统计学习：朴素贝叶斯模型
模型
生成模型介绍
我们定义样本空间为\(\mathcal{X} \subseteq \mathbb{R}^n\)，输出空间为\(\mathcal{Y} = \{c_1, c_2, …, c_K\}\)。\(\textbf{X}\)为输入空间上的随机向量，其取值为\(\textbf{x}\)，满足\(\textbf{x} \in \mathcal{X}\)；\(Y\)为输出空间上的随机变量，设其取值为\(y\)，满足\(y \in \mathcal{Y}\)。我们将容量为\(m\)的训练样本表示为:
D = \{\{\textbf{x}^{(1)}, y^{(1)}\}, \{\textbf{x}^{(2)}, y^{(2)}\},…, \{\textbf{x}^{(m)}, y^{(m)}\}\}
\end{aligned}\tag{1}
\]
\]
我们遵循机器学习的一个基本假设，即训练样本是从一个未知的总体分布\(P(\textbf{X} = \textbf{x}, Y=y)\)中采样产生，且训练样本独立同分布。
我们采取概率模型的视角，即将分类模型表示为条件概率分布\(P(Y=y|\textbf{X}=\textbf{x})\)。而依据分布\(P(Y=y|\textbf{X}=\textbf{x})\)的求解可将模型分为判别模型和生成模型。判别模型直接对条件概率分布\(P(Y=y|\textbf{X}=\textbf{x})\)进行参数估计(估计方法可采用极大似然估计或贝叶斯估计)；而生成模型则利用条件概率公式\(P(Y=y|\textbf{X}=\textbf{x}) = \frac{P(\textbf{X}=\textbf{x}, Y=y)}{P(\textbf{X}=\textbf{x})}\)来计算分布。分子\(P(\textbf{X}=\textbf{x}, Y=y)\)是一个联合概率分布，能够还原出联合概率分布\(P(\textbf{X}=\textbf{x}, Y=y)\)是生成模型的一大特性。
朴素贝叶斯模型推导
我们对分子继续运用条件概率公式，进一步得到
P(Y=y|\textbf{X}=\textbf{x}) = \frac{P(\textbf{X}=\textbf{x}|Y=y)P(Y=y)}{P(\textbf{X}=\textbf{x})}
\end{aligned} \tag{2}
\]
这个公式即大名鼎鼎的贝叶斯公式。 这里我们采用贝叶斯学派的视角，将\(P(Y=y)\)称为先验概率分布，表示在数据观测之前对\(Y\)的信念；\(P(Y = y|\textbf{X}=\textbf{x})\)称为后验概率分布，表示经过观测数据\(\textbf{X}\)(也称“证据”)校正后对\(Y\)的信念。注意不要和和贝叶斯估计中参数\(\theta\)的先验和后验分布搞混了，贝叶斯估计也应用了贝叶斯公式，但先验概率分布和后验概率分布的实际含义与这里完全不同。
我们再将分母运用全概率公式展开，我们得到
P(Y=y|\textbf{X}=\textbf{x})= \frac{P(\textbf{X}=\textbf{x}|Y=y)P(Y=y)}{\sum_{y\in \mathcal{Y}}P(\textbf{X}=\textbf{x}|Y=y)P(Y=y)}
\end{aligned}\tag{3}
\]
这意味着我们只需要学习概率分布\(P(Y=y)\)和\(P(\textbf{X}=\textbf{x}|Y=y)\)，而无需关心\(P(\textbf{X}=\textbf{x})\)。
将随机向量\(\textbf{x}\)沿着其特征维度展开，我们继续得到
P(\textbf{X} = \textbf{x} | Y = y) = P(X_1 = x_1, …, X_n = x_n | Y=y), \quad n \text{为特征维度}
\end{aligned}\tag{4}
\]
