SCIP:構造過程抽象–面向對象的解釋

• 2021 年 4 月 8 日
• 筆記
• Python, 讀書筆記

心智的活動，除了儘力產生各種簡單的認知之外，主要表現為如下三個方面：(1)將若干簡單認知組合為一個複合的認識，由此產出各種複雜的認知。(2)將兩個認知放在一起對照，不管他們如何簡單或者複雜，在這樣做時，並不能將他們合而為一。由此得到有關他們的相互關係的認知。(3)將有關認識與那些在實際中和它們同在的所有其他認識隔離開，這就是抽象。

所有普遍的認識都是這樣得到的。
–John Locke 有關人類理解的隨筆，1960

本文為SICP的一些筆記，用於記錄一些對計算機程序不同的看法，旨在通過數學計算的思路入門程序設計。SCIP是一本關於計算過程的書，計算過程關心數據的操作，創建程序的目的也是為了數據的處理，表現在代碼中便是符號表達式的精心編排，計算過程精密而準確地執行相應程序，初學程序設計的人們就像巫師的徒弟們，學習如何理解和預測咒語的效果，學習並驗證結果，不過，學習程序的危險性遠遠小於巫術。SICP中所有的代碼實踐為scheme(scheme為Lisp的某個版本，Lisp仍是AI領域中擁有理論上最高演算能力的語言)，執行過程為解釋器的代碼交互過程，依據同樣的解釋器運行程序原理，也可以用python實現書上的練習題。

程序設計的基本元素

每一種編程語言都有三種機制：

1. 基本的表達形式
2. 組合的方法
3. 抽象的方法

基本表達式為程序語言所關心的最簡單的個體，而組合的方法即組合這些簡單的個體成為複雜的元素。再將複雜的元素進行抽象，便可得到一個單元，單元也可以作為一個簡單的個體繼續組合，層層遞進便組成了完整的程序，這也是為什麼許多書中一定會提到遞歸。

在程序中，有兩類基本要素：過程和數據，數據為用戶希望操作的「東西」，而過程就是有關操作這些規則的描述，任何強有力程序設計語言必須表述基本的數據和基本過程，還需提供對過程和數據進行組合和抽象的方法。

表達式

最簡單的程序入門，觀看代碼與解釋器交互，假設鍵盤輸入了一個表達式，解釋器將表達式的求值結果顯示出來，最基本的表達式就是數，例如，給一個數486:

mt@mt-P243:~$ python
Python 2.7.17 (default) 
[GCC 7.5.0] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> 486
486

將表示數的表達式組合起來，形成複合表達式

Python 2.7.17 (default) 
[GCC 7.5.0] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> 1000-7
993
>>> 993-7
986
>>> (3*((2*4)+(3+5)))+((10-7)+6)
57

對於複雜的算術式，解釋其也按照基本循環進行操作，讀入-求值-打印

命名和環境

通過給數據命名，通過使用名字進行運算，將名稱標識符稱為變量，將數據存到變量中。解決好命名問題，程序就完成一大半，最基本的表達式為變量賦值,此時數據到變量的過程也是一種抽象：

>>> size = 2
>>> size
2

組合

評估組合的過程有兩步：

1. 評估子過程
2. 將表達式的值應用到新的過程
   例如：

>>> (3*((2*4)+(3+5)))

可用樹結構

過程的組合

1. 數字和算術運算是原始數據和過程。
2. 組合嵌套提供了一種組合操作的方法。
3. 將名稱與值相關聯的定義提供了有限的限制抽象手段

a = (3*((2*4)+(3+5)))+((10-7)+6)

實例：採用牛頓法求平方根

計算步驟：

如果不限制條件，計算將一直進行下去，所以為了設計程序來計算平方根考慮計算步驟

1)先猜值

2)計算商

3)計算平均值作為下一輪的猜值

如果不加停止條件，那麼將會一直計算下去，觀察計算結果可以發現猜測值、商還有平均值越來越接近，如果約定一個誤差範圍，就可作為計算的停止條件(good_enough)。

1)猜值的終止條件

def square(x):
    return x*x

def good_enough(guess,x):
    if abs(square(guess)-square(x))<0.001:
        return True
    else:
        return False

2)和3)計算平均，作為下一輪猜值的起始，如果結果很好，立即結束，否則繼續猜，迭代過程可寫為

def improve_guess(guess,x):
   return  (x/guess + guess)/2

def sqrt_iter(guess,x):
    print(guess,x)
    if good_enough(guess,improve_guess(guess,x)):
        print('guess:'+str(guess))
        return guess
    else:
        return sqrt_iter(improve_guess(guess,x),x)

程序可寫為

def sqrt(x):
    return sqrt_iter(1.0,x)

