動態規划算法——裝最多水的容器

動態規劃概述

  動態規劃(Dynamic Programming,DP)是運籌學的一個分支,是求解決策過程最優化的過程

  動態規划算法通常用於求解具有某種最優性質的問題。在這類問題中,可能會有許多可行解,每一個解都對應於一個值,我們希望找到具有最優值的解。

  動態規划算法與分治法類似,其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題,先求解子問題,然後從這些子問題的解得到原問題的解。與分治法不同的是,適合於用動態規劃求解的問題,經分解得到子問題往往不是互相獨立的。若用分治法來解這類問題,則分解得到的子問題數目太多,有些子問題被重複計算了很多次。如果我們能夠保存已解決的子問題的答案,而在需要時再找出已求得的答案,這樣就可以避免大量的重複計算,節省時間。我們可以用一個表來記錄所有已解的子問題的答案,不管該子問題以後是否被用到,只要它被計算過,就將其結果填入表中,這就是動態規劃法的基本思路。

 


裝最多水的容器

  給你 n 個非負整數 a1,a2,…,an,每個數代表坐標中的一個點 (i, ai) 。在坐標內畫 n 條垂直線,垂直線 i 的兩個端點分別為 (i, ai) 和 (i, 0),找出其中的兩條線,使得它們與 x 軸共同構成的容器可以容納最多的水。

  說明:你不能傾斜容器,且 n 的值至少為 2。

示例:

  輸入:[1,8,6,2,5,4,8,3,7]

  輸出:49

  說明:當容器的兩邊分別是8和7的時候,容器所能盛水最多,最大儲水面積為:7 *(9-2)= 49。

 


問題分析

  本題是一道經典的面試題,最優的做法是使用「雙指針」。一開始兩個指針一個指向開頭一個指向結尾,此時容器的底是最大的,接下來隨着指針向內移動,會造成容器的底變小,在這種情況下想要讓容器盛水變多,就只有在容器的高上下功夫。那我們該如何決策哪個指針移動呢?

  我們能夠發現不管是左指針向右移動一位,還是右指針向左移動一位,容器的底都是一樣的,都比原來減少了 1。這種情況下我們想要讓指針移動後的容器面積增大,就要使移動後的容器的高盡量大,所以我們選擇指針所指的高較小的那個指針進行移動,這樣我們就保留了容器較高的那條邊,放棄了較小的那條邊,以獲得有更高的邊的機會。

  這裡用的就是動態規劃,基本的表達式: areaMax = min(height[i], height[j]) * (j – i)。

 


示例分析

  輸入:[1,8,6,2,5,4,8,3,7]

  輸出:49

求解過程如下:


算法實現

public class TakeInWater {
    
    public static void main(String[] args) {
        int[] columns = {1,8,6,2,5,4,8,3,7};
        int areaMax = maxArea(columns);
        System.out.println("最大儲水量:" + areaMax);
    }

    public static int maxArea(int[] height) {
        if (height.length < 1) {        // 檢驗參數正確性
            return -1;
        }
        int left = 0;                    // 左指針
        int right = height.length-1;    // 右指針
        int area = 0;                    // 最大儲水量
        while (left < right) {
            int high = Math.min(height[left], height[right]);    // 找到容器的儲水高度
            area = Math.max(area, high*(right-left));            // 最大儲水量
            // 按照最優策略,移動指針
            if (height[left] < height[right]) {
                left++;
            }else {
                right--;
            }
        }
        return area;
    }
}

運行結果:

 

 參考資料:

    LeetCode

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