高等數學——講透求極限兩大技巧，夾逼法與換元法
- 2020 年 3 月 5 日
- 筆記
今天的文章聊聊高等數學當中的極限，我們跳過極限定義以及一些常用極限計算的部分。我想對於一些比較常用的函數以及數列的極限，大家應該都非常熟悉。
大部分比較簡單的函數或者數列，我們可以很直觀地看出來它們的極限。比如
，當n趨向於無窮大的時候，
的極限是0，再比如當n趨向於無窮大的時候，
的極限也是無窮大，等等。
但是對於一些相對比較複雜的函數，我們一時之間可能很難直觀地看出極限，因此需要比較方便計算極限的方法，今天的文章介紹的正式這樣的方法——夾逼法和換元法。
夾逼法在數學領域其實非常常用，在中學的競賽當中經常出現。夾逼法的原理非常簡單，對於某一個函數f(x)，我們知道它的表達式，但是很難確定它的範圍。我們可以先找到另外兩個範圍比較容易確定的函數g(x)和h(x)，然後證明:
，通過h(x)和g(x)的範圍來夾逼f(x)的範圍。
說白了，就是直接求解不方便的函數，我們通過用其他容易計算的函數來替代的方法來間接求解，類似於「曲線救國」。
明白了夾逼法的概念之後，我們再來看一下它在數列極限當中的應用。
假設當下存在數列
我們需要確定它的極限，我們找到了另外兩個數列
和
。如果它們滿足以下兩個條件：
那麼，數列
的極限存在，並且
。從直覺上來看，上面的式子應該非常直觀，但是我們還是試着從數學的角度來證明一下，順便回顧一下極限的定義。
證明過程如下：
根據極限的定義，對於數列
而言，對於任意ϵ都存在
，使得對於任意：
，都有
。那麼就稱數列
的極限是a。
由於數列
的極限是a，所以存在
使得
時，
。同理，存在
使得
時，
。那麼對於
顯然應該有：
並且
。
我們將絕對值展開，可以得到：
根據極限的定義，顯然可以得到數列
的極限也是a。
我們利用這個方法來看一個書上的例子：
我們都知道當x趨向於0的時候，x和sinx都趨向於0，但是
的極限是多少呢？如果猜測一下，兩個無窮趨向於0的極限的比值應該是1才對，但是這個只是我們的直觀猜測，想要嚴格證明，還需要使用數學方法。
這個證明就用到了我們剛才說的夾逼法，並且非常巧妙，讓我們來看一張下面這張圖。
我們假設夾角∠AOB=x，這裡採用弧度制。我們令圓心OB的長度等於1，那麼BC=sinx，OC=cosx，AD=tanx。我們下面要用這張圖裡的三角形面積關係，顯然：
的面積等於
，
的面積等於
。
這兩個都很容易得出，直接套用三角形面積公式即可。扇形的面積看起來麻煩一些，但其實也很簡單，在幾何當中，扇形可以看成是特殊的三角形。我們把弧長看成是底面，半徑可以看成是高，那麼扇形的面積等於
*弧長*半徑。所以扇形AOB的面積等於
。
我們列出來，可以得到：
即：
其中
，所以我們可以不等號兩邊同時除以sinx，得到：
由於當x趨向於0的時候sinx,cosx都大於0，所以我們可以對不等式互換分子分母，得到：
到這裡已經結束了，因為我們根據餘弦的函數圖像可以很容易看出來，當x趨向於0的時候，cosx趨向於1.但為了嚴謹起見，我們當做不知道這點，繼續用數學的方法證明：
我們來計算當x趨向於0的時候，1−cosx的取值範圍，當x趨向於0的時候cosx<1，所以1−cosx>0。我們再對1−cosx變形，這裡要引入三角函數當中的和差化積公式：
由於cos0=1，帶入和差化積可以得到：
我們之前通過面積表示的方法已經證明了當x趨向於0的時候sinx<x，所以
。當x趨向於0的時候，顯然
也趨向於0，所以我們可以證明
的極限是1。
我們接着來看換元法，在書里被稱為複合函數的極限運算法則。假設我們有y=f[g(x)]，我們令u=g(x)。如果
，
，並且在x趨向於x0時，有g(x)≠u0，那麼：
我們使用極限的定義同樣可以很方便地證明它的正確性，這裡就不證明了，感興趣的同學可以試着證明一下。
了解了符合函數的極限運算法則之後，我們再來看一個例子鞏固一下。
和上面的例子類似，我們這次求一下:
。
和上面那題一樣，我們先使用和差化積對極限的分子進行變換，可以得到：
我們令
，那麼這個極限就可以轉化成複合函數極限了。
，
。因為當x趨向於0的時候，u也趨向於0，當u趨向於0的時候，
趨向於1，所以最終的極限就是1。
通過夾逼法和換元法，我們可以很方便地求解一些看起來比較棘手的極限。這也是我們求極限的過程當中使用非常頻繁的方法。
原本周四應該是概率統計專題，但是在我寫文章的過程當中我發現其中涉及到了高等數學當中大量的知識。我想不僅沒有相關知識儲備的讀者讀起來困難，我自己在寫的過程當中也會遇到一些生疏的知識點。強行囫圇吞棗效果並不好，並且有同學反映在一些模型的推導當中也用到高數的積分和求導的知識。所以決定將概率和統計相關內容延後，周四專題改成高數。
原創不易，希望我的文章可以給你帶來收穫。喜歡的話，請順手點個在看或者轉發吧，你們的支持是我最大的動力。
參考資料 同濟大學《高等數學》第六版 程序員的數學
