拉格朗日乘数法的原理，我用10幅图把它讲清楚
- 2019 年 12 月 27 日
- 笔记
机器学习是一个目标函数优化问题，给定目标函数f，约束条件会有一般包括以下三类：
- 仅含等式约束
- 仅含不等式约束
- 等式和不等式约束混合型
当然还有一类没有任何约束条件的最优化问题
关于最优化问题，大都令人比较头疼，首先大多教材讲解通篇都是公式，各种符号表达，各种梯度，叫人看的云里雾里。
有没有结合几何图形阐述以上问题的？很庆幸，还真有这么好的讲解材料，图文并茂，逻辑推导严谨，更容易叫我们理解拉格朗日乘数法、KKT条件为什么就能求出极值。
1 仅含等式约束
假定目标函数是连续可导函数，问题定义如下：
然后，
通过以上方法求解此类问题，但是为什么它能求出极值呢？
这是本篇文章写作目的，解释为什么这种方法就能求出极值。
2 找找 sense
大家时间都有限，只列出最核心的逻辑，找找sense, 如有兴趣可回去下载PPT仔细体会。
此解释中对此类问题的定义：
为了更好的阐述，给定一个具体例子，锁定：
所以，f(x)的一系列取值包括0,1,100,10000等任意实数：
但是，约束条件h(x)注定会约束f(x)不会等于100，不会等于10000…
一个可行点：
3 梯度下降
我们想要寻找一个移动x的规则，使得移动后f(x+delta_x)变小，当然必须满足约束h(x+delta_x)=0
使得f(x)减小最快的方向就是它的梯度反方向，即
因此，要想f(x+delta_x) 变小，通过图形可以看出，只要保持和梯度反方向夹角小于90，也就是保持大概一个方向，f(x+delta_x)就会变小，转化为公式就是：
如下所示的一个delta_x就是一个会使得f(x)减小的方向，但是这种移动将会破坏等式约束: h(x)=0，关于准确的移动方向下面第四小节会讲到
4 约束面的法向
约束面的外法向：
约束面的内法向：
绿圈表示法向的正交方向
x沿着绿圈内的方向移动，将会使得f(x)减小，同时满足等式约束h(x) = 0
5 提出猜想
我们不妨大胆假设，如果满足下面的条件：
根据第四小节讲述，delta_x必须正交于h(x)，所以：
所以：
至此，我们就找到f(x)偏导数等于0的点，就是下图所示的两个关键点（它们也是f(x)与h(x)的临界点）。且必须满足以下条件，也就是两个向量必须是平行的：
6 完全解码拉格朗日乘数法
至此，已经完全解码拉格朗日乘数法，拉格朗日巧妙的构造出下面这个式子：
还有取得极值的的三个条件，都是对以上五个小节中涉及到的条件的编码
关于第三个条件，稍加说明。
对于含有多个变量，比如本例子就含有2个变量x1, x2，就是一个多元优化问题，需要求二阶导，二阶导的矩阵就被称为海塞矩阵（Hessian Matrix）
与求解一元问题一样，仅凭一阶导数等于是无法判断极值的，需要求二阶导，并且二阶导大于0才是极小值，小于0是极大值，等于0依然无法判断是否在此点去的极值。
