算法系列-動態規劃(3)：找零錢、走方格問題

• 2020 年 12 月 17 日
• 筆記
• 動態規劃, 技術, 數據結構

最近在搗鼓算法，所以寫一些關於算法的文章
此系列為動態規劃相關文章。

系列歷史文章：
算法系列-動態規劃(1)：初識動態規劃

算法系列-動態規劃(2)：切割鋼材問題

算法系列-動態規劃(3)：找零錢、走方格問題

找零錢問題，湊數問題

最近老幣越來越值錢，是投資的一個好方向。

這不，八哥從某魚入手了幾張老幣。

這是一塊的：

這是五塊的：

這是十塊的：

不得不說，老幣還是挺好看的

看看這成色，過幾年一定很值錢，這就是我留給我孩子的財產。

但是不小心給羅拉看到了，然後就有了下面的對話….

找零錢的方式

錢？她能力範圍？又不太簡單？動態規劃？八哥腦子一動，馬上就想到一個題目。

於是，虎軀一震，眉頭一舒，摸摸下巴，點點頭。

「有了，羅拉請聽題」

「你看，我這裡的舊幣有面值{1,5,10}的，假設我這裡每種幣值數量都無限，請問我如果要湊成10元有幾種方法？」

「就這？」羅拉聽罷，不屑道。

「別急，這只是最簡單問題，後面還有幾個呢，保證一系列問題。」八哥一副奸計得逞的嘴臉。

「行吧，這有何難，組成十元，有以下幾種。」羅拉自信滿滿。
「第一種：我用10張一元」；
「第二種：我用2張五元」；
「第三種：我用1張十元」；
「第四種：我用1張五元和5張一元」；
「一共就這四種，沒錯吧」。

「嘖嘖，厲害呀羅拉，直接列舉出來了，你數學一定是數學老師教的。」八哥一副死豬不怕開水燙的樣子。

「咦…,別陰陽怪氣的，趕緊後面的問題，說好了，和前面一系列的，別換題目」羅拉嫌棄地擺擺手。

「放心，絕對是一系列的，而且是親生兒砸，請聽題」，八哥正聲道。

「請問，用上述的紙幣分別湊成50元，100元，1000元分別有幾種方法？」。

「你丫存心的吧，這我要算到什麼時候，你要是再來個10000，我直接認輸得了？」。羅拉這火爆脾氣可忍不了。

「誰讓你手算了，你可以把這個當成面試題，實現一個算法試試？」八哥啞然失笑。

「算法？算法也許能實現，但是超出我現在能力範圍好吧，這個不符合要求。」羅拉忿忿道。

「不對啊，這怎麼超出你能力範圍呢，前兩天不是剛跟你說了那啥嗎？你難道忘了？」八哥瞪大眼睛一副不敢置信的樣子。

「前兩天？動態規劃？」羅拉恍然大悟。

「對啊，這貨長得不夠動態？以致你認不出來？算了不扯了，你按照動態規劃的思路先分析分析吧。」八哥無奈道。

接下來，羅拉一頓分析猛如虎：
「嗯，我試試」。
「首先，我有{1,5,10}三種幣值，如果湊出n的組合數量有f(n)」 ；
「那麼接下來我就得拆分f(n)，將他分成更小的子問題」；
「由於我的幣值只有三種，所以只能拆出f(n-1),f(n-5),f(n-10)」;
「又因為，這三種都是可以得到f(n),所以他們之間的關係為f(n) = f(n-1) + f(n-5) + f(n-10)」
「最後得考慮邊界值，邊界的起始是n=1，此時可選的方案f(1)=1」。

「不對哦，你想想起始真的是n=1嘛？」 羅拉分析得正深入的的時候，八哥打斷了她的思路。

「不是嗎？1 是我們可以直接確定的吧？」羅拉不解。

「1 是可以直接確定沒錯，更準確地說是我們能夠一眼看出。如果我要求5，我們很容易得到五個1和一個5兩個方案吧，你把5代入你那個公式試試？」。

「n=5?,f(5) = f(5-1) + f(5-5) = f(4) + f(0)」
「咦，還有個f(0),也就是說f(1)=f(1-1)=f(0),這裡漏了，0應該也是一種選擇,所以初始狀態應該是湊0,並且只有1種選擇。」羅拉恍然大悟。

