高數第二章——導數與微分總結
即將小考，趁機總結一波
第一節 導數的概念
一、導數的定義
我對導數的理解是，導數是對一個函數從平均變化率到瞬時變化率的一個逼近，蘊含著極限的思想。
①三種算法（單側導數同理）
-
\(\lim\limits_{x\to x_0} \frac { f(x) – f(x_0) }{ x – x_0 }\)
常用於證明f(x)在某一點可導，或者用於求f(x)在某一點的導數值（可能對f(x)無法直接求導） -
\(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac {\Delta y} {\Delta x}\)
常用於抽象函數 -
\(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)}{\Delta x}\)或\(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x) – f(x)}{\Delta x}\)
定義法求某個函數的導函數（x看作是常數）
注意點
- \({\Delta x}\)可以替換成一個函數，但要保證它也能趨於0，並且不受限制（比如不能是正無窮趨於\({0^+}\))，還要和分母完全一樣。
- 在沒有特殊說明的情況下，分母必須含有\({f(x_0)}\)這一項，以防止\({f(x)}\)在\({x_0}\)處不連續。
- |x|在零點處不可導，但是|x|x在零點處可導。(好像還有個)
一個比較奇特的導數：\({\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(0 – x) – f ( 0 )}{0-x}}\) = \({\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(- x) – f ( 0 )}{-x}}\) = \({f'(0)}\)
詳見習題總2.3
p.s. 在某點處的導數存在的充要條件是該點的左右導數存在且相等。
反之任一左右導數不存在或者它們不相等則函數在該點處導數不存在。
② 幾何意義
某一點的導數即函數在該點處的切線的斜率。
導數存在是切線存在的充分不必要條件。
③可導與連續
連續是可導的必要不充分條件。
反之若函數在某點處不連續，則函數在這一點不可導。
證明：利用極限與無窮小的關係
p.s 一個有意思的例子：\({y =\sqrt{ x ^ 2} }\)，為什麼不直接寫\({\mid x \mid}\)呢，因為要說明絕對值函數是由\({\sqrt{x}}\)和\({x^2}\)兩個基本初等函數複合而成的初等函數，進而說明它在\({x=0}\)處連續。
④一些概念
導數存在：導數能求出來
導數不存在：在這點不連續或導數趨於無窮大
\({\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}}\)
二、導數的求導法則
①四則運算
證明： 利用\(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x) – f(x)}{\Delta x}\)，乘除法還要利用插項構造出\({f'(x)}\)和\({g'(x)}\)，同時用到了「可導必連續——\({\lim\limits_{\Delta x \to 0}{f(x + \Delta x) = f(x)} }\)」
記住每次求導前一定要先化簡，不要盲目四則運算
②反函數的求導法則
證明：較複雜，多看書
結論：反函數的導數，等於直接函數導數的倒數
注意最後的結果y要換成x
p.s. 帶有「正」的三角函數，倒數都為正，「余」則都為負。
③複合函數的求導法則
證明：非常複雜，多看書
結論：\({\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}}\)（鏈式法則）
p.s.
- 注意區分，先換再導：\(f(g(x))’\)、先導再換：\(f'(g(x))\)
- \(\frac{d}{dx}\)是導數算子，表示對x求導
- 難題：習題2-3 T4-T7
④高階導數
- \(y” = (y’)’ = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}y’= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d^2} y}{\mathrm{d} x^2}\)\(其中{dx^2} 相當於 (dx)^2 但和 d(x^2)完全不一樣\)
- 常用的幾個高階導要牢記，三角函數和冪函數
- 加減的函數的高階導等於函數的高階導的加減
- 乘法，萊布尼茨公式，和二項式定理形式十分對稱。一般兩個函數相乘，其中可能有一個冪函數，經過若干次求導導數會變為0，或者是一個有規律的導數，可以把它們放在前頭。
- 儘管有萊布尼茨公式，在求n階導時還是要盡量化簡，並且把乘法轉換為加減法（如裂項，積化和差…）（如總 2.10（2））
⑤隱函數
左右求導，考察的感覺還是複合函數的求導。可能有時要求二階導，做法也一樣。
另外也可以左右微分，利用一階微分形式不變性
⑥由參數方程確定的函數
\({\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}} = {\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}/{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}\)，優美！
需要注意的是，參數方程也有可能是一個隱函數方程，就用隱函數那套求\(x’或y’\)就好，最後的結果可以包含\(y\)。
相關變化率
目的是研究兩個存在一定關係的變量，通過其中一個變量的變化率求出另外一個變量的變化率。
針對實際問題，關鍵是利用題目條件列出方程，綜合利用複合函數求導，隱函數和參數方程等思想求解。我感覺剛開始挺難的，得多練幾道題才行。
三、微分
研究對象：函數值的增量\(\Delta y\)
\]
可以證明，\(dy \sim\Delta y\),因此說\(dy是\Delta y 的最佳近似\)
思想——局部線性化：用一個線性函數在局部代替非線性函數；用切線段在局部代替曲線段
可微是可導的充要條件
若\(dy = g(u)du則f'(u) = g(u)\)
複合函數的微分法則
無論u是自變量還是中間變量，微分形式\(dy = f'(u) du\)保持不變。
可以用來一層一層地求複合函數的微分。
函數的近似
- \(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)\approx dy = f'(x_0)\Delta x\)
常用以估算函數值的差 - \(f(x_0 + \Delta x) \approx f'(x_0)\Delta x + f(x_0)\)
- \(f(x) \approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\)—幾何意義：f（x)在x0處的切線
常用以估計函數值，令\(x_0=0\)有，\(f(x) \approx f(0)+f'(0)(x)\)
後記
這篇文章目的就是總結記錄一些常用的知識點，並記下自己學習過程中的體驗和筆記。在下水平有限，如有錯誤以及疏漏，煩請各位看官批評指出。
另外感覺寫到後面越寫越拉了，都是一些人盡皆知的東西，似乎隨着時間的推移只剩下一些書上簡單的東西，缺乏自己的思考，感悟和總結。
希望日後學習一個小節之後，及時刷題並將課堂筆記、知識點與思考記錄下來。
