数学——Euler方法求解微分方程详解
- 2020 年 1 月 23 日
- 笔记
算法的数学描述图解
实例
用Euler算法求解初值问题 [ frac{dy}{dx}=y+frac{2x}{y^2}] 初始条件(y(0)=1)，自变量的取值范围(x in [0, 2])
算法Python3代码求解
# 导入包 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 定义求解函数 y_dot = y + 2*x/(y*y) def fx(y, x): return y + 2*x/(y*y) # 算法定义 def ode_euler(f, y0, tf, h): """ Solve and ODE using Euler method. Solve the ODE y_dot = f(y, t) Parameters ------------ :param f: function Function describing the ODE :param y0: array_like Initial conditions. :param tf: float Final time. :param h: float Time step :return: y : array_like Solution to the ODE. t : array_like Time vector. """ y0 = np.array(y0) ts = np.arange(0, tf + h, h) y = np.empty((ts.size, y0.size)) y[0, :] = y0 for t, i in zip(ts[1:], range(ts.size - 1)): y[i + 1, :] = y[i, :] + h * f(y[i, :], t) return y, ts # 实例应用案例 def newton_cooling_example(): print('Solving Newton Cooling ODE...') y, ts = ode_euler(fx, 1, 2, 0.01) print('Done.') plt.figure() plt.plot(ts, y) plt.xlabel('time [s]') plt.title('Solution to the Newton cooling equation') plt.show()
代码中的部分函数理解
numpy.array
numpy.array(object, dtype=None, copy=True, order='K', subok=False, ndmin=0) 参考numpy.array output：创建一个array，返回类型为ndarray 实例
np.array([1, 2, 3.0]) # array([1., 2., 3.]) np.array([[1, 2], [3, 4]]) # array([[1, 2], [3, 4]]) np.array([1, 2, 3], dtype=complex) # array([1.+0.j, 2.+0.j, 3.+0.j])
numpy.arange
参考numpy.arange numpy.arange([start, ]stop, [step, ]dtype=None) 作用：在给定间隔内返回均匀间隔的值。 值在半开区间[start, stop)内生成（换句话说，包括开始但不包括终止）。返回的是ndarray而不是列表。 np.arange()函数返回一个有终点和起点的固定步长的排列，如[1,2,3,4,5]，起点是1，终点是5，步长为1。 参数个数情况： np.arange()函数分为一个参数，两个参数，三个参数三种情况 ：
1. 一个参数时，参数值为终点，起点取默认值0，步长取默认值1。 2. 两个参数时，第一个参数为起点，第二个参数为终点，步长取默认值1。 3. 三个参数时，第一个参数为起点，第二个参数为终点，第三个参数为步长。其中步长支持小数。
案例
np.arange(3,7) # array([3, 4, 5, 6]) np.arange(3,7,2) # array([3, 5])
numpy.ma.size
numpy.ma.size(obj, axis=None) 参考 案例
a = np.array([[1,2,3],[4,5,6]]) np.size(a) # 6 np.size(a,1) # 3 np.size(a,0) # 2
numpy.empty
参考 numpy.empty(shape, dtype=float, order='C') shape : int or tuple of int Shape of the empty array, e.g., (2, 3) or 2. out : ndarray 案例
np.empty([2, 2]) # 结果 array([[ -9.74499359e+001, 6.69583040e-309], [ 2.13182611e-314, 3.06959433e-309]]) #random np.empty([2, 2], dtype=int) # 结果 array([[-1073741821, -1067949133], [ 496041986, 19249760]]) #random
