Python神经网络编程笔记

神经元

想一想便知道,当一个人捏你一下以至于你会痛得叫起来的力度便是神经元的阈值,而我们构建的时候也是把这种现象抽象成一个函数,叫作激活函数

而这里便是我们使用sigmoid函数的原因,它是一个很简单的函数,平滑更接近显示。

[y=frac{1}{1+e^{-x}}]

Snipaste_2018-12-03_15-29-41.png

神经网络传递信号

神经网络便是通过一个一个神经元连接,使用权值x输入的和在通过sigmoid函数得到最终的输出值,然后一层一层的传递下去。

[O = sigmoid(Wcdot I)]

其中,(O)为输出矩阵,(W)为权值矩阵,(I)为输入矩阵。

举个栗子:

假设我们设置一个三层神经网络,分别为输入层,隐藏层(注意:不管我们中间有多少层,中间的都叫隐藏层,我们这里隐藏层只有一层),输出层。

1.输入层->隐藏层:我们输入矩阵是一个(3×1)的矩阵,那么我们设置四个权值,那么我们的第一个权值矩阵(就是输入层->隐藏层的)的维度也就为(4×3),这时我们相乘也就得到输出矩阵(4×1),进行下一步时,这个(4×1)的输出矩阵就变成了输入;

2.隐藏层->输出层:这是我们的输入矩阵是一个(4×1)的矩阵,然后我们要求输出层输出为两个值,那么我们第二个权值矩阵(就是隐藏层->输出层的)的维度也就为(2×4),这时我们相乘也就得到输出矩阵(2×1),也就为最终的结果了。

反向传播

现在我们已经可以收到由前面的层传输过来的结果了,但答案肯定是不准的,那么我们该如何进行改进呢?

毫无疑问,首先我们要计算误差,假设真实值为t,输出值为o,那么误差e就为:

[e=t-o]

book1.png

我们按照上图来进行举例说明。

1.更新误差

那么,隐藏层的误差如何确定呢?

我们使用链接(w_{1,1})和链接(w_{2,1})上的分割误差之和来进行更新,也就是

[e_{hidden,1}=e_{output,1}*frac{w_{1,1}}{w_{1,1}+w_{2,1}}+e_{output,2}*frac{w_{1,2}}{w_{1,2}+w_{2,2}}]

我们也进行带值进行计算

[0.8*frac{2}{2+3}+0.5*frac{1}{1+4}=0.42]

2.使用矩阵进行更新

我们发现上面的公式应用到矩阵运算会很复杂,我们究其本质,最重要的事情是输出误差与链接权重(w_{ij})的乘法。较大的权重就意味着携带较多的输出误差给隐藏层,这些分数的分母是一种归一化因子。如果我们忽略这种因子,那么我们仅仅失去后溃误差的大小。

也就是这里我们使用(e_1*w_{1,1})来代替(e_1*w_{1,1}/(w_{1,1}+w_{2,1})) 。那么我们就可以很容易的进行矩阵运算进行误差更新了。

[error_{hidden}=w^T_{hidden_output}cdot error_{output}]

3.更新权重

在神经网络中,我们采用梯度下降法来寻找最优的权重值。神经网络本身的输出函数部署一个误差函数,但我们知道,由于误差是目标训练值与实际输出值之间的差值,因此我们可以很容易的构建误差函数,即

[(目标值-实际值)^2]

为什么我们要构建平方项呢?为何不用绝对值误差呢?原因有三

  1. 使用误差的平方,我们可以很容易的使用代数计算出梯度下降的斜率;
  2. 误差函数平滑连续,这是的梯度下降法很好地发挥作用,没有间断,也没有突然的跳跃;
  3. 越接近最小值,梯度越小,这意味着,如果我们使用这个函数调节步长,超调的风险就会变得很小。

现在我们要更新(w_{j,k})的权值,那么来推导一下它的更新公式:

首先有

[frac{partial E}{partial W_{j,k}} = frac{partial}{partial W_{j,k}}(t_k-o_k)^2]

然后根据链式法则得到:

[frac{partial E}{partial W_{j,k}} = frac{partial E}{partial o_k} cdot frac{partial o_k}{partial W_{j,k}}]

然后我们对其求偏导:

[frac{partial E}{partial W_{j,k}} = -2(t_k-o_k) cdot frac{partial o_k}{partial W_{j,k}}\ = -2(t_k-o_k) cdot frac{partial}{partial W_{j,k}}sigmoid(sum_{j}w_{j,k}cdot o_j)\ = -2(t_k-o_k) cdot sigmoid(sum_{j}w_{j,k}cdot o_j)(1-sigmoid(sum_{j}w_{j,k}cdot o_j)) cdot frac{partial}{partial W_{j,k}}(sum_{j}w_{j,k}cdot o_j)\ = -2(t_k-o_k) cdot sigmoid(sum_{j}w_{j,k}cdot o_j)(1-sigmoid(sum_{j}w_{j,k}cdot o_j)) cdot o_j]

这样我们就得到了最后的权重更新公式:

[new W_{j,k} = oldW_{j,k} – alpha cdot frac{partial E}{partial W_{j,k}} ]

其中:

[frac{partial E}{partial W_{j,k}} = Delta w_{j,k} = alpha cdot E_k cdot O_k(1-O_k) cdot O_j^T]

