圖神經網絡庫DGL-message pasing

• 2020 年 11 月 14 日
• AI
• 圖神經網絡

Message Passing

這是一篇關於DGL消息傳遞的讀後感。

Message Passing Paradigm

​ 這裡，x_v\in\mathbb{R}^{d_1}是節點v的特徵，w_e\in\mathbb{R}^{d_2}是邊(u,v)的特徵。這個t+1時刻的消息傳遞框架定義如下的逐邊(node-wise)和逐邊的計算：

​ 在上面的等式中，\phi是定義在每條邊上的消息函數，它通過結合邊特徵和兩個節點來產生message；\psi是定義在每個節點上的更新函數，通過使用reduce functaion\rho去聚合(aggregating)輸入信息，從而更新此節點。

​ Note：上面對Message Passing Paradigm的解釋包含了很多信息。接下來我嘗試通過下面這個圖來解釋這個計算框架：

​ 在更新圖節點的特徵值，我們通常都是根據此節點的鄰居節點更新的。假設我們想要更新節點6。那麼，我們首先要知道的就是節點6和其鄰居節點(2, 3, 7, 8, 9)通過相連的邊傳遞的是什麼信息，是相加嗎？還是其它計算。此時這裡的信息就是利用消息函數去完成的，消息函數通過(u,v,e)在每條邊上都生成了這個message，待會就利用這些信息去實施更新。

​ 要更新節點6了，我們要知道節點6的信息更新只能通過邊a_{36},a_{26},a_{76},a_{68},a_{69}(對於無向圖來說，節點的順序不重要；有向圖的就集中一個方向就行)上的信息去更新。這時候reduce function\rho非常重要，它就是根據將節點6的鄰居節點上的邊信息收集起來，然後進行操作，可以是直接相加、相減、求和、平均、求權重和等等。那麼最後，就利用\psi去更新節點6的值。如果沒聽懂，我很抱歉，或許接下來的內容能讓你重新了解。如果聽懂了，我感到很欣慰，接下來的內容能讓你更深刻的理解。

2.1 Built-in Functions and Message Passing APIs

​ 接下來分別介紹message function，reduce function和update function。

• message function：由於消息函數會在邊上產生信息，那麼，它需要一個edges參數。這個edges有三個成員，分別是src, dst, data。能偶用來訪問邊上源節點的特徵，目標節點的特徵和邊本身的特徵。例子如下，假設我們將邊上src的hu特徵和dst上的hv特徵相加，然後保存到he上。

  def message_func(edges):  # 消息函數的參數為edge
      return {'he':edges.src['hu']+edges.dst['hv']}
  

  當然，dgl庫本身也有處理這方面的內置函數：dgl.function.u_add_v('hu', 'hv', 'he')這裡的u_add_v就表明了把源節點的特徵和目標節點上的特徵相加。

• reduce function：需要有一個nodes參數。它有一個mailbox成員，能夠用來訪問這個節點收到的message。就像最開始講的，一個節點只能夠收到來自於鄰居節點上的信息。所以它這個mailbox就存儲了這些信息。所以，如果我們想把mailbox收到的message相加，然後存儲到h里的話，也很簡單：

  import torch
  def reduce_func(nodes):
      return {'h':torch.sum(nodes.mailbox['m'], dim=1)}# 這裡之所以有'm'，就是消息存儲到'm'這個鍵值上了，就像這裡的'h'
  

  當然，dgl也準備了內建函數dgl.function.sum('m', h)。

• update function：也需要一個參數nodes參數。它通常在最後一步去結合reduce function聚合的結果和目標節點的特徵去更新目標節點的特徵。

• update_all()：它是一個高階函數，融合了消息的產生、聚合和節點的更新。所以，它需要三個參數：message function，reduce function和update function。也可以在update_all()函數外調用更新函數而不用在update特別指定。DGL推薦這種在update_all()外定義更新函數，因為為了代碼的簡潔，update function一般寫成純張量操作。具體實現例子如下，表達式為：將節點特徵ft_j和i-j相連接的邊特徵a_ij求和再乘以2。

  \text{final_ft}_{i}=2*\sum_{j\in{N(i)}}(ft_j*a_{ij})

  def update_all_example(graph):
      """
      	注意，這裡的特徵名稱是一開始都設置好的。這個圖本身包含了：
      	graph.ndata[ft]
      	graph.edata['a']
      	而m是臨時用來存儲message的
      """
      graph.update_all(fn.u_mul_e('ft', 'a', 'm'), fn.sum('m', 'ft'))
      final_ft = graph.ndata['ft'] * 2
      return final_ft
  

  dgl.function里實現了很多了message function和reduce function。

  接下來，介紹一個重點，update_all函數。使用這個函數，將極大簡化代碼。

  此處不再贅述。DGL庫在message passing教程中接下來的內容都是關於如何優化使用和在不同場景下的使用，核心並沒有改變。接下來，我嘗試講解DGL例子中使用Message Passing來構造GCN的例子，來更加清晰的使用Message Passing。

