[i].y > 1 && a[i].n == 1) ans[i] = 1, fault = 1;
        else if (!fault && a[i].y == 1 && a[i].n > 1) ans[i] = 0, fault = 1;
        else if (a[i].y == 1 && a[i].n == 0) ans[i] = 1, cnt++;
        else if (a[i].y == 0 && a[i].n == 1) ans[i] = 0, cnt++;
        else ok = false;
    }
    if (!ok || !fault && cnt) cout << -1;
    else for (int i = 0;i < n;i++) cout << ans[i];
    cout << '\n';
    return 0;
}

D

题解

知识点：树形dp。

题目要求，树中满足度为 \(1\) 的节点的权值都相同（0/1）的连通子图个数。

因为全为 \(0\) 和全为 \(1\) 两种情况其实解决方法一样，所以可以同一个方法跑两次即可。

考虑度为 \(1\) 的节点颜色为 \(flag\) 。设 \(dp[i]\) 表示为以编号 \(i\) 的节点为根的子树的方案数。对于根 \(u\) 及其子节点 \(v_i\) ，每个子节点 \(v_i\) 都有 \(dp[v_i]\) 种选择方案使得以 \(v_i\) 为根的子树符合条件，加上不选 \(v_i\) 分支的一种，共有 \(dp[v_i] + 1\) 种方案。对所有子节点 \(v_i\) ，都可以独立的选和不选，所以进行乘法原理的运算，得到选择子节点 \(v_i\) 的所有方案数为 \(\prod (dp[v_i]+1)\) 。

但有一种情况是所有子节点都不选，只留个根。这种方案会使这个节点成为一个度为 \(1\) 的点（因为是子树），颜色必须要符合 \(flag\) 才可以作为一种方案。因此这种情况要特判，故 \(dp[u] = \prod (dp[v_i]+1) – 1 + [a[u] == flag]\) 。

接下来是记录答案，如果 \(a[u] = flag\) ，则作为一个独立的以 \(u\) 为根的树（不是别的节点的子树）的所有方案和是子树的所有方案 \(dp[u]\) 是等价的，因为 \(u\) 无论如何都符合条件；如果 \(a[u] \neq flag\) ，则作为一个独立树，当只选了一个子节点的情况是不可行的，此时根节点 \(u\) 是度为 \(1\) 的，与 \(dp[u]\) 的情况不同（因为是子树，\(u\) 只有在什么都不选的情况才会度为 \(1\)），因此要从 \(dp[u]\) 中减去 \(\sum dp[v_i]\) 。

值得注意的是，无论 \(a[u]\) 是否同色，当其本身成为一个只有一个节点的图时，都是满足条件的。这种情况其实已经算在了 \(a[u] = flag\) 中 \(dp[u]\) 的一种里，不需要额外计算，否则会重复。

无根树可以以任何节点为根，因此从 \(1\) 开始没什么问题。

时间复杂度 \(O(n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int mod = 1e9 + 7;
bool a[300007];
vector<int> g[300007];
bool flag;
int dp[300007];
int ans;

void dfs(int u, int fa) {
    int sum = 0, mul = 1;
    for (int v : g[u]) {
        if (v == fa) continue;
        dfs(v, u);
        mul = 1LL * mul * (dp[v] + 1) % mod;///（子节点方案+不选子节点的一个方案）进行乘法原理
        sum = (0LL + sum + dp[v]) % mod;///只选了一个子节点的方案数
    }
    dp[u] = (mul - 1 + (a[u] == flag)) % mod;///mul减去一个子节点都不选的可能加上自己可能符合要求的可能
    if (a[u] == flag) ans = (0LL + ans + dp[u]) % mod;///当前节点符合要求，答案加上dp[u]即可
    else ans = (0LL + ans + dp[u] - sum + mod) % mod;///当前节点不符合要求，则不能成为度为1的节点，减去选一个子节点的所有方案
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        char ch;
        cin >> ch;
        a[i] = ch - '0';
    }
    for (int i = 1;i <= n - 1;i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
    flag = 1;
    dfs(1, 0);
    flag = 0;
    dfs(1, 0);
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}

F

题解

知识点：计算几何。

纯纯的计算几何（没学过，函数都是现场造的，好难qwq。

注意到是从上往下看，因此考虑从下往上遍历，考虑每一个被上面盖住的弧长即可。

实现过程上，先考虑两个圆 \(a[i]\) 被 \(a[j]\) 覆盖，且是相交的情况。发现只需要用一个余弦定理计算以 \(a[j]\) 半径为对边，\(a[i]\) 与 \(Dist_{C_i,C_j}\) 为邻边的三角形的夹角弧度 \(\theta\)，然后乘以二就是被覆盖的弧长弧度；如果两个圆相离或者后者包含于前者则弧度为 \(0\) ；如果前者包含于后者，是全覆盖，弧度为 \(2\pi\)。

但事实上不止一个圆覆盖，因此要考虑重复覆盖的问题，这涉及到了区间合并，因此考虑以 \(x\) 轴正半轴为基准，逆时针为正方向，形成区间 \([-\pi,\pi]\) ，同时刚好满足 atan2 函数的特性。

先计算 \(\overrightarrow {C_iC_j}\) 的区间弧度 \(base\)，然后加减 \(\theta\) ，得到始边弧度和终边弧度。同时要考虑始边弧度 \(<-\pi\) 和终边弧度 \(>\pi\) 的特判，要把一个角拆成两个角，比如 \([-1.1\pi,0.5\pi]\) 拆成 \([0.9\pi,\pi]\) 与 \([-\pi,0.5\pi]\) 。