输入与输出

1.输入

我们观察sigmoid函数注意到,当输入值变大,激活函数也就会越来越平坦,权重的改变取决于激活函数的梯度,小梯度也就意味着限制了神经网络的学习能力,这就是所谓的饱和神经网络。因此,我们要尽量保持小的输入。

但有趣的是,当输入信号太小,计算机便会损失精度,所以我们要保持输入范围在0.0~1.0之间,但输入为0的话会将(o_j)设置为0,这样的权重更新表达式就会等于0,从而造成学习能力的丧失,我们需要加上一个小小的偏移,例如0.01,避免输入0带来的麻烦。

2.输出

我们使用激活函数得到的值的范围会被限制在0~1之间,注意:逻辑函数甚至不能取到1.0,只能接近于1.0.数学家们称之为渐进于1.0.

因此,我们需要调整目标值,匹配激活函数的可能输出,常见的使用范围为0.0~1.0之间,但我们是取不到0.0和1.0的,所以这里我们也要进行偏移,例如0.01~0.99.

随机初始权重

和输入输出一样,初始的权重设置也要遵从同样地原则。过大的初始权重会造成大的信号传递给激活函数,导致网络饱和,从而降低学习到更好的权重的能力,因此应该避免大的初始权重值。

我们可以从-1.0~+1.0之间随机均匀地挑选初始权重。而我们也希望初始权重的分布是均匀的,经过数学家们的证明,我们有一个比较好的挑选方式,那就是从均值为0、标准方差等于节点传入链接数量平方根倒数的正态分布中进行采样

总而言之,我们要禁止将初始权重设定为0或者将初始权重设定为像痛得恒定值,这样会很糟糕。

代码实现

import numpy as np  import scipy.special  import matplotlib.pyplot as plt      # neural network class definition  class NeuralNetwork:      def __init__(self, inputnodes, hiddennodes, outputnodes, learningrate):          # set number of nodes in each input, hidden, output layer          self.inodes = inputnodes          self.hnodes = hiddennodes          self.onodes = outputnodes            # learning rate          self.lr = learningrate            # 初始权重矩阵          self.wih = np.random.normal(0.0, pow(self.hnodes, -0.5), (self.hnodes, self.inodes))          self.who = np.random.normal(0.0, pow(self.onodes, -0.5), (self.onodes, self.hnodes))            # 激活函数          self.activation_function = lambda x: scipy.special.expit(x)          pass        def train(self, inputs_list, targets_list):          # 输入          inputs = np.array(inputs_list, ndmin=2).T          targets = np.array(targets_list, ndmin=2).T          # 隐藏层计算          hidden_inputs = np.dot(self.wih, inputs)          hidden_outputs = self.activation_function(hidden_inputs)          # 输出层计算          final_inputs = np.dot(self.who, hidden_outputs)          final_outputs = self.activation_function(final_inputs)          # 误差计算          output_errors = targets - final_outputs          hidden_errors = np.dot(self.who.T, output_errors)          # 反向传播更新权值          self.who += self.lr * np.dot((output_errors * final_outputs * (1.0 - final_outputs)), np.transpose(hidden_outputs))          self.wih += self.lr * np.dot((hidden_errors * hidden_outputs * (1.0 - hidden_outputs)),  np.transpose(inputs))          pass        def query(self, inputs_list):          # 输入          inputs = np.array(inputs_list, ndmin=2).T          # 隐藏层计算          hidden_inputs = np.dot(self.wih, inputs)          hidden_outputs = self.activation_function(hidden_inputs)          # 输出层计算          final_inputs = np.dot(self.who, hidden_outputs)          final_outputs = self.activation_function(final_inputs)          return final_outputs      if __name__ == '__main__':      input_nodes = 784      hidden_nodes = 200      output_nodes = 10        learning_rate = 0.2        nn = NeuralNetwork(input_nodes, hidden_nodes, output_nodes, learning_rate)        # 加载数据      train_data_file = open("./mnist_train.csv", "r")      train_data_list = train_data_file.readlines()      train_data_file.close()      print("数据读取完毕")        # 可视化      # all_values = train_data_list[0].split(',')      # image_array = np.asfarray(all_values[1:]).reshape((28, 28))      # plt.imshow(image_array, cmap="Greys", interpolation='None')      # plt.show()        epochs = 2        for e in range(epochs):          print("t===== epochs %d =====t" % (e+1))          for record in train_data_list:              all_values = record.split(',')              inputs = (np.asfarray(all_values[1:]) / 255 * 0.99) + 0.01                targets = np.zeros(output_nodes) + 0.01              targets[int(all_values[0])] = 0.99                nn.train(inputs, targets)        # 预测      test_data_file = open("./mnist_test.csv", "r")      test_data_list = test_data_file.readlines()      test_data_file.close()      print(len(test_data_list))        t_num = 0      for line in test_data_list:          all_values = line.split(',')          y = all_values[0]          y_pred = np.argmax(nn.query(np.asfarray(all_values[1:]) / 255 * 0.99 + 0.01))          if int(y) == int(y_pred):              t_num += 1        print(t_num)      print(t_num * 1.0 / len(test_data_list))

这份三层神经网络对mnist手写数据集能达到97%的准确度。