程序分解[原問題到子問題的分解]：

「使用許多基本的算術操作，對操作進行組合，通過定義各種複合過程，然後對複合過程進行抽象」

線性迭代和遞歸

考慮階乘

與牛頓法求平方根一樣的思路，為了計算第n次迭代，需要考慮n-1次的結果，階乘可寫為

那麼就知道兩種情況的編碼思路：

1. 第1次 n為1

2)第n次 到 (n-1) 的迭代

def factorial1(n):
    if n==1:
        return 1
    else:
        return n* factorial(n-1)

用另一種觀點看待問題，1*2然後將結果 *3，再次 *4，直到 n，那麼利用一個計數器counter 即可寫成如下迭代：

def fact_iter(product, counter, max_count):
    if counter>max_count:
        return product
    else:
        return fact_iter(counter*product, counter+1, max_count)
    
def factorial2(n):
    return fact_iter(1,1,n)
    

factorial1採用了先展開後計算的思路，而factorial2採用了先計算後展開的思路，factorial1稱為遞歸計算過程(表達式越寫越長)，而factorial2計算過程中表達式未發生改變，factorial2多了一個變量用於保存中間的結果，這種迭代過程有時也和計算理論中提到的狀態變量類似，計算過程即狀態轉換的過程，同時還有一個(可能有)的停機過程。

最大公約數

兩個整數的最大公約數(GCD)定義為能除盡這兩個數的最大整數，算法基於以下觀察：如果r是a除以b的餘數，那麼a和b的公約數正好是b和r的公約數：

此時，一個GCD的計算問題連續地歸約到越來越小的整數對，例如

def remainder(a,b):
    return a%b
def gcd(a,b):
    if b==0:
        return a
    else:
        return gcd(b, remainder(a,b))

用高階函數做抽象

上述的過程也就是一類抽象，描述了一些對於數的符合操作，但是同時又不依賴於特定的數–將數作為參數傳入函數。人們對功能強大的程序設計語言有一個必然要求，就是能為公共模式命名，建立抽象，而後直接在抽象的層次上工作。

過程作為參數，

(1)計算從a到b的各個整數之和：

def sum_integers(a,b):
    if a > b:
        return 0
    else:
        return a + sum_integers(a+1,b)
    

(2)計算從a到b的各個整數立方和：

def sum_cubes(a,b):
    if a > b:
        return 0
    else:
        return cube(a) + sum_cubes(a+1,b)

(3)計算下面的序列之和：

def pi_sum(a,b):
    if a > b:
        return 0
    else:
        return 1/(a*(a+2)) + pi_sum(a+4,b)

明顯看出，三個過程共享着一種公共的基礎模式：從a算出需要加的項的函數，還有用於提供下一個a值的函數，可以通過一個模板描述

def sum_term(term, a, next, b):
    if a>b:
        return 0
    else:
        return term(a)+sum_term(term, next(a), next, b)

而計算立方和時，term(a)為cube(a),next(a)為下一項，根據這個過程，可以改寫上述(1)~(3)的例子

def inc(n):
    return n+1

def cube(a):
    return a*a*a

def sum_cubes(a,b):
    return sum_term(cube,a,inc,b)

有了上面這個模板sum_term，將其作為基本單元，可以形式化其他概念，例如在a和b之間計算定積分的近似值

其中dx是一個很小的值，可以將公式轉化為

def integral(f, a, b, dx):
    def add_dx(x):
        return x + dx
    return  sum_term(f, a+dx/2, add_dx, b)*dx

用lambda構造過程

在原先寫的pi_sum函數式，返回了「其輸入值加4的過程」和「其輸入值加2的乘積倒數的過程」，這個過程可以使用輔助函數，也可以使用lambda表達式，python中的labmda表達式格式為 lambda <表達式的返回值>: 表達式

lambda x:x+4
lambda x: 1/(x*(x+4))

為了實現和原來pi_sum的過程，可以使用lambda表達式和模板sum_term實現一樣的功能

def pi_sum(a,b):
    return sum_term(lambda x: 1.0 / (x * (x + 2)),a,
             lambda x: x+4,b)

尋找函數的不動點

函數調用函數的過程，類似於數學上定義的複合函數的概念，如果f(x)=x無限套娃，可以找到一個不動點：

例如黃金分割率就是下面函數的不動點

利用程序計算過程如下：

tolerance = 0.00001
def fixed_point(f, first_guess):
    def close_enough(v1,v2):
        return True if abs(v1-v2)<tolerance else False
    def try_guess(guess):
        next_guess = f(guess)
        if close_enough(next_guess,guess):
            return next_guess
        else:
            return try_guess(next_guess)
    return try_guess(first_guess)

print(fixed_point(lambda x:1+1/x, 1))