这里我们为了简单起见，假设样本属性是离散的，\(x_j\)的属性集为\(A_j=\{a_1, a_2,…, a_{N_j}\}\)，满足\(x_j \in A_j\)。可以看出，条件概率分布\(P(\textbf{X}=\textbf{x}|Y=y)\)的参数总量是指数级的(\(x_j\)的属性集\(A_j\)大小为\(N_j\)，\(j=1, 2, …, n\)，\(Y\)可取值有\(K\)个，那么参数个数为\(K \prod_{j=1}^{n}N_j\))，不能对其直接进行参数估计。
因此，我们决定对原本拥有指数级参数数量的分布进行拆分。这里，朴素贝叶斯法做出了条件独立性假设：样本特征在类确定的条件下条件独立(这也是“朴素”(Naive)一词的得名)。这样我们就能将原本拥有庞大参数的概率分布进行拆分：
P(\textbf{X} = \textbf{x} | Y=y) = P(X_1 = x_1, …, X_n = x_n | Y=y) = \prod_{j=1}^nP(X_j = x_j | Y = y)
\end{aligned}\tag{5}
\]
这样，我们就可以对\(P(\textbf{X} | Y=y)\)分布进行高效的参数估计。之后，我们对于输入样本\(\textbf{x}\)，计算概率分布\(P(Y=y|\textbf{X}=\textbf{x})\)：
P(Y=y|\textbf{X}=\textbf{x})= \frac{P(\textbf{X}=\textbf{x}|Y=y)P(Y=y)}{\sum_{ y \in \mathcal{Y}}P(\textbf{X}=\textbf{x}|Y=y)P(Y=y)}
= \frac{\prod_{j=1}^nP(X_j = x_j | Y=y)P(Y=y)}{\sum_{y \in \mathcal{Y}}[ \prod_{j=1}^nP(X_j = x_j | Y=y)P(Y=y) ]}
\end{aligned}\tag{6}
\]
我们采取后验概率最大化原则(即最终的输出分类取使条件概率最大的那个)，设\(f(\textbf{x})\)为分类决策函数，即
y = f(\textbf{x}) = \mathop{\arg\max}_{y} P(Y = y|\textbf{X}=\textbf{x})=\mathop{\arg\max}_{y}\frac{\prod_{j=1}^nP(X_j = x_j | Y=y)P(Y=y)}{\sum_{y \in \mathcal{Y}}[ \prod_{j=1}^nP(X_j = x_j | Y=y)P(Y=y) ]}
\end{aligned}\tag{7}
\]
我们发现，不管\(y\)取何值，式\((7)\)中分母总是恒定的，因此我们可以将式\((7)\)化简为
y = f(\textbf{x}) = \mathop{\arg\max}_{y} P(Y=y|\textbf{X}=\textbf{x}) = \mathop{\arg\max}_{y}\prod_{j=1}^nP(X_j = x_j | Y=y)P(Y=y)
\end{aligned}\tag{8}
\]
这就是朴素贝叶斯模型分类决策函数的最终表达式。
参数估计
极大似然估计
如式\((8)\)中所述，我们需要对先验概率分布\(P(Y=y)\)和条件概率分布\(P(X_j = x_j|Y=y)\)进行参数估计。根据极大似然估计(具体的推导过程可以参见李航《统计学习方法》中的习题解答)，我们可以运用训练集\(D\)将先验概率分布\(P(Y=y)\)估计为
P(Y=y) = \frac{\sum_{i=1}^m(y^{(i)} = y)}{m}, \quad m \text{为}D \text{中样本个数}
\end{aligned} \tag{9}
\]
同样，条件概率分布\(P(X_j = x_j|Y=y)\)的估计为
P(X_j = x_j | Y=y) = \frac{P(X_j = x_j, Y = y)}{P(Y = y)} = \frac{\sum_{i=1}^{m}I(x_j^{(i)} =x_j, y^{(i)}=y)}{\sum_{i=1}^{m}I(y^{(i)}=y)}