「是的，所以現在可以寫出代碼了吧？」

「嗯，稍後，這次不講碼徳直接可以寫個完全版的了」羅拉自信道。

於是一頓鍵盤噼里啪啦，代碼出爐。

public class Coin {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("湊成10塊的方案有："+change(10) + "種");
        System.out.println("湊成10000塊的方案有："+change(10000) + "種");
    }

    public static int change(int target) {
        int[] coins = {1, 5, 10};
        int[] dp = new int[target + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int coin : coins)
            for (int x = coin; x <= target ; x++) {
                dp[x] += dp[x - coin];
            }
        return dp[target];
    }
}

//輸出結果
湊成10塊的方案有：4種
湊成10000塊的方案有：1002001種

八哥瞄了一眼
「不錯，挺熟練了，不過這個不算是自己想出來的吧，我赤裸裸的提示了吧？我換一個角度再問一下不過分吧？」

「額，可以，你問吧」羅拉老臉一紅，自知理虧，只得答應八哥的要求。

找零錢的最佳方案

「好，現在的問題是，我要湊出n，至少要多少張紙幣？做出來，我這寶貝就給你捂幾天又何妨？」。八哥撩一撩頭髮，笑道。

「行，我想想，大概知道怎麼做了，我分析下先」，羅拉不甘示弱。

「首先對於一個f(n),我的結果可以來自f(n-1),f(n-5),f(n-10)這點和之前一樣。」
「不一樣的地方在於我們現在不是求和而是求最小值。」
「所以，f(n) = min(f(n-1),f(n-5),f(n-10)) + 1」
「最後再確定一下邊界，初始值應該是0,f(0)=0」。

「嗯，分析的沒錯，show me your code。」八哥點點頭。

「等等，馬上。」羅拉一喜，馬上開始舞動鍵盤。

啪啪兩分鐘，代碼出爐。

public class Coin {
    static int[] coins = {1, 5, 10};

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("湊成55塊至少需要的紙幣為：" + minCoinCnt(55) + "張");
        System.out.println("湊成999塊至少需要的紙幣為：" + minCoinCnt(999) + "張");
        System.out.println("湊成1000塊至少需要的紙幣為：" + minCoinCnt(1000) + "張");
    }

    public static int minCoinCnt(int target) {
        int[] dp = new int[target + 1];
        //湊成0元需要0張
        dp[0] = 0;
        for (int x = 1; x <= target; x++) {
            dp[x] = Integer.MAX_VALUE;
            for (int coin : coins) {
                //fn(n) = min(f(n-1),f(n-5),f(n-10)),注意f(n)的n要大於等於0，所以需要(x-coin>=0)
                //選擇紙幣叫小的方案
                if (x - coin >= 0) dp[x] = Math.min(dp[x], dp[x - coin] + 1);
            }
        }
        return dp[target];
    }

}

//輸出結果
湊成55塊至少需要的紙幣為：6張
湊成999塊至少需要的紙幣為：104張
湊成1000塊至少需要的紙幣為：100張

「嗯，可以，我還以為你會按照之前的循環來寫呢，想不到沒入坑。」 八哥悻悻道。

「哼，我又不傻，公式我都寫出來，還怕寫不出代碼？哈哈，趕緊的，願賭服輸，把你寶貝給我捂幾天。」羅拉一副小人得志的樣子。

「諾，拿去，你可要好好保護它們啊。」在把錢交出的瞬間，八哥心如刀割。沒辦法，即使不打賭也得交出去。哎….

走方格

三天後，晚上六點，羅拉下班回到家了，略帶笑容，顯然心情不錯。

「咦，羅拉今天怎麼這麼早？有啥開心事，看你樂得。」八哥疑惑

「今天事情工作比較簡單，所以沒那麼忙，今天公司下午茶玩遊戲，贏了點零食。」羅拉想到開心的事情，不覺語氣歡快起來了。

「遊戲？啥遊戲？」

「走方格，從一個格子走到另一個格子有多少種走法。我答得比較快。碾壓同事」羅拉一副快誇我的樣子。

「走方格？是不是從左上角到右下角，只能向下或向右的走法，像這樣的？」八哥好像想起了什麼，拿起紙筆隨手花了一個圖。

「是的，你知道？要不我們玩玩？」羅拉看了一眼，羅拉顯然對自己很自信。

「好啊，不過得來點彩頭吧。」

「喲，說的好像你已經贏了似的，你想要啥彩頭？」

「那啥，舊幣你把玩了三天了，是不是該讓我捂一下了？」

「原來你打的是這主意…」羅拉沒好氣地說道。

「不過也無所謂，我覺得我不會輸，這樣，我們各寫一組數組(l1,l2)和(b1,b2)，分別組成l1 * b1,l2 * b2 的格子，然後計算，看誰先算出兩個，一局定勝負，可以吧？」。

