运用计算图搭建卷积神经网络（CNN）
- 2019 年 11 月 21 日
- 笔记
文章作者：张觉非 360
编辑整理：Hoh Xil
内容来源：作者授权
出品社区：DataFun
注：欢迎转载，转载请注明出处
“您否认这座由花与矿物构成的永恒的药房，专为治疗被称为人类的永恒的患者？！” “我既不否认药房，也不否认患者。我否认的是医生。” ——《巴黎圣母院》
干嘛引这么两句？众明公自行体味。由于加入了矩阵计算的算子，我们的计算图框架（ VectorSlow ）现在该改叫 MatrixSlow 了。也许哪一天我们会将它改进成 TensorSlow ，但总之 Slow 这个特性我们是不会放弃的。
在之前的文章中，我们介绍了计算图和自动求导的原理及实现（这里），用 MatrixSlow 搭建了一些可以被纳入“非全连接神经网络”范畴的若干模型（这里），还搭建了一些深度不一的多层全连接神经网络，并用动画展示了它们的训练过程（这里）。现在，我们用 MatrixSlow 搭建卷积神经网络（CNN）并用来识别 MNIST 。关于 CNN 的介绍，可见这里：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/25249694
作者对本文代码保留后续修改的权利，完整代码请见码云：
https://gitee.com/zhangjuefei/computing_graph_demo
▌1. 卷积
我们首先实现卷积算子，代码如下（node.py）：
https://gitee.com/zhangjuefei/computing_graph_demo/blob/master/node.py
class Convolve(Node): """ 以第二个父节点的值为卷积核，对第一个父节点的值做二维离散卷积 """ def __init__(self, *parents): assert len(parents) == 2 Node.__init__(self, *parents) self.padded = None def compute(self): data = self.parents[0].value # 输入特征图 kernel = self.parents[1].value # 卷积核 w, h = data.shape # 输入特征图的宽和高 kw, kh = kernel.shape # 卷积核尺寸 hkw, hkh = int(kw / 2), int(kh / 2) # 卷积核长宽的一半 # 补齐数据边缘 pw, ph = tuple(np.add(data.shape, np.multiply((hkw, hkh), 2))) self.padded = np.mat(np.zeros((pw, ph))) self.padded[hkw:hkw + w, hkh:hkh + h] = data self.value = np.mat(np.zeros((w, h))) # 二维离散卷积 for i in np.arange(hkw, hkw + w): for j in np.arange(hkh, hkh + h): self.value[i - hkw, j - hkh] = np.sum( np.multiply(self.padded[i - hkw:i - hkw + kw, j - hkh:j - hkh + kh], kernel)) def get_jacobi(self, parent): data = self.parents[0].value # 输入特征图 kernel = self.parents[1].value # 卷积核 w, h = data.shape # 输入特征图的宽和高 kw, kh = kernel.shape # 卷积核尺寸 hkw, hkh = int(kw / 2), int(kh / 2) # 卷积核长宽的一半 # 补齐数据边缘 pw, ph = tuple(np.add(data.shape, np.multiply((hkw, hkh), 2))) jacobi = [] mask = np.mat(np.zeros((pw, ph))) if parent is self.parents[0]: for i in np.arange(hkw, hkw + w): for j in np.arange(hkh, hkh + h): mask *= 0 mask[i - hkw:i - hkw + kw, j - hkh:j - hkh + kh] = kernel jacobi.append(mask[hkw:hkw+w, hkh:hkh+h].A1) elif parent is self.parents[1]: for i in np.arange(hkw, hkw + w): for j in np.arange(hkh, hkh + h): jacobi.append(self.padded[i - hkw:i - hkw + kw, j - hkh:j - hkh + kh].A1) else: raise Exception("You're not my father") return np.mat(jacobi)
Convolve 接受两个父节点：图像（或叫特征图）节点，它是一个二维矩阵；卷积核节点也是一个二维矩阵。Convolve 暂时不支持设置步幅（stride）和填充方式（padding），步幅一律为 1 ，使用补零填充。compute 以第二个父节点的值为滤波器，对第一个父节点的值做二维离散卷积（滤波）。get_jacobi 函数返回当前本节点对特征图或卷积核的雅克比矩阵。
▌2. 最大值池化
我们来实现最大值池化算子，代码如下（node.py）：
https://gitee.com/zhangjuefei/computing_graph_demo/blob/master/node.py
class MaxPooling(Node): """ 最大值池化 """ def __init__(self, parent, size, stride): Node.