机器学习回顾篇(4):逻辑回归

  • 2019 年 10 月 3 日
  • 笔记

1 引言

逻辑不逻辑,回归非回归。

回想当年初次学习逻辑回归算法时,看到”逻辑回归“这个名字,第一感觉是这是一个与线性回归类似的回归类别的算法,只不过这个算法突出”逻辑“,或者与某个以”逻辑“命名的知识点有关。可后来却发现,这是一个坑死人不偿命的名字——逻辑回归算法不是回归算法,是分类算法,也与逻辑无关,要说有关也仅是因为它的英文名字是Loginstics,音译为逻辑而已(所以也有资料称之为逻辑斯蒂回归)。

2 逻辑回归原理

2.1 从线性回归到逻辑回归

在上一篇博文中,我们详细说过回归算法与分类算法的区别。逻辑回归既然是分类算法,为什么不叫逻辑分类而是逻辑回归呢?在我看来,这是因为逻辑回归用回归的思路去解决分类的问题。

假设有如下图所示的一个数据集,使用线性回归算法,我们可以找到大致如黑线的一个线性模型对其进行拟合。对于回归算法,需要做的是对数据集中每一个${{x}_{i}}$,都能通过模型找到一个${{y}_{i}}$(预测值)与之对应。

获得了预测值${{y}_{i}}$,我们就可以做很多事情了,例如:分类。我们可以对${{y}_{i}}$进行分段,例如,在${{y}}$轴上取一值$M$,当${{y}_{i}}<M$时,我们将其标记到类0中,当${{y}_{i}}>M$时,我们将其标记到另一类1中,如下图所示:

这就实现了以回归的思路来实现分类。

但逻辑回归可不止在线性回归的基础上做这些事情。在上一篇介绍线性回归的博文的末尾,我们提到,线性回归有一个很致命的缺陷——对异常值很敏感,如果数据集中出现异常值,拟合出来的线性模型也将出现很大变化,预测出来的结果也将不在那么准确,从而到导致分类错误。如下图所示,数据集中出现一个异常点(绿点),那么拟合出来的模型就可能从原来的黑线变为绿线,此时,当数据集中有某一点$xin ({{x}_{1}},{{x}_{2}})$时,该点就回被误判,例如图中橙色点,在原本黑线模型中,该点预测出来的${{y}}$值大于$M$,被标记到1类中,但在绿线模型中,其${{y}}$值就小于$M$,就回被误标记到0类中。

逻辑回归算法对线性回归对异常数据敏感的不足进行了优化改进。怎么改进呢?最直观的方法就是将直线“掰弯”。“掰弯”之后,就算出现异常数据,模型主体部分也不会出现太多改变,从而解决线性回归模型对异常值敏感的问题,如下图所示:

而我们所用的“掰弯”方法就是用sigmod函数与线性函数进行复合。

2.2 sigmod函数

sigmoid函数也叫Logistic函数,函数表达式如下:

$g(z)=frac{1}{1+{{e}^{-x}}}$

其中,$e$为自然对数,是一个常数,值约为$2.71828$

函数图像如下:

从函数图像可以看出, sigmoid函数可以很好地将$(-infty ,+infty )$内的数映射到$(0,1)$ 上,于是我们可以将$g(z)ge 0.5$时我们可以将该条数据标记为1类, $g(z)<0.5$时标记为0类。即:

[y=left{ _{0,text{    }g(x)<0.5}^{1,text{    }g(x)ge 0.5} right.]

其中$y$表示分类结果。

通常,在逻辑回归算法应用中,模型可不会如同上面的sigmoid函数那么简单,而是sigmoid函数与线性函数的组合:

[g(x)=frac{1}{1+{{e}^{-z}}}]

其中,$z$就是线性回归中的预测值,即:

[z=f(x)={{theta }_{0}}+{{theta }_{1}}{{x}_{1}}+{{theta }_{2}}{{x}_{2}}+cdots +{{theta }_{n}}{{x}_{n}}]

所以有:

[h(x)=frac{1}{1+{{e}^{-({{theta }_{0}}+{{theta }_{1}}{{x}_{1}}+{{theta }_{2}}{{x}_{2}}+cdots +{{theta }_{n}}{{x}_{n}})}}}]

用矩阵方式表示:

[h(x)=g(z)=g({{theta }^{T}}x)=frac{1}{1+{{e}^{-{{theta }^{T}}x}}}]

其中,$theta =left[ begin{matrix}
   {{theta }_{0}}  \
   {{theta }_{1}}  \
   vdots   \
   {{theta }_{n}}  \
end{matrix} right]$,$x=left[ begin{matrix}
   {{x}_{0}}  \
   {{x}_{1}}  \
   vdots   \
   {{x}_{n}}  \
end{matrix} right]$

3 损失函数

下一步我们要做的就是如何求取最佳拟合模型的问题了。在线性回归算法中,我们使用误差平方和或者均方误差来作为损失函数,但是在逻辑回归中,这个方法不再使用,因为已被证明,在逻辑回归模型中使用误差平方和作为损失函数的话,会存在在许多局部最小值点,在求解参数的过程中很容易陷入局部最小值点,而无法求得真正的最小值点。

上面说过,$h(x)in (0,1)$,这一点的性质刚好与概率$pin [0,1]$的性质吻合(当做概率使用的理由不止这点),故而我们可以将其当做$h(x)$值当做数据被标记为1类的概率,即:

[p(y=1|x;theta )=h(x)]

[p(y=0|x;theta )=1-h(x)]

当给定$y$为1时,即属于1类时,$h(x)$越趋近于1,被预测为1类的概率就越大,损失(误差)就越小;反之,当给定$y$为0时,即属于0类时,$h(x)$越趋近于1,被预测为0类的概率就越小,损失(误差)就越大,于是,我们可以定义损失函数:

[cos t(h(x),y)=left{ _{-log (1-h(x)),text{ }y=0}^{-log (h(x)),text{ }y=1} right.]

