線性差分方程解法
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前言
本文將介紹一、二階線性差分方程的常見形式和基本解法。
一、差分方程的解
1.定義
若把一個函數\(y_t=f(t)\)代入差分方程中，使其成為恆等式，則稱\(y_t=f(t)\)為差分方程的解。
2.特解與通解
通解：含有任意常數的個數與差分方程的階數一致的解。
特解：給任意常數以確定值的解。
3.初始條件
用以確定通解中任意常數的條件稱為初始條件。
一階差分方程有一個初始條件\(y_0=a_0\)，二階有兩個，以此類推。
二、基本定理
以二階差分方程為例，其它階同理。
1.一般形式
\]
其中\(a(t),b(t),f(t)\)均為\(t\)的已知函數且\(b(t)\neq0\)
2.定理一
若\(y_1(t),y_2(t)\)是二階齊次線性差分方程的解，則\(C_1y_1(t)+C_2y_2(t)\)也是該二階齊次方程的解，其中\(C_1,C_2\)是任意常數。
3.定理二
若\(y_1(t),y_2(t)\)是二階齊次線性差分方程的線性無關特解，則
\]
是該方程的通解，其中\(C_1,C_2\)是任意常數。
3.定理三
若\(y^*(t)\)是二階非齊次線性差分方程的特解，\(y_C(t)\)是對應齊次線性差分方程的通解，則非齊次線性差分方程的通解為
\]
4.定理四
若函數\(y_1^*(t),y_2^*(t)\)分別是二階非齊次線性差分方程:
y_{t+2}+a(t)y_{t+1}+b(t)y_t=f_2(t)
\]
則 \(y_1^*(t)+y_2^*(t)\)是二階非齊次線性差分方程
\]
三、一階線性差分方程
1.齊次
(1)一般形式
\]
(2)解法
很明顯，這是個等比數列，所以容易得出一個特解
\]
通解為
\]
這裡再引入特徵方程的概念，以便解決更高階的問題。
對於一階齊次/非齊次方程，稱一次代數式
\]
為差分方程的特徵方程；特徵方程的根為特徵值或特徵根。
2.非齊次
情形一
\]
其中\(P_m(t)\)是形如
\]
的\(m\)次多項式，
\]
是已知常數。
（1）\(\rho\)不是特徵根
特定解的形式為
\]
這裡的\(Q_m(t)\)是係數待定的\(m\)次多項式，將其帶入差分方程中可解得特解。
由定理三可解出非齊次方程的通解。
（2）\(\rho\)是特徵根
特定解的形式為
\]
同理
情形二
\]
令
\]
（1）\(\delta\)不是特徵根
待定特解形式為
\]
（1）\(\delta\)是特徵根
待定特解形式為
\]
四、二階線性差分方程
1.齊次
(1)一般形式
\]
(2)解法
特徵方程有相異實根\(\lambda_1,\lambda_2\)，通解為
\]
特徵方程有同根\(\lambda_1,\lambda_2\)，易知\(\lambda_1=\lambda_2=-\frac{a}{2}\)，有一個特解\((-\frac{a}{2})^t\)，通過驗證可知\(t(-\frac{a}{2})^t\)也是一個解，於是通解為
\]
特徵方程有共軛副根\(\alpha\pm i\beta\)，\(\alpha=-\frac{2}{a},\beta=\sqrt{b-\frac{a^2}{4}}\)，則有兩個特解
y_2(t)=r^tsin\omega t\\
r=\sqrt b\\
tan\omega=-\frac{1}{a}\sqrt{4b-a^2},\omega \in(0,\pi)
\]
通解為
\]
2.非齊次
與一階同理