随后按起边从小到大排序合并区间，要注意有可能该圆不被任何圆覆盖，\(cnt\) 为 \(0\) ，因此不能以第一个弧段为初始条件，应该以 \([-\pi-1,-\pi-1]\) 类似的为初始条件，或者以\([\pi+1,\pi+1]\) 额外加入数组作为终止条件，顺便还可以把最后一段有效区间加上，我个人喜欢后面这种。

时间复杂度 \(O(n^2)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const double pi = acos(-1.0);

struct Point {
    double x;
    double y;
};

struct Circle {
    Point A;
    double r;
}a[1007];

double sqr(double x) {
    return x * x;
}

double dist2(Point A, Point B) {
    return sqr(A.x - B.x) + sqr(A.y - B.y);
}

double rad(double a, double b, double c) {///余弦定理，a对边，b，c邻边
    return acos((b * b + c * c - a * a) / (2 * b * c));
}

double xrad(Point A, Point B) {///与x轴正方向夹角[-pi，pi]
    return atan2(A.y - B.y, A.x - B.x);///斜率y/x，且由象限决定 
}

struct node {
    double x;
    double y;
}xy[1007 << 1];

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        cin >> a[i].A.x >> a[i].A.y >> a[i].r;
    double ans = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        int cnt = 0;
        for (int j = i + 1;j <= n;j++) {
            ++cnt;
            double len2 = dist2(a[i].A, a[j].A);
            if (len2 >= sqr(a[i].r + a[j].r) || sqrt(len2) <= a[i].r - a[j].r) {///相离 或 j内含于i
                xy[cnt] = { 0,0 };
                continue;
            }
            else if (sqrt(len2) <= a[j].r - a[i].r) {///i内含于j,全盖住了
                xy[cnt] = { -pi,pi };
                break;
            }
            double xita = rad(a[j].r, a[i].r, sqrt(len2));
            double base = xrad(a[j].A, a[i].A);
            xy[cnt].x = base - xita;
            xy[cnt].y = base + xita;
            if (xy[cnt].x < -pi) {///起边小于-pi那就分成[起边+2pi,pi],[-pi,终边]
                cnt++;
                xy[cnt] = { xy[cnt - 1].x + 2 * pi, pi };
                xy[cnt - 1].x = -pi;
            }
            else if (xy[cnt].y > pi) {///同上
                cnt++;
                xy[cnt] = { -pi, xy[cnt - 1].y - 2 * pi };
                xy[cnt - 1].y = pi;
            }
        }
        sort(xy + 1, xy + cnt + 1, [&](node a, node b) {
            return a.x < b.x;
        });///按起边从小到大排序，开始合并区间
        xy[++cnt] = { pi + 1,pi + 1 };///终止特殊判断，方便把最后一段有效段加上
        ans += 2 * pi * a[i].r;///先加上周长
        double lpre = -pi - 1, rmax = -pi - 1;///初始化负无穷，不能初始化第一个，因为有可能一个都没有（如果上面加了终止判断，可以不考虑这个）
        for (int j = 1;j <= cnt;j++) {///合并区间
            if (xy[j].x >= rmax) {
                ans -= (rmax - lpre) * a[i].r;///减去一个区间的周长
                lpre = xy[j].x;
            }
            rmax = max(rmax, xy[j].y);
        }
    }
    cout << fixed << setprecision(15) << ans << '\n';
    return 0;
}

G

题解

方法一

知识点：manachar。

不会qwq。

方法二

知识点：回文自动机。

模板题。不多说（因为也不会说qwq。

时间复杂度 \(O(n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

方法一

无

方法二

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int N = 5e5 + 10;
char s[N];
int n, lst, len[N];
int now, tot = 1, fail[N], cnt[N], t[N][26];

int getfail(int u, int p) {
    while (p - len[u] - 1 <= 0 || s[p - len[u] - 1] != s[p])	u = fail[u];
    return u;
}

int insert(char c, int id) {
    int p = getfail(now, id);
    if (!t[p][c - 'a']) {
        fail[++tot] = t[getfail(fail[p], id)][c - 'a'];
        t[p][c - 'a'] = tot;
        len[tot] = len[p] + 2;
        cnt[tot] = cnt[fail[tot]] + 1;
    }
    return cnt[now = t[p][c - 'a']];
}

ll ans[3];

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n;
    cin >> s + 1;
    fail[0] = 1, len[1] = -1;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        lst = insert(s[i], i);
        if (s[i] == 'k') ans[0] += lst;
        else if (s[i] == 'f') ans[1] += lst;
        else if (s[i] == 'c') ans[2] += lst;
    }
    cout << ans[0] << ' ' << ans[1] << ' ' << ans[2] << '\n';
    return 0;
}

H

题解

知识点：数学，计算几何。

画图，求并集面积。

显然，\(S_U = 2(\dfrac{n}{2})^2 + \dfrac{1}{2}\pi(\dfrac{n}{2})^2 = \dfrac{n^2}{2} + \dfrac{\pi n^2}{8}\) 。

（把union area看成交集QAQ，要被英语退役了）

时间复杂度 \(O(1)\)

空间复杂度 \(O(1)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    double n;
    cin >> n;
    cout << fixed << setprecision(15) << n * n / 2.0 + n * n * acos(-1.0) / 8.0 << '\n';///圆和多边形面积并集
    return 0;
}

K

题解

知识点：数学。

首先如果 \(n-k<=k\) 则一定拿不到。

然后根据鸽巢原理。因为一对耳机有两个头，最坏情况是每对都只拿了一个头即 \(n-k\) 个耳机，还要补上 \(k+1\) 个耳机凑成 \(k+1\) 对，因此一共要拿 \(n+1\) 个耳机。

时间复杂度 \(O(1)\)

空间复杂度 \(O(1)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    if (n - k <= k) {
        cout << -1 << '\n';
        return 0;
    }
    cout << n + 1 << '\n';
    return 0;
}

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