, \quad m \text{为}D \text{中样本个数}
\end{aligned} \tag{10}
\]
贝叶斯估计(平滑修正)
观察式\((10)\)可知，如果训练集中属性值\(x_j\)和类\(y\)没有同时出现过，即\(P(X_j=x_j, Y=y)=0\)，那么\(P(X_j = x_j | Y=y)=0\)会直接导致连乘式。这就意味着不管其他属性如何，哪怕其他属性明显符合要求，样本\(\prod_{j=1}^nP(X_j = x_j | Y=y)=0\) ，\(\textbf{x}\)属于类\(y\)的概率都会被判为0，这明显不太合理。
因此，为了避免其他属性携带的信息被训练集中未出现的属性值“抹去”，我们采用贝叶斯估计，等价于在估计概率值时通常进行“平滑”(smoothing)(具体的推导过程可以参见李航《统计学习方法》中的习题解答)。即令式\((10)\)修正为
P_{\lambda}(X_j = x_j|Y=y) = \frac{\sum_{i=1}^{m}I(x_j^{(i)} =x_j, y^{(i)}=y) + \lambda}{\sum_{i=1}^{m}I(y^{(i)}=y)+N_j \lambda}, \quad \lambda > 0, \quad N_j\text{为属性}x_j\text{可能的取值数}
\end{aligned} \tag{11}
\]
我们常取\(\lambda=1\)，这时称为拉普拉斯平滑(Laplacian smoothing)。
类似地，式\((9)\)中先验概率被修正为：
P_\lambda(Y=y) = \frac{\sum_{i=1}^m(y^{(i)} = y)+\lambda}{m+K\lambda}, \quad \lambda > 0, \quad K\text{为标签}y\text{可能的取值数}
\end{aligned} \tag{12}
\]
可以看出，拉普拉斯平滑解决了训练集样本数不足导致的概率值为 0 的问题。拉普拉斯修正实际上假设了属性值与类别均匀分布，这是在参数估计的过程中额外引入的关于数据的先验 (prior)。当样本容量趋近于无穷时，我们发现修正过程所引入的先验的影响也趋近于 0，使得计算的概率值趋近于实际的概率值。
算法
在实际的应用中，朴素贝叶斯模型有两种训练方式。
若使用的场景对模型的预测速度要求较高，在给定训练集\(D\)的情况下，我们将概率分布\(P_\lambda(Y=y)\)和概率分布\(P_{\lambda}(X_j = x_j|Y=y)\)所有可能的取值(\(y\in \mathcal{Y}\)，\(x_j \in A_j\)，\(A_j\)为样本属性取值集合)都计算出来存好，然后在测试样本\(\textbf{x}^{*}\)来了之后，通过“查表”的方式将对应的概率值检索出来，然后再对其类别进行判别。这样，我们计算概率分布\(P_\lambda(Y=y)\)和概率分布\(P_{\lambda}(X_j = x_j|Y=y)\)所有可能取值的过程即对朴素贝叶斯模型进行显式训练的过程。训练算法如下：
然后，在对给定输入样本\(x^{*}\)进行判别时，按照下式进行判别：
y = f(\textbf{x}^{*}) = \mathop{\arg\max}_{y} P(Y=y|\textbf{X}=\textbf{x}^{*}) = \mathop{\arg\max}_{y}\prod_{j=1}^nP(X_j = x_j^{*} | Y=y)P(Y=y)
\end{aligned} \tag{13}
\]
如果我们不断有新的训练数据产生，可以采用“懒惰学习”(lazy learning)的方法，先不进行任何训练，测试样本来了之后再依照测试样本的属性\(x_j^{*}\)和当前数据集的状况来计算单点概率，这样可以避免对所有可能的属性都计算单点概率。若训练数据不断增加，则可在现有计算结果的基础上，仅仅对新增样本的属性值所涉及的单点概率进行计数修正，这样可以实现“增量学习”。