「嗯，很公平，我沒問題，開始吧。」 八哥胸有成竹。

走方格（走法數量）

不一會兒，兩人都把紙條寫好了。

攤開紙條

羅拉寫的是(3,6)

八哥寫的是(7,5)

「我們現在要計算3 * 7 ,6 * 5的方格走法，即使開始」。羅拉說完，拿起紙筆，畫了起來，贏在了起跑線。

30秒後

「嘿嘿，分別為 28 和 126」，不到一分鐘，八哥邊說出了答案。

「你瞎說的吧，我第一個都還沒算完呢，你兩個都完了？」

「山人自有妙計，你輸了」

「等我算完再說，誰知道你的對的還是錯的？」

「可是你要是自己算錯了或算很久那不是浪費時間？」

「不然捏，我總得驗證結果吧？」羅拉忍不住翻白眼。

「看你畫了這麼多圖，挺辛苦的，動動腦子，我要是在你公司，今天這遊戲就通殺了？」

「咦，難道有規律？」羅拉自動忽略八哥的後半句話。

「你三天前怎麼贏得我的舊幣的？你想想？」

「贏錢？打賭啊，不對，難道是動態規劃？」

「是啊，你怎麼每次都得提醒才想得起來啊」八哥無奈道。

「誰知道你連這都埋個坑？行了，我知道接下來該分析分析了。」

「假設到最右下角的方式有f(n),由於只能往左邊或下面走，所以f(n)=f(上邊)+f(左邊)」
「嗯…其實用二維數組表示好像更好，應該表示為dp[x][y]=dp[x-1][y]+dp[x][y-1]」
「接下來就是子問題的計算，直到邊界」
「這裡的邊界，應該是有沿着牆邊走，因為只能向左或向右，所以dp[x][0]=0,dp[0][y]=0」
「接下來代碼實現」

public class WalkGrid {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("3*7方格走法共有："+walk(3,7)+" 種");
        System.out.println("5*6方格走法共有："+walk(5, 6)+" 種");
    }

    public static int walk(int n, int m) {
        int[][] dp = new int[n][m];
        //定義邊界
        for (int i = 0; i < n; i++) dp[i][0] = 1;
        for (int i = 0; i < m; i++) dp[0][i] = 1;
        //雙重循環，計算dp數組的值
        for (int i = 1; i < n; i++)
            for (int j = 1; j < m; j++)
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        return dp[n - 1][m - 1];
    }
}
//輸出結果
3*7方格走法共有：28 種
5*6方格走法共有：126 種

「咦你的答案沒錯誒。不對，你沒寫代碼，而且一分鐘都不到，這肯定不是最快的。」羅拉突然醒悟。

「對於這個題目，當然不是最快的，你想一下，對於n * m的格子，我一共要走多少步？向上多少，向下多少？」

「向下是n-1，向右是m-1,一共是m + n - 2,可是這個和你算得快沒啥關係吧？」羅拉不解

「誰說沒關係，一共m + n - 2,我只要確定向下或向右走的，另一個方向的是不是也確定了？換言之，就是m + n - 2中選n - 1 或 m - 1吧，你發現了什麼？」

「從總數裏面選出某些…吖，是排列組合的組合，這是一個數學問題」羅拉恍然大悟。

「是的，這裡可以看成是組合問題，通過組合共識，10以內的分分鐘就算出來了不過分吧，你甚至可以試着代碼實現」八哥得意說道

「行吧，我試試，你就是想我寫代碼吧，我想一下組合公式組合數計算方法，從N項中選出M項:f(n,m) = n! / ((n - m)! * m!) 」

「代碼就是這樣」

public class WalkGrid {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("3*7方格走法共有：" + cal(3, 7) + " 種");
        System.out.println("5*6方格走法共有：" + cal(5, 6) + " 種");
    }


    public static int cal(int n, int m) {
        int tot = m + n - 2;
        int res = 1;
        int max = Math.max(m - 1, n - 1);
        //公式中tot！與max！部分可以抵消max！部分，減少計算量
        for (int i = tot; i > max; i--) res *= i;
        for (int i = 1; i <= tot - max; i++) res /= i;
        return res;
    }
}
//輸出結果
3*7方格走法共有：28 種
5*6方格走法共有：126 種