__init__(self, parent) assert isinstance(stride, tuple) and len(stride) == 2 self.stride = stride assert isinstance(size, tuple) and len(size) == 2 self.size = size self.flag = None def compute(self): data = self.parents[0].value # 输入特征图 w, h = data.shape # 输入特征图的宽和高 dim = w * h sw, sh = self.stride kw, kh = self.size # 池化核尺寸 hkw, hkh = int(kw / 2), int(kh / 2) # 池化核长宽的一半 result = [] flag = [] for i in np.arange(0, w, sw): row = [] for j in np.arange(0, h, sh): # 取池化窗口中的最大值 top, bottom = max(0, i - hkw), min(w, i + hkw + 1) left, right = max(0, j - hkh), min(h, j + hkh + 1) window = data[top:bottom, left:right] row.append( np.max(window) ) # 记录最大值在原特征图中的位置 pos = np.argmax(window) w_width = right - left offset_w, offset_h = top + pos // w_width, left + pos % w_width offset = offset_w * w + offset_h tmp = np.zeros(dim) tmp[offset] = 1 flag.append(tmp) result.append(row) self.flag = np.mat(flag) self.value = np.mat(result) def get_jacobi(self, parent): assert parent is self.parents[0] and self.jacobi is not None return self.flag
MaxPooling 节点接受 size 参数指定池化窗口（池化核）大小，它是一个包含宽和高的 tuple 。MaxPooling 节点还接受 stride 参数，它也是一个 tuple ，指定两个方向的步幅。compute 方法移动池化窗口，取窗口中的最大值，同时以标志位的形式记录下被取的最大值在原特征图点的位置，get_jacobi 就以这个标志位作为雅可比，具体见代码。
▌3. 辅助性节点
我们需要一个 reshape 算子改变数据的形状（将二维特征图转成一维向量，连接全连接层），代码如下（node.py）：
https://gitee.com/zhangjuefei/computing_graph_demo/blob/master/node.py
class Reshape(Node): """ 改变父节点的值（矩阵）的形状 """ def __init__(self, parent, shape): Node.__init__(self, parent) assert isinstance(shape, tuple) and len(shape) == 2 self.to_shape = shape def compute(self): self.value = self.parents[0].value.reshape(self.to_shape) def get_jacobi(self, parent): assert parent is self.parents[0] return np.mat(np.eye(self.dimension()))
卷积部分结束时，数据的形状是一组多个特征图。这时若要连接全连接层，需要将这些特征图展平并连接成一个向量。Flatten 节点肩负这个任务，代码如下（node.py）：
https://gitee.com/zhangjuefei/computing_graph_demo/blob/master/node.py
class Flatten(Node): """ 将多个父节点的值连接成向量 """ def compute(self): assert len(self.parents) > 0 # 将所有负矩阵展平并连接成一个向量 self.value = np.concatenate( [p.value.flatten() for p in self.parents], axis=1 ).T def get_jacobi(self, parent): assert parent in self.parents dimensions = [p.dimension() for p in self.parents] # 各个父节点的元素数量 pos = self.parents.index(parent) # 当前是第几个父节点 dimension = parent.dimension() # 当前父节点的元素数量 assert dimension == dimensions[pos] jacobi = np.mat(np.zeros((self.dimension(), dimension))) start_row = int(np.sum(dimensions[:pos])) jacobi[start_row:start_row + dimension, 0:dimension] = np.eye(dimension) return jacobi
▌4. 构造“层”的辅助函数
我们写几个构造 CNN 的“层”（layer）的函数，以方便网络的构建，代码如下（layer.py）：
https://gitee.com/zhangjuefei/computing_graph_demo/blob/master/layer.py
from node import * def conv(feature_maps, input_shape, kernels, kernel_shape, activation): """ :param feature_maps: 数组，包含多个输入特征图，它们应该是值为同形状的矩阵的节点 :param input_shape: tuple ，包含输入特征图的形状（宽和高） :param kernels: 整数，卷积层的卷积核数量 :param kernel_shape: tuple ，卷积核的形状（宽和高） :param activation: 激活函数类型 :return: 数组，包含多个输出特征图，它们是值为同形状的矩阵的节点 """ outputs = [] for i in range(kernels): channels = [] for fm in feature_maps: kernel = Variable(kernel_shape, init=True, trainable=True) conv = Convolve(fm, kernel) channels.append(conv) channles = Add(*channels) bias = Variable(input_shape, init=True, trainable=True) affine = Add(channles, bias) if activation == "ReLU": outputs.append(ReLU(affine)) elif activation == "Logistic": outputs.append(Logistic(affine)) else: outputs.append(affine) assert len(outputs) == kernels return outputs
