NN入門，手把手教你用Numpy手撕NN(一)
- 2019 年 10 月 3 日
- 筆記
前言
這是一篇包含極少數學推導的NN入門文章
大概從今年4月份起就想着學一學NN，但是無奈平時時間不多，而且空閑時間都拿去做比賽或是看動漫去了，所以一拖再拖，直到這8月份才正式開始NN的學習。
這篇文章主要參考了《深度學習入門：基於Python的理論與實現》一書，感覺這本書很不錯，偏向實踐，蠻適合入門。
話不多說，下面開始我們的NN入門(手撕NN)之旅
基礎數學知識
這裡只對張量進行簡單介紹，關於矩陣運算之類的，就靠你們自己另外學啦。
標量（0D張量）
僅包含一個數字的張量叫作標量（scalar，也叫標量張量、零維張量、0D 張量）。在 Numpy 中，一個 float32 或 float64 的數字就是一個標量張量（或標量數組）。你可以用 ndim 屬性來查看一個 Numpy 張量的軸的個數。
>>> import numpy as np >>> x = np.array(1) >>> x array(1) >>> x.ndim 0向量（1D張量）
數字組成的數組叫作向量（vector）或一維張量（1D 張量）。一維張量只有一個軸。下面是 一個 Numpy 向量。
>>> x = np.array([1, 2, 3, 4, 5]) >>> x array([1, 2, 3, 4, 5]) >>> x.ndim 1 這個向量有5 個元素，也被稱為5D 向量。
矩陣（2D張量）
向量組成的數組叫作矩陣（matrix）或二維張量（2D 張量）。矩陣有 2 個軸（通常叫作行和列），下面是一個 Numpy 矩陣。
>>> x = np.array([[5, 78, 2, 34, 0], [6, 79, 3, 35, 1], [7, 80, 4, 36, 2]]) >>> x.ndim 2 第一個軸上的元素叫作行（row），第二個軸上的元素叫作列（column）。在上面的例子中， [5, 78, 2, 34, 0] 是 x 的第一行，[5, 6, 7] 是第一列。
3D張量與更高維張量
將多個矩陣組合成一個新的數組，可以得到一個3D 張量，可以將其直觀地理解為數字 組成的立方體。下面是一個 Numpy 的 3D 張量。
>>> x = np.array([[[5, 78, 2, 34, 0], [6, 79, 3, 35, 1], [7, 80, 4, 36, 2]], [[5, 78, 2, 34, 0], [6, 79, 3, 35, 1], [7, 80, 4, 36, 2]], [[5, 78, 2, 34, 0], [6, 79, 3, 35, 1], [7, 80, 4, 36, 2]]]) >>> x.ndim 3 將多個3D 張量組合成一個數組，可以創建一個4D 張量，以此類推。深度學習處理的一般 是 0D 到 4D 的張量，但處理視頻數據時可能會遇到 5D 張量。
神經網絡（Neural Network）
神經網絡實際上是由多個層（神經網絡的基本數據結構）堆疊而成，層是一個數據處理模塊，可以將一個 或多個輸入張量轉換為一個或多個輸出張量。下圖是一個最簡單的網絡
這是一個三層神經網絡（但實質上只有2層神經元有權重，因此也可稱其為「2層網絡」），包括輸入層、中間層（隱藏層）和輸出層。(個人認為，對於任意一個網絡，都可以簡化成上圖所示的一個三層的神經網絡，數據從輸入層進入，經過一層運算進入隱藏層，然後在隱藏層中進行各種運算，最後再通過一層運算到達輸出層，輸出我們所需的結果)。
那麼，對於一個最簡單的網絡，每一層的運算是如何的呢？
如上圖所示，假設我們輸入了 (x_1, x_2)， (x_1, x_2) 分別乘上到下一層的權重，再加上偏置，得到一個y值，這個y值將作為下一層的輸入，用公式表達如下
[ y = w_1x_1+w_2x_2+b {tag 1} ]
可想而知，如果所有的計算都是這樣的話，那神經網絡就只是一個線性模型，那要如何使其具有非線性呢？
很簡單，可以加入激活函數(h(x))，那麼，我們的公式便可改成
[ a=w_1x_1+w_2x_2+b {tag {2.1}} ]
[ y=h(a) {tag {2.2}} ]
首先，式（2.1）計算加權輸入信號和偏置的總和，記為a。然後，式（2.2） 用h(x)函數將a轉換為輸出y。
激活函數
這裡介紹下常用的激活函數
sigmoid函數
說到非線性，比較容易想到的應該是階躍函數，比如下面代碼所示的
def step_function(x): if x > 0: return 1 else: return 0但是，由於階躍函數只有兩個值，不存在平滑性，在計算過程中表示能力肯定不夠好，所以，又想到sigmoid函數
