隨機函數變換示例
隨機函數變換示例
作者：Grey
原文地址:隨機函數變換示例
說明
本示例中基於 Java ，其他語言也有類似的 API
解決的問題
問題1
Java 中
Math.random()函數是等概率返回區間[0,1)中的任意一個小數。
即x < 1情況下，[0,x)中的數出現的的概率是x，
如果我們要將
x < 1情況下，[0,x)中的數出現的的概率調整成x^2，應該如何做？
問題1思路
由於[0,x)的概率是x，那麼調用兩次Math.random()，如果較大的那個值也要在[0,x)區間內，那麼兩次調用都必須在[0,x)區間內（因為任意一次在[x,1)都會導致返回值不在[0,x)上），即概率是x^2，代碼如下
package snippet;
public class Code_0004_RandToPow2 {
// 將`[0,x)`中的數出現的的概率調整成`x^2`
public static double randToPow2() {
return Math.max(Math.random(), Math.random());
}
}
我們可以通過如下測試代碼來驗證問題1的解法：
package snippet;
public class Code_0004_RandToPow2 {
// 將`[0,x)`中的數出現的的概率調整成`x^2`
public static double randToPow2() {
return Math.max(Math.random(), Math.random());
}
// 測試用例
public static void main(String[] args) {
int count = 0;
int testTimes = 10000000;
double x = 0.17;
for (int i = 0; i < testTimes; i++) {
if (randToPow2() < x) {
count++;
}
}
System.out.println((double) count / (double) testTimes);
System.out.println(Math.pow(x, 2));
}
}
打印的結果如下
0.0288603
0.028900000000000006
接近目標要求。
問題2
假設我們有一個隨機函數
f()，這個函數可以等概率返回[1,5]中的一個數，如何只利用f()函數而不引入其他隨機函數，得到一個等概率返回[1,7]中任意一個數的函數g()。
思路
由於目標是求[1,7]等概率返回一個，如果我們能加工得到一個x()函數，這個函數是等概率返回[0,6]範圍內的任意一個數，那麼目標函數g()只需要調用這個x()函數再加上1，即是g()函數要求
public static int g() {
return x() + 1;
}
要得到[0,6]等概率返回一個數，我們需要先得到一個0和1等概率返回的隨機函數m()，我們可以通過f()函數來得到，即
// 通過[0,5]等概率返回的隨機函數f()
// 加工出等概率得到0和1
// 1,2,3,4,5 五個數
// 得到1，2的時候，返回0
// 得到4，5的時候，返回1
// 得到3的時候，棄而不用，再次嘗試
public static int m() {
int ans = 0;
do {
ans = f();
} while (ans == 3);
return ans < 3 ? 0 : 1;
}
有了等概率返回 0 和 1 的隨機函數 m()， 我們可以很方便的生成[0,6]隨機等概率返回一個數的方法，因為[0,6]需要三個二進制數表示，那麼我們可以調用三次m()函數，可以等概率得到[0,7]範圍內任意一個數，我們可以在得到 7 的時候，重試上述過程，只有結果在[0,6]才返回，這樣就加工出了x()函數。
// 等概率返回0~6
public static int x() {
int ans = 0;
do {
ans = (m() << 2) + (m() << 1) + m();
} while (ans == 7);
return ans;
}
最後，目標函數f()通過如下方式
// 等概率返回1~7
public static int g() {
return x() + 1;
}
即可得到。完整代碼如下
package snippet;
public class Code_0005_Rand5ToRand7 {
// 此函數只能用，不能修改
// 等概率返回1~5
public static int f() {
return (int) (Math.random() * 5) + 1;
}
// 通過[0,5]等概率返回的隨機函數f()
// 加工出等概率得到0和1
// 1,2,3,4,5 五個數
// 得到1，2的時候，返回0
// 得到4，5的時候，返回1
// 得到3的時候，棄而不用，再次嘗試
public static int m() {
int ans = 0;
do {
ans = f();
} while (ans == 3);
return ans < 3 ? 0 : 1;
}
// 等概率返回0~6
public static int x() {
int ans = 0;
do {
ans = (m() << 2) + (m() << 1) + m();
} while (ans == 7);
return ans;
}
// 等概率返回1~7
public static int g() {
return x() + 1;
}
}
問題3
見：LeetCode 470. Implement Rand10() Using Rand7()
和問題2思路一致，核心都是要先實現一個等概率返回 0 和 1 的隨機函數m()。，然後看目標函數區間需要幾個二進制位，來決定調用幾次m()函數，不贅述，完整代碼見
/**
* The rand7() API is already defined in the parent class SolBase.
* public int rand7();
* @return a random integer in the range 1 to 7
*/
class Solution extends SolBase {
public int rand10() {
return rand(10);
}
public int rand(int N) {
int bit = 1;
int base = 2;
while (base <= N) {
base = 2 << bit;
bit++;
}
int v = build(bit);
while (v < 1 || v > N) {
v = build(bit);
}
return v;
}
private int build(int bit) {
int v = 0;
for (int i = 0; i < bit; i++) {
v += (m() << i);
}
return v;
}
// 核心：生成 0 和 1 等概率返回的隨機函數
public int m() {
int i = rand7();
while (i == 7) {
i = rand7();
}
return (i == 1 || i == 2 || i == 3) ? 0 : 1;
}
}
問題4
有一個函數f()，不等概率（但是是固定概率）返回0和1，如何只通過f()函數，得到等概率返回 0 和 1 的隨機函數g()，
思路，
調用兩次f()函數，可以得到如下情況
0 0
1 1
0 1
1 0
當兩次都是0，或者兩次都是1的時候，捨棄，雖然 0 和 1 的概率不一樣，但是
0 1
1 0
概率一定一樣
所以得到 0 1就返回 0 ，得到 1 0就返回1，即g()函數
完整代碼如下
package snippet;
// 不等概率隨機函數變成等概率隨機函數
public class Code_0005_EqualProbabilityRandom {
// 不等概率函數，
// 內部內容不可見
public static int f() {
return Math.random() < 0.8 ? 0 : 1;
}
// 等概率返回0和1
public static int g() {
int first;
do {
first = f(); // 0 1
} while (first == f());
return first;
}
}