对所有数据集中$x$损失累加然后求平均,有:

[J(theta )=-frac{1}{m}sumlimits_{i=1}^{m}{cos (h(x),y)}]

由于$y$的取值为0或1,结合上面两个公式可以得到:

[J(theta )=-frac{1}{m}sumlimits_{i=1}^{m}{({{y}_{i}}log (h({{x}_{i}}))+(1-{{y}_{i}})log (1-h({{x}_{i}})))}]

这个函数就是我们逻辑回归的损失函数,我们把它称为交叉熵损失函数。

接下来就是针对的优化问题,也就是求得最小值,在这位大佬的博客里推导过程写得很详细,我自愧不如,就不献丑了。

4 代码实现

import torch  from torch import nn  from torch.autograd import Variable  import matplotlib.pyplot as plt  import numpy as np    # 假数据  n_data = torch.ones(100, 2)         # 数据的基本形态  x0 = torch.normal(2*n_data, 1)      # 类型0 x data (tensor), shape=(100, 2)  y0 = torch.zeros(100)               # 类型0 y data (tensor), shape=(100, 1)  x1 = torch.normal(-2*n_data, 1)     # 类型1 x data (tensor), shape=(100, 1)  y1 = torch.ones(100)                # 类型1 y data (tensor), shape=(100, 1)    # 注意 x, y 数据的数据形式是一定要像下面一样 (torch.cat 是在合并数据)  x = torch.cat((x0, x1), 0).type(torch.FloatTensor)  # FloatTensor = 32-bit floating  y = torch.cat((y0, y1), 0).type(torch.FloatTensor)    # LongTensor = 64-bit integer    # 画图  # plt.scatter(x.data.numpy()[:, 0], x.data.numpy()[:, 1], c=y.data.numpy(), s=100, lw=0, cmap='RdYlGn')  # plt.show()    class LogisticRegression(nn.Module):      def __init__(self):          super(LogisticRegression, self).__init__()          self.lr = nn.Linear(2, 1)          self.sm = nn.Sigmoid()        def forward(self, x):          x = self.lr(x)          x = self.sm(x)          return x    logistic_model = LogisticRegression()  if torch.cuda.is_available():      logistic_model.cuda()    # 定义损失函数和优化器  criterion = nn.BCELoss()  optimizer = torch.optim.SGD(logistic_model.parameters(), lr=1e-3, momentum=0.9)    # 开始训练  for epoch in range(10000):      if torch.cuda.is_available():          x_data = Variable(x).cuda()          y_data = Variable(y).cuda()      else:          x_data = Variable(x)          y_data = Variable(y)        out = logistic_model(x_data)      loss = criterion(out, y_data)      print_loss = loss.data.item()      mask = out.ge(0.5).float()  # 以0.5为阈值进行分类      correct = (mask == y_data).sum()  # 计算正确预测的样本个数      acc = correct.item() / x_data.size(0)  # 计算精度      optimizer.zero_grad()      loss.backward()      optimizer.step()      # 每隔20轮打印一下当前的误差和精度      if (epoch + 1) % 20 == 0:          print('*'*10)          print('epoch {}'.format(epoch+1)) # 训练轮数          print('loss is {:.4f}'.format(print_loss))  # 误差          print('acc is {:.4f}'.format(acc))  # 精度    # 结果可视化  w0, w1 = logistic_model.lr.weight[0]  w0 = float(w0.item())  w1 = float(w1.item())  b = float(logistic_model.lr.bias.item())  plot_x = np.arange(-7, 7, 0.1)  plot_y = (-w0 * plot_x - b) / w1  plt.scatter(x.data.numpy()[:, 0], x.data.numpy()[:, 1], c=y.data.numpy(), s=100, lw=0, cmap='RdYlGn')  plt.plot(plot_x, plot_y)  plt.show()

4 总结

总结一下逻辑回归的优缺点:

优点:

1)预测结果是介于0和1之间的概率;

2)可以适用于连续性和类别性自变量;

3)容易使用和解释。

缺点:

1)对模型中自变量多重共线性较为敏感,例如两个高度相关自变量同时放入模型,可能导致较弱的一个自变量回归符号不符合预期,符号被扭转。需要利用因子分析或者变量聚类分析等手段来选择代表性的自变量,以减少候选变量之间的相关性;

2)预测结果呈“S”型,因此从log(odds)向概率转化的过程是非线性的,在两端随着log(odds)值的变化,概率变化很小,边际值太小,slope太小,而中间概率的变化很大,很敏感。 导致很多区间的变量变化对目标概率的影响没有区分度,无法确定阀值。

参考:

https://blog.csdn.net/out_of_memory_error/article/details/81275651

https://www.cnblogs.com/yiduobaozhiblog1/p/8872903.html

https://blog.csdn.net/ligang_csdn/article/details/53838743

https://baijiahao.baidu.com/s?id=1620514366177013756&wfr=spider&for=pc