conv 函数接受保存多个输入特征图（或者称作输入图像的多个通道）的数组、输入特征图的尺寸、卷积核数、卷积核尺寸、激活函数种类（"ReLU" 或 "Logistic" 以及未来会有的其他种类）。conv 的返回值也是一个数组，包含卷积层的多个输出特征图（通道），该数量与卷积核数量一致。
def pooling(feature_maps, kernel_shape, stride): """ :param feature_maps: 数组，包含多个输入特征图，它们应该是值为同形状的矩阵的节点 :param kernel_shape: tuple ，池化核（窗口）的形状（宽和高） :param stride: tuple ，包含横向和纵向步幅 :return: 数组，包含多个输出特征图，它们是值为同形状的矩阵的节点 """ outputs = [] for fm in feature_maps: outputs.append(MaxPooling(fm, size=kernel_shape, stride=stride)) return outputs
pooling 函数构造一个池化层（目前只支持最大值池化）。该函数接受保存多个输入特征图的数组、池化核（即池化窗口）尺寸、横向和纵向的步幅。pooling 函数返回一个数组，包含多个输出特征图。
def fc(input, input_size, size, activation): """ :param input: 输入向量 :param input_size: 输入向量的维度 :param size: 神经元个数，即输出个数（输出向量的维度） :param activation: 激活函数类型 :return: 输出向量 """ weights = Variable((size, input_size), init=True, trainable=True) bias = Variable((size, 1), init=True, trainable=True) affine = Add(MatMul(weights, input), bias) if activation == "ReLU": return ReLU(affine) elif activation == "Logistic": return Logistic(affine) else: return affine
fc 函数构造全连接层，接受输入数量（输入向量的维数），神经元个数（输出向量的维数）以及激活函数的种类。
▌5. 构造卷积神经网络
现在我们就可以搭建一个简单的卷积神经网络了，代码如下（test_cnn.py）：
https://gitee.com/zhangjuefei/computing_graph_demo/blob/master/test_cnn.py
from sklearn.metrics import accuracy_score from node import * from util import mnist from optimizer import * from layer import * print(__file__) train_x, train_y, test_x, test_y = mnist('./data/MNIST') test_x = test_x[:1000] test_y = test_y[:1000] # train_x = train_x[:10000] # train_y = train_y[:10000] img_shape = (28, 28) img = Variable(img_shape, init=False, trainable=False) # 占位符，28x28 的图像 conv1 = conv([img], img_shape, 6, (3, 3), "ReLU") # 第一卷积层 pooling1 = pooling(conv1, (3, 3), (2, 2)) # 第一池化层 conv2 = conv(pooling1, (14, 14), 6, (3, 3), "ReLU") # 第二卷积层 pooling2 = pooling(conv2, (3, 3), (2, 2)) # 第二池化层 fc1 = fc(Flatten(*pooling2), 294, 100, "ReLU") # 第一全连接层 logits = fc(fc1, 100, 10, "None") # 第二全连接层，无激活函数 # 分类概率 prob = SoftMax(logits) # 训练标签 label = Variable((10, 1), trainable=False) # 交叉熵损失 loss = CrossEntropyWithSoftMax(logits, label) # Adam 优化器 optimizer = Adam(default_graph, loss, 0.005, batch_size=64) # 训练 print("start training") for e in range(10): for i in range(len(train_x)): img.set_value(np.mat(train_x[i, :]).reshape(28, 28)) label.set_value(np.mat(train_y[i, :]).T) # 执行一步优化 optimizer.one_step() # 显示进度 loss.forward() percent = int((i + 1) / len(train_x) * 100) print("".join(["="] * percent) + "> loss:{:.3f} {:d}({:.0f}%)".format(loss.value[0, 0], i + 1, percent)) if i > 1 and (i + 1) % 5000 == 0: # 在测试集上评估模型正确率 probs = [] losses = [] for j in range(len(test_x)): img.set_value(np.mat(test_x[j, :]).reshape(28, 28)) label.set_value(np.mat(test_y[j, :]).T) # 前向传播计算概率 prob.forward() probs.append(prob.value.A1) # 计算损失值 loss.forward() losses.append(loss.value[0, 0]) # print("test instance: {:d}".format(j)) # 取概率最大的类别为预测类别 pred = np.argmax(np.array(probs), axis=1) truth = np.argmax(test_y, axis=1) accuracy = accuracy_score(truth, pred) default_graph.draw() print("epoch: {:d}, iter: {:d}, loss: {:.3f}, accuracy: {:.2f}%".format(e + 1, i + 1, np.mean(losses), accuracy * 100))