使用Message Passing構造GCN

​ 在這篇文章中，節點的更新過程為：

​ 這裡\widetilde{A}=A+I，也就是鄰接矩陣增加了自環。主要，在實踐中，已經有自環的節點無需再增加自環。\widetilde{D}_{ii}=\sum_{j}\widetilde{A}_{ij}度矩陣是增加自環之後求得的。

g = dgl.remove_self_loop(g) # 增加自環時，首先去除原本的自環
g = dgl.add_self_loop(g)

degs = g.in_degrees().float() #無向圖中，入度和出度是相同的。
norm = torch.pow(degs, -0.5)

​ 接下來，我們需要將節點更新過程(2)用Message Passing來表達。首先，我們要知道Message Passing的思想就是在目標節點上求得edges上的信息，然後聚合起來更新目標節點。先給出最終表達式，有個目的性，然後再一步步推導：

以上的表達式說明，在更新第$k$層的第$i$個節點特徵時，將$k-1$層第$i$個節點特徵與其鄰居節點$j$特徵進行$\Theta$轉換、度的標準化，最後求和更新。這很符合圖卷積的思想：<font color="yellow">將鄰居節點的信息結合起來，更新目標節點。</font>接下來將公式(2)進行分解到公式(3)。

​ 我們一步步看公式(2):

​ Note:\frac{1}{\sqrt{\deg(i)}}是節點i的度的標準化。

​ 這裡，\widetilde{D}^{-\frac{1}{2}}\widetilde{A}就相當於將\widetilde{A}的第i行的值乘以節點i的度。要進行下一步操作時，我們首先要搞清楚鄰接矩陣(此文章增加了自環，但我們仍然用鄰接矩陣稱呼它)\widetilde{A}的意義。如下，

​

​ 我們令\widetilde{D}^{-\frac{1}{2}}\widetilde{A}\widetilde{D}^{-\frac{1}{2}}=M

​ 大家看到這裡應該比較清楚了，這裡的係數a_{ij}只能為0或者1，並且取決於j是否為i的節點。X\Theta僅僅只是將特徵X進行特徵映射了，僅僅只是改變X的列維度。那麼，接下來MX的值就意味着矩陣M使用係數去選取X的值，這樣就實現了選取鄰居節點特徵的意義。(害，其實我剛看到公式(2)的時候，內心是崩潰的，它怎麼就實現抽取鄰居節點特徵的卷積效果，推導到公式(3)時才恍然大悟，原來是這麼回事)。

​ 那麼MX的每一行值，就是公式三的結果了。我們再次看下公式(3):

​ 分析出message function、reduce function為：

• message function：每個源節點特徵乘以其度的正則
• reduce function：將message function產生的信息求和，並且乘以目標節點的度正則。

def gcn_msg(edge):
    # 在邊上的源節點上，乘以其度的正則
    msg = edge.src['h'] * edge.src['norm']
    return {'m': msg} 

def gcn_reduce(node):
    # 將目標節點的邊上的信息聚合(這裡是sum)，再乘以目標節點上的度的正則
    # 這裡的torch.sum(, dim=1)在維度1上相加，是因為node.mailbox['m']的shape = [batch, mails, feat]
    # 需要將mails整個加起來
    accum = torch.sum(node.mailbox['m'], 1) * node.data['norm'] 
    return {'h': accum} # 這時候，節點就存在一個數據node.data['h'] = accum

class NodeApplyModule(nn.Module):
    def __init__(self, out_feats, activation=None, bias=True):
        super(NodeApplyModule, self).__init__()
        if bias:
            self.bias = nn.Parameter(torch.Tensor(out_feats))
        else:
            self.bias = None
        self.activation = activation
        self.reset_parameters()

    def reset_parameters(self):
        if self.bias is not None:
            stdv = 1. / math.sqrt(self.bias.size(0))
            self.bias.data.uniform_(-stdv, stdv)

    def forward(self, nodes): # 要更新時，添加上偏置和激活函數
        h = nodes.data['h']
        if self.bias is not None:
            h = h + self.bias
        if self.activation:
            h = self.activation(h)
        return {'h': h} # 此時nodes['h'] = h 這是就被更新了

class GCNLayer(nn.Module):
    def __init__(self,
                 g,
                 in_feats,
                 out_feats,
                 activation,
                 dropout,
                 bias=True):
        super(GCNLayer, self).__init__()
        self.g = g
        self.weight = nn.Parameter(torch.Tensor(in_feats, out_feats))
        if dropout:
            self.dropout = nn.Dropout(p=dropout)
        else:
            self.dropout = 0.
        self.node_update = NodeApplyModule(out_feats, activation, bias)
        self.reset_parameters()

    def reset_parameters(self):
        stdv = 1. / math.sqrt(self.weight.size(1))
        self.weight.data.uniform_(-stdv, stdv)

    def forward(self, h):
        if self.dropout:
            h = self.dropout(h)
        self.g.ndata['h'] = torch.mm(h, self.weight) # 這裡是首先將節點特徵進行映射，也就是X*O
        self.g.update_all(gcn_msg, gcn_reduce, self.node_update) # 然後求message，聚合，更新。
        h = self.g.ndata.pop('h')
        return h

# add self loop
g = dgl.remove_self_loop(g)
g = dgl.add_self_loop(g)
n_edges = g.number_of_edges()

# normalization
degs = g.in_degrees().float()
norm = torch.pow(degs, -0.5)
norm[torch.isinf(norm)] = 0
g.ndata['norm'] = norm.unsqueeze(1) # 傳遞到GCN的圖已經存在了'norm'數據