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因果推断学习3 — 随机试验

2021 年 2 月 20 日
AI

本篇讲解如何探测因果性，并计算因果效应

Potential outcomes

之前我们讲因果推断就是推测某个试验(treatment)针对某个结果(outcome)的效应(effect)。为了定量计算，我们需要定义一些数量。以起床头疼举例子，那么起床是否头疼就是结果 $Y\in \{0,1\}$ ，我们的研究对象为试验T（比如是否吃药）

当吃药不头疼了，不吃药头还疼，那我们可能会认为吃药和解决头疼存在因果效应

当吃不吃药头都疼，则我们会认为吃药和解决头疼不存在因果效应

所以我们可以由此引出因果效应计算方法。记do(T=1)为施加试验(吃药)，do(T=0)为不施加试验(不吃药)；Y表达结果(是否头疼)。则潜在结果就是do(T=1)的结果Y和do(T=0)的结果Y，记为 $\{Y_i|_{do(T=1)} ,Y_i|_{do(T=0)}\}$

因此，因果效应可以计算为 $Y_i|_{do(T=1)} -Y_i|_{do(T=0)}$ ，代表施加与不施加试验结果的差异。简记为 $Y_i(1)-Y_i(0)$ ，这是针对某个人i的因果效应，称为ITE (Individual treatment effect)

Fundamental Problem of causal inference

针对某个人，你对其施加treatment（比如吃药），则你就无法观察到不施加treatment的结果。你只能得到potential outcomes中一个结果，另一个称为反事实(Counterfactual)。因为无法观测到counterfactual，所以无法计算ITE

因此，我们希望能计算针对人群的平均效应ATE (Average treatment effect)

$E[Y_i(1)-Y_i(0)]=E[Y_i(1)] -E[Y_i(0)]$

上式是一个因果效应的计算，使用了期望的线性性质。但为了统计计算方便我们希望计算针对试验的条件期望，但这往往是不相等的。

$E[Y_i(1)] -E[Y_i(0)]\ne E[Y_i|T=1] -E[Y_i|T=0]$

这是因为等号右边衡量的是相关性（基于统计），上次讲解了由于存在confounding association，相关性无法推出因果性（等号左边）（回忆：相关性中包含causal association与confounding association）

随机试验 (RCTs)

根据以上分析，当存在confounding时，我们无法通过条件期望计算因果效应(ATE) 。假如不存在confounding（不存在confounding association），则可以计算因果效应。一种方案是没有额外因素来影响试验 T，也就是随机试验（treatment T 完全随机决定），

随机试验特点如下

试验完全由随机决定（T无causal parents）
此时treatment组和control组是可比的，因为其他因素在两个组分布均匀
此时可以通过条件期望计算因果效应
存在其他未观测confounding时，只要进行随机试验，就可以计算因果效应

no confounding： $E[Y_i(1)] -E[Y_i(0)] = E[Y_i|T=1] -E[Y_i|T=0]$

Observational studies

以上我们说明了，随机试验是计算因果效应的一种完美的方法。但现实生活中大量的数据，它们不是随机试验得到的，这些数据的生产来源大多也不是为了计算因果效应。我们如何从这些数据中推断因果，具有更大的意义。

虽然随机试验是计算因果效应的理想方案，但在现实世界中，随机试验可能由于种种原因是无法进行的，观测研究（Observational studies）就更加有价值了！

Ethical reasons：比如试验为吸烟，随机让人吸烟违反伦理
Infeasibility：目标为分析不同社会性质（社会主义、资本主义）对经济的效应，无法随机分配人的社会属性
Impossibility：研究DNA某些片段对癌症的效应（无法随机修改DNA）

因此，观测研究是十分必要的，但是观测研究中往往包含Confounding association，混淆了变量之间的相关性，那我们如何研究因果效应呢？

Solutions: adjust/control for confounders

因果推断的观测研究的直接问题就是存在confounders C，我们对其进行处理分析，进而进行因果推断。

C is sufficient adjustment set

$E[Y(t)|C=c]\equiv E[Y|do(T=t),C=c]=E[Y|t,c]$

当confounder是sufficient adjustment set时，我们根据上式可以发现，基于confounder作为条件时，计算等式最终是不包含因果变量的（统计量E[Y|t,c]），方便我们计算因果效应。能这样做的原因是我们基于confounder作为条件时，我们阻断了C->Y的因果路径。(相当于取某个C值时，组里C都是一样，结果差异不由confounder导致）

由于计算结果是基于confounder C的条件的，我们还需要margin out C来计算T的因果效应 $E[Y(t)]\equiv E[Y|do(T=t)]=E_wE[Y|t,C]$

backdoor adjustment

当存在多个confounders时，类似的阻断那些sufficient adjustment set confounders。目的就是把casual association分离出来！

Note：观察可以发现，confounder都是T和Y的因，所以我们需要去控制调节（condition on）它。遇到如下V型结构，我们不需要去控制它，细节以后再说。

例子

之前那个COVID-27例子，基于上述方法计算可得，在这个因果结构（存在confounder）下，Treatment B更好。

可以发现，我们之前提到的Simpson’s Paradox存在就是因为计算过程中Treatment和Control组中不同的严重程度（confounder）分配权重是不同的，所以导致两个组内confounder因素存在差异，导致不可比。根据上式计算可以发现，实验组和对照组中confounder的权重都是一样的，所以计算是合理的！