这个卷积神经网络包含两个卷积层，第一个卷积层有 6 个卷积核，第 2 个卷积层也有 6 个卷积核。卷积核的尺寸都是3X3。每个卷积层之后是一个 stride 为 2 的最大值池化层，它们将特征图尺寸缩小一半。经过第二个最大值池化层后，特征图尺寸成为 7X7=49。之后用 Flatten 算子将 6 个特征图展平成 294 维向量，后接全连接层。第一个全连接层的输出是 100 维向量，第二个全连接层输出 10 维向量，作为十分类的 logits 。接下来是损失值部分，然后是训练主循环。我们构造的 CNN 的计算图如下：
我们构造的 CNN
▌6. 训练 Sobel 滤波器
在两年前的博文《卷积神经网络简介》中，我们从可训练滤波器的角度引入 CNN 。那时我们举了一个例子：训练 Sobel 算子。我们用 （纵向）Sobel 算子对莱娜图做滤波，效果是强化原图中的纵向边缘。之后，以原图为输入，以 Sobel 算子滤出来的图为 target ，构造一个计算图，对输入施加 3X3 的滤波，输出与原图同尺寸的图像，以输出图像与 target 图像所有像素的误差平方和作为损失，将计算图的随机卷积核训练成 Sobel 滤波器，我们看代码（test_sobel.py）：
https://gitee.com/zhangjuefei/computing_graph_demo/blob/master/lost%20&%20found/test_sobel.py
import skimage, os import numpy as np from node import * from optimizer import * from scipy.ndimage.filters import convolve import matplotlib.pyplot as plt # Sobel 滤波器 filter = np.mat([ [1., 0., -1.], [2., 0., -2.], [1., 0., -1.]]) # 图像尺寸 w, h = 128, 128 # 搭建计算图 input_img = Variable((w, h), init=False, trainable=False) # 输入图像占位变量 target_img = Variable((w, h), init=False, trainable=False) # target 图像占位变量 kernel = Variable((3, 3), init=True, trainable=True) # 被训练的卷积核 # 对输入图像施加滤波 conv_img = Convolve(input_img, kernel) # 将输入图像和 target 图像展成向量 target_img_flat = Reshape(target_img, shape=(w * h, 1)) conv_img_flat = Reshape(conv_img, shape=(w * h, 1)) # 常数（矩阵）[[-1]] minus = Variable((1, 1), init=False, trainable=False) minus.set_value(np.mat(-1)) # 常数（矩阵）：图像总像素数的倒数 n = Variable((1, 1), init=False, trainable=False) n.set_value(np.mat(1.0 / (w * h))) # 损失值：输出图像与 target 图像的平均像素平方误差 loss = MatMul(Dot( Add(target_img_flat, MatMul(conv_img_flat, minus)), Add(target_img_flat, MatMul(conv_img_flat, minus)) ), n) # RMSProp 优化器 optimizer = Adam(default_graph, loss, 0.06, batch_size=1) # 读取 lena 图，将 rgb 图像转成单通道灰度图，并 resize 成指定大小 img = skimage.transform.resize( skimage.color.rgb2gray( skimage.io.imread("lena.png") ), (w, h) ) # 制作目标图像：对原图像施加 Sobel 滤波器 sobel = np.mat([[1,0,-1],[2,0,-2],[1,0,-1]]) target = np.zeros((w, h)) convolve(input=img, output=target, weights=filter, mode="constant", cval=0.0) # 保存原图和经过 Sobel 滤波的图像 skimage.io.imsave("origin.png", np.minimum(np.maximum(img, 0.0), 1.0)) skimage.io.imsave("target.png", np.minimum(np.maximum(target, 0.0), 1.0)) # 以原图为输入，以经过 Sobel 滤波的图像为 target input_img.set_value(np.mat(img)) target_img.set_value(np.mat(target)) i = 0 for e in range(1000): # 一次迭代 optimizer.one_step() # 计算损失值 loss.forward() print("pic:{:s}，loss:{:.6f}".format(p, loss.value[0, 0])) # 保存当前卷积核对输入图像做滤波的结果 fname = "{:d}.png".format(i) if os.path.exists(fname): os.remove(fname) skimage.io.imsave(fname, np.minimum(np.maximum(conv_img.value, 0.0), 1.0)) i += 1
迭代进行到 302 次时，损失值已经不怎么下降了，我们手动终止了进程。看看每次迭代输出的图像与 target 图像：
输出图像与 target 图像的比较
可见，输出图像已经很接近 Sobel 滤波的 target 图像了。这时，被训练的 kernel 节点的值是：
被训练的卷积核节点（kernel）的值
卷积核已经被训练得比较接近 Sobel 算子了。
作者介绍
张觉非，本科毕业于复旦大学，硕士毕业于中国科学院大学，先后任职于新浪微博、阿里，目前就职于奇虎360，任机器学习技术专家。
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