公式中的f(n,m) = n! / ((n - m)! * m!)
可以化簡為f(n,m) = n*(n-1)*(n-2)...*(m+1) / (n - m)! 就是代碼中max優化的原理

「算我輸了，你寶貝等下就還你，話說這個豈不是用數學方法更快？」羅拉賭品還是可以的。

「所以我說了對於這個問題是個樣啊，我只要稍微變化一下，公式就不好使了」

「是嗎？舉個栗子看看」 羅拉來了興趣。

「行，看在你賭品不錯的份上，舉了例子」

走格子最短路徑

「從前有個公主，被魔王抓了，關在魔窟」

「一個勇敢王子準備前往魔窟營救公主，這個過程充滿危險，稍有不慎就會有生命危險。」

「魔王在王子的必經之路上布滿了陷阱，每一個陷阱都會對王子造成傷害，地圖如下所示」

「王子開始在左上角，每次只能往左或往右走一步，由於魔王布了陷阱，每走一步都會失去部分生命值」

「王子有初始生命，請問王子能否成功救出公主」？

「這案例就沒法用排列組合來做了，應為不是每個格子都是一樣的數字了。」八哥不緊不慢的舉了個例子。

「好像是誒，排列組合有點難，感覺動態規劃挺好做的吧」羅拉想了一會，還是放棄用排列組合了。

「是的，你可以試試動態規劃怎麼做唄。」

「嗯，我看看，也做了好多題了，看看能不能獨立做出來，你別給我提示了，我先理一下」 看來羅拉幹勁十足啊。

「王子有初始血量，想要成功就出公主就不能半路給跪了」
「要救出公主，只要我失去的生命值小於初始生命值，就可以了」
「只要求出所有路徑算損失生命值的最小值和王子初始生命值做對比，就可以知道王子有沒有可能救出公主了」
「所以這個也是一個求最小值得問題」

羅拉顯然思路很清晰

「接下來就是分析一下動態規劃要怎麼做了」
「用dp[x][y]記錄走到(x,y)時損失的生命值」
「由於只能向左或向右，所以相關的子問題為dp[x][y]=dp[x-1][y]+dp[x][y-1]」
「接下來考慮邊界問題」
「向右只有一條路經，所以dp[x][0]=dp[x-1][0]+(x,0)」
「向下也只有一條路dp[0][y]=dp[0][y-1]+(0,y)」
「入口，也就是(0,0)應該不損失生命值，所以，dp[0][0]=0」

「然後就是編寫代碼了」

「完事，你看看」羅拉用力敲下最後一下鍵盤。

public class SavePrincess {
    //魔王宮殿
    static int palaces[][] = {
            {0, 6, 9, 10, 12, 15},
            {17, 33, 32, 8, 21, 20},
            {3, 44, 11, 20, 1, 0}};

    public static void main(String[] args) {
        int init = 50;//初始生命值
        int min = save();
        System.out.println("王子初始血量為:" + init + "， " + (min - init >= 0 ? "不能" : "能") + "救出公主");

        init = 80;//初始生命值
        System.out.println("王子初始血量為:" + init + "， " + (min - init >= 0 ? "不能" : "能") + "救出公主");

        System.out.println("就出公主的損失生命值得最小值為:" + min);

    }

    /**
     * 拯救公主的最低損失生命值
     * @return
     */
    public static int save() {
        int n = palaces.length;
        int m = palaces[0].length;
        int[][] dp = new int[n][m];
        //起始位置為0
        dp[0][0] = 0;
        //向下初始化
        for (int i = 1; i < n; i++) dp[i][0] = dp[i - 1][0] + palaces[i][0];
        //向右初始化
        for (int i = 1; i < m; i++) dp[0][i] = dp[0][i - 1] + palaces[0][i];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j < m; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + palaces[i][j];
            }
        }
        return dp[n - 1][m - 1];
    }
}
//輸出結果
王子初始血量為:50， 不能救出公主
王子初始血量為:80， 能救出公主
就出公主的損失生命值得最小值為:54

「嗯，不錯，看來動態規劃你掌握的不錯了。」八哥看了看結果，點頭笑道。

「做多了幾道題，感覺就這麼回事，沒啥難度。」羅拉不免翹起了尾巴。

「別開心的太早，明天我找個經典案例給你試試？」八哥不懷好意道

「沒問題，今晚出去吃吧，難得這麼早下班。」

「好啊，等下，我先把寶貝放好先」。

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