離散時間傅立葉變換（DTFT）
離散時間傅里葉變換 (DTFT) 是傅里葉變換的進一步發展。然而，傅立葉變換將時間視為連續的，而離散時間傅立葉變換，顧名思義，將時間視為單個時刻的離散列表。但是為什麼我們需要 DTFT？傅立葉變換在告訴我們日常非重複信號中存在的頻率方面不是已經做了一件令人欽佩的工作嗎？DTFT 有什麼特別之處，它是如何工作的？
傅立葉變換的問題在於它包含太多的無窮大而無法實際使用，其固有的無窮大共有三個
- 無限積分——信號被整合在整個的時間
- 連續頻率——信號由無數個相鄰頻率組成
- 連續時間信號——信號在每個時刻都包含一個值，即一個無限的時刻數量
變換公式
離散時間傅立葉變換並沒有擺脫無窮大 1 和 2，但它確實消除了無窮大 3。下面比較一下比較傅立葉變換和離散時間傅立葉變換的公式
復指數，傅立葉變換和 DTFT 都將信號乘以復指數，但我們用來表示時間的符號略有不同。
連續時間t被DTFT的n代替> 這裡的復指數意思可參看如下歐拉公式，將信號乘以復指數時，首先將其乘以餘弦波，然後乘以正弦波。虛數i 只是為了確保我們將兩組結果分開。
離散時間極大地減少了記錄信號所需的無數次測量。不是在每個時間點都測量信號，而是在其持續時間內僅測量信號有限的次數
連續時間信號x(t)
離散時間信號x(n)，n是負無窮到正無窮的整數### 案例：
為了嘗試了解 DTFT 的工作原理，對給定離散時間信號執行 DTFT。由於 DTFT 中還有一些無窮大，這裡做一些簡化
DTFT 要求測試無數個頻率。資源有限，只測試一個頻率：10Hz。
DTFT 在整個時間段內查看信號。資源有限，我使用的信號除下圖中包含的短時間外，其他所有時間都為零。
通過DTFT來解答三個關於信號的問題。
信號中是否存在 10Hz 的正弦波？
它對信號的貢獻有多大？（它的幅值是多少？）
它什麼時候出現在信號中？（它的相位是什麼？）
首先，給定一個連續信號x(t)
然後通過採樣離散化x(n)
繪製一個離散的10赫茲的離散餘弦信號（綠色虛線）
用10赫茲的離散餘弦信號與之前構建原始離散信號相乘得到如下結果：
將所有相乘的結果相加，得到離散時間傅里葉變換的結果為16.04，不為零，證明信號包含 10Hz 的餘弦波。
下一階段將對對正弦波做同樣相乘，再累加得到的結果是-27.79，這也不是零，這意味着在該頻率處也存在正弦分量。同時這個特定頻率具有相移。
### 計算上面提到三個問題的結果
該信號包含10Hz的餘弦和正弦分量。餘弦分量的幅值為 16.04，正弦分量的幅值為 -27.79。因此，信號確實包含頻率為 10Hz 的正弦波。知道正弦和餘弦的貢獻再利用勾股定理，很容易得到10Hz總貢獻32.09
另外要找到相位P, 對實數執行反正切
因此，DTFT 為我的問題提供了以下答案：
信號中確實存在 10Hz 的正弦波
它的幅值為 32.09
相位為-60°
頻率周期
在實際運用傅立葉變換算法時，我們經常在頻譜圖上觀察到對稱/或周期的波峰，例如上面的信號的頻譜圖
信號包含一組大約 10Hz 的頻率，這是信號中的主要頻率。然而，在190、210Hz處也存在頻率，如果我們在時域中再次查看信號，我們可以看到的最高頻率波是 10Hz 的波。但這些更高的「鬼」頻率從何而來？
在信號上放置一個 10Hz 餘弦波，與原始信號匹配非常好然後再放大看190hz的頻率與原始信號
看看離散時間信號的點確實完美地落在190Hz餘弦波上。因此該頻率的得分將不為零，DTFT 會認為該頻率存在於信號中因此，即使我們在時域中有非重複信號，使用 DTFT，我們也會在頻域中獲得重複頻譜。頻譜將每時每刻重複R赫茲，其中R就是採樣率，換句話說，是每秒進行的測量次數。我以 200 個樣本/秒的速度對這個信號進行採樣。因此頻譜自身重複的速率是 200Hz。（注意採樣頻率：每個點的時間間隔是0.005秒，1/0.005=200）
綜上所述
因此，DTFT 已經在某種程度上將傅立葉變換變成了實用工具。然而，還有兩個無窮大需要擺脫。
無限積分—— 信號在整個時間內積分
連續頻率——信號由無數個相鄰頻率組成
