活动选择问题理解贪心算法

一.贪心算法

对于一些最优解问题,每一步都做当前的最优选择,最后得到的选择结果就是最终问题的最优解,这样的问题就适用贪心算法。贪心算法在每一步做出局部的最优选择,最后得到整个问题的最优解。显然,实际问题中存在大量问题并不是每一步最优就能最终最优的,如01背包问题,因此贪心算法解决问题简化了解决方案,但是得到的最终结果的可信度不如动态规划算法或者分治算法高,往往考虑不够全面。问题能否使用贪心算法解决要根据问题实际分析。

二.活动选择问题

有n个需要在同一天使用同一个教室的活动a1,a2,…,an,教室同一时刻只能由一个活动使用。每个活动ai都有一个开始时间si和结束时间fi 。一旦被选择后,活动ai就占据半开时间区间[si,fi)。如果[si,fi]和[sj,fj]互不重叠,ai和aj两个活动就可以被安排在这一天。该问题就是要安排这些活动使得尽量多的活动能不冲突的举行(最大兼容活动子集)。例如下图所示的活动集合S,其中各项活动按照结束时间单调递增排序。

{a3,a9,a11}是一个兼容的活动子集,但它不是最大子集,因为子集{a1,a4,a8,a11}更大,实际上它是我们这个问题的最大兼容子集,但它不是唯一的一个{a2,a4,a9,a11}

 

 

 1.动态规划算法

       static void Main(string[] args)
{
//添加两个活动,一个从0点到0点,一个从24点到24点
//记录活动start时间的数组
int[] s = { 0, 1, 3, 0, 5, 3, 5, 6, 8, 8, 2, 12, 24 };
//记录活动end时间的数组
int[] e = { 0, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 24 };
//记录所有方案的二维数组
//数组的行数和列数对应了活动方案的编号,如result[3,7]代表了第3个到第7个活动的活动最大兼容子集
List<int>[,] result = new List<int>[13, 13];
//为二维数组赋初值,集合中的数字代表哪些活动组合成最大兼容子集
for (int m = 0; m < 13; m++)
{
for (int n = 0; n < 13; n++)
{
result[m, n] = new List<int>();
}
}
//双重循环
//依次遍历存储所有活动的最大兼容子集,j是最后一个活动编号,i是第一个活动编号
for (int j = 0; j < 13; j++)
{
for (int i = 0; i < j - 1; i++)
{
//int集合sij用于存储计算出的第i到第j个活动的最大兼容子集
List<int> sij = new List<int>();
//循环遍历每一个活动,number是当前指向的活动编号
for (int number = 1; number < s.Length - 1; number++)
{
//如果当前遍历到的活动的时间在最后一个活动j的开始时间和第一个活动i的结束时间之间,这个活动就能插入两个活动之间进行
if (s[number] >= e[i] && e[number] <= s[j])
{
sij.Add(number);
}
}
//如果有活动插入到了两个活动之间
if (sij.Count > 0)
{
//保存最大兼容子集的活动的数量
int maxCount = 0;
//保存最大兼容子集
List<int> tempList = new List<int>();
//循环遍历插入的活动
foreach (int number in sij)
{
//计算最大兼容子集的活动的数量
int count = result[i, number].Count + result[number, j].Count + 1;
//更新最大兼容子集的活动数量
//可能有多个活动可以插入两个活动之间,因此需要判断哪一个活动插入后是从i活动到j活动的最大兼容子集
//将最大兼容子集的活动编号保存起来
if (maxCount < count)
{
maxCount = count;
tempList = result[i, number].Union<int>(result[number, j]).ToList<int>();
tempList.Add(number);
}
}
//更新计算出的i活动到j活动的最大兼容子集
result[i, j] = tempList;
}
}
}
//结果取出第0个活动到第12个活动的最大兼容子集即可
List<int> a = result[0, 12];
foreach (int item in a)
{
Console.Write(item + " ");
}
Console.ReadKey();
}

 2.贪心算法(递归解决)

可以看到在ActivitySelection方法的for循环中,找到了一个局部最优结果就break跳出循环继续寻找下一个结果了(递归寻找下一个局部最优解),当前这个结果只是当前的最优解,是否是最终问题的最优解并没有管,因此贪心算法的结果并不是那么可信

        static void Main(string[] args)
{
List<int> list = ActivitySelection(1, 11, 0, 24);
foreach(int t in list)
{
Console.Write(t + " ");
}
Console.ReadKey();
}
static int[] s = { 0, 1, 3, 0, 5, 3, 5, 6, 8, 8, 2, 12, 24 };
static int[] e = { 0, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 24 };
/// <summary>
/// 计算给定的活动编号之间的活动能否在给定时间内进行
/// </summary>
/// <param name="startActivityNumber">开始的活动编号</param>
/// <param name="endActivityNumber">结束的活动编号</param>
/// <param name="startTime">开始时间</param>
/// <param name="endTime">结束时间</param>
/// <returns></returns>
public static List<int> ActivitySelection(int startActivityNumber,int endActivityNumber,int startTime,int endTime)
{
//如果活动已经找完或者时间已经找完,结束递归调用
if (startActivityNumber > endActivityNumber || startTime >= endTime)
return new List<int>();
//记录可以插入的活动编号
int tempNumber = 0;
//循环遍历活动编号,看能否在给定时间内进行
for (int number = startActivityNumber; number <= endActivityNumber; number++)
{
//判断能否在给定时间内进行
if(s[number] >= startTime && e[number] <= endTime)
{
tempNumber = number;
break;
}
}
//找到了一个能插入的活动后,继续递归找下一个能插入的活动
List<int> list = ActivitySelection(tempNumber + 1, endActivityNumber, e[tempNumber], endTime);
//将找到的活动编号添加入集合中
            list.Add(tempNumber);
//返回找到的结果
return list;
}

3.贪心算法(迭代解决)

迭代的解决方案只需要遍历所有的活动,然后看活动能否在指定时间内进行,如果可以的话就将该活动添加进集合,然后将下一个活动可以开始的时间更新为刚才活动的结束时间。

        static void Main(string[] args)
{
List<int> list = ActivitySelection(1, 11, 0, 24);
foreach(int t in list)
{
Console.Write(t + " ");
}
Console.ReadKey();
}
static int[] s = { 0, 1, 3, 0, 5, 3, 5, 6, 8, 8, 2, 12, 24 };
static int[] e = { 0, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 24 };
/// <summary>
/// 计算给定的活动编号之间的活动能否在给定时间内进行
/// </summary>
/// <param name="startActivityNumber">开始的活动编号</param>
/// <param name="endActivityNumber">结束的活动编号</param>
/// <param name="startTime">开始时间</param>
/// <param name="endTime">结束时间</param>
/// <returns></returns>
public static List<int> ActivitySelection(int startActivityNumber,int endActivityNumber,int startTime,int endTime)
{
//保存结果的list
List<int> list = new List<int>();
//循环遍历活动编号,看能否在给定时间内进行
for (int number = 1; number <= 11; number++)
{
//判断能否在给定时间内进行,找到可以在给定时间内进行的活动后将活动编号加入结果的集合,并且下一个活动的开始时间需要更新
if(s[number] >= startTime && e[number] <= endTime)
{
list.Add(number);
startTime = e[number];
}
}
//返回找到的结果
return list;
}