統計學三大相關性係數：pearson，spearman，kendall

• 2021 年 2 月 14 日
• 筆記

在文獻以及各種報告中，我們可以看到描述數據之間的相關性：pearson correlation，spearman correlation，kendall correlation。它們分別是什麼呢？計算公式？怎樣用R語言簡單實現計算呢？本文一一介紹~
建議前期閱讀：協方差與相關係數-「傻傻」也能分清

總的來講，三個相關性係數（pearson, spearman, kendall）反應的都是兩個變量之間變化趨勢的方向以及程度，其值範圍為-1到+1，0表示兩個變量不相關，正值表示正相關，負值表示負相關，值越大表示相關性越強

person correlation coefficient（皮爾森相關性係數-r）

公式：

兩個變量(X, Y)的皮爾森相關性係數(ρX,Y)等於它們之間的協方差cov(X,Y)除以它們各自標準差的乘積(σX, σY)。（分母是變量的標準差，這就意味着變量的標準差不能為0（分母不能為0），也就是說你每個變量所包含值不能都是相同的。如果沒有變化，方差為0，那麼是無法計算的）

方差是表示一個變量的波動情況，方差越小表示數據越集中，越大表示數據越離散；
標準差：等於（或近似等於）方差的開根號；
協方差：可以理解成兩個變量之間的方差，其取值可以是負無窮到正無窮，它可以表示兩個變量之間的變化趨勢，但是不能表示它們之間的程度

局限性：

• 實驗數據通常假設是成對的來自於正態分佈的總體。為啥通常會假設為正態分佈呢？因為我們在求皮爾森相關性係數以後，通常還會用t檢驗之類的方法來進行皮爾森相關性係數檢驗。
• 實驗數據之間的差距不能太大，或者說皮爾森相關性係數受異常值的影響比較大。因為根據公式可以看到是直接是用x，y的值進行計算。相對應的spearman correlation對異常值不敏感，因為它是屬於rank test，具體見下面介紹。

spearman correlation coefficient（斯皮爾曼相關性係數-p）

通常也叫斯皮爾曼秩相關係數。

「秩」，可以理解成就是一種順序或者排序，那麼它就是根據原始數據的排序位置進行求解，而不是直接是用x，y的值進行求解（因此對異常值不敏感，也不要求正態分佈）。
公式：

計算過程就是：

1. 獲得秩次：記下原始X Y值得排序位置（X』, Y』），（X』, Y』）的值就稱為秩次
2. 對兩個變量（X, Y）的數據進行排序
3. 計算兩個變量秩次的差值，也就是上面公式中的di，n就是變量中數據的個數
4. 最後帶入公式就可求解結果。
   舉個例子吧，假設我們實驗的數據如下：
   

帶入公式，求得斯皮爾曼相關性係數：ρ(s)= 1-6*(1+1+1+9)/6*35=0.657
不用管X和Y這兩個變量具體的值到底差了多少，只需要算一下它們每個值所處的排列位置的差值，就可以求出相關性係數了。（如果原始數據中有重複值，則在求秩次時要以它們的平均值為準）

優勢：

• 即便在變量值沒有變化的情況下，也不會出現像皮爾森係數那樣分母為0而無法計算的情況。
• 即使出現異常值，由於異常值的秩次通常不會有明顯的變化（比如過大或者過小，那要麼排第一，要麼排最後），所以對斯皮爾曼相關性係數的影響也非常小
• 斯皮爾曼相關性係數沒有那些數據條件要求，適用的範圍廣

pearson和spearman都是衡量連續型變量間的相關性，那麼如果是分類變量呢？

kendall correlation coefficient（肯德爾相關性係數-k）

肯德爾相關性係數，又稱肯德爾秩相關係數，它也是一種秩相關係數，不過它所計算的對象是分類變量。分類變量可以理解成有類別的變量，可以分為無序的，比如性別（男、女）、血型（A、B、O、AB），以及有序的，比如肥胖等級（重度肥胖，中度肥胖、輕度肥胖、不肥胖）。通常需要求相關性係數的都是有序分類變量。

例子：比如評委對選手的評分（優、中、差等），我們想看兩個（或者多個）評委對幾位選手的評價標準是否一致；或者醫院的尿糖化驗報告，想檢驗各個醫院對尿糖的化驗結果是否一致，這時候就可以使用肯德爾相關性係數進行衡量。

由於數據情況不同，求得肯德爾相關性係數的計算公式不一樣，一般有3種計算公式，在這裡就不繁瑣地列出計算公式了，具體感興趣的話可以自行搜尋資料。

R語言計算correlation

x <- c(seq(10))
y <- c(seq(11,20))
res <- cor.test(x, y,method = "pearson") # method 參數修改：「spearman","kendall"
# 具體見 ?cor.test

參考鏈接：聊聊統計學三大相關性係數