def sigmoid(x): return 1 / (1 + np.exp(-x))sigmoid函數的平滑性對神經網絡的學習具有重要意義。
ReLU函數
在神經網絡發展的歷史上，sigmoid函數很早就開始被使用了，而最近則主要使用ReLU（Rectified Linear Unit）函數。
[ h(x)= begin{cases} x,quad x > 0\ 0,quad x<=0 end{cases} tag{3} ]
def relu(x): return np.maximum(0, x)
恆等函數和softmax函數（輸出層激活函數）
神經網絡可以用在分類問題和回歸問題上，不過需要根據情況改變輸出 層的激活函數。一般而言，回歸問題用恆等函數，分類問題用softmax函數。
恆等函數會將輸入按原樣輸出，對於輸入的信息，不加以任何改動地直 接輸出。因此，在輸出層使用恆等函數時，輸入信號會原封不動地被輸出。
分類問題中使用的softmax函數可以用下面的式子表示。
[ y_k = frac{exp(a_k)}{sum^n_{i=1}exp(a_i)} tag{4} ]
def softmax(a): exp_a = np.exp(a) sum_exp_a = np.sum(exp_a) y = exp_a / sum_exp_a return y上面的softmax函數的實現在計算機的運算上存在有溢出問題。softmax函數的實現中要進行指數函數的運算，但是此時指數函數的值很容易變得非常大。比如，(e^{10})的值 會超過20000，(e^{100})會變成一個後面有40多個0的超大值，(e^{1000})的結果會返回 一個表示無窮大的inf。如果在這些超大值之間進行除法運算，結果會出現「不確定」的情況。
因此對softmax做如下改進
def softmax(a): c = np.max(a) exp_a = np.exp(a - c) # 溢出對策 sum_exp_a = np.sum(exp_a) y = exp_a / sum_exp_a return y 網絡的學習
從之前的介紹來看，設置好神經網絡的參數，設置好激活函數，似乎就可以利用該神經網絡來做預測了，事實也是入此。但這裡存在一個很重要的問題，網絡的各個權重參數如何設置？1. 人為設置，這好像就成了人工神經網絡，並且十分不現實，一旦網絡結構比較大，具有數萬個神經元的時候，完全無法設置參數。2. 從數據中學習，這是所有機器學習、深度學習模型的一個很重要的特徵，從數據中學習。
下面將介紹神經網絡在學習中需要的一些東西
損失函數（loss function）
相信有機器學習基礎的對此都不陌生。神經網絡每次在學習時，會更新一組權重，通過這組新的權重然後產生一組預測值，那我們如何判斷這組權重是否是較優的呢？通過損失函數即可，這裡介紹兩個損失函數（可跳過）。
損失函數是表示神經網絡性能的「惡劣程度」的指標，即當前的 神經網絡對監督數據在多大程度上不擬合，在多大程度上不一致。 以「性能的惡劣程度」為指標可能會使人感到不太自然，但是如 果給損失函數乘上一個負值，就可以解釋為「在多大程度上不壞」， 即「性能有多好」。並且，「使性能的惡劣程度達到最小」和「使性 能的優良程度達到最大」是等價的，不管是用「惡劣程度」還是「優 良程度」，做的事情本質上都是一樣的。
均方誤差（mean squared error)
[ E=frac{1}{2}sum_k(y_k-t_k)^2 tag{5} ]
def mean_squared_error(y, t): return 0.5 * np.sum((y-t)**2) 該損失函數常用於回歸問題
交叉熵誤差（cross entropy error)
[ E=-sum_k{t_klogy_k} tag{6} ]
def cross_entropy_error(y, t): delta = 1e-7 return -np.sum(t * np.log(y + delta)) 這裡，參數y和t是NumPy數組。函數內部在計算np.log時，加上了一 個微小值delta。這是因為，當出現np.log(0)時，np.log(0)會變為負無限大的-inf，這樣一來就會導致後續計算無法進行。作為保護性對策，添加一個微小值可以防止負無限大的發生。
交叉熵誤差常用於分類問題上
mini-batch 學習
介紹了損失函數之後，其實已經可以利用損失函數開始訓練我們的神經網絡了，但是，我們每次訓練都不止一條數據，如果想要訓練出比較好的神經網絡模型，在計算損失函數時就必須將所有的訓練數據作為對象。以交叉熵誤差為例，損失函數改寫成下面的式子
[ E=-frac{1}{N}sum_nsum_kt_{nk}logy_{nk} tag{7} ]
但是，同時需考慮，在MNIST數據集中，訓練數據有60000條，如果以全部數據為對象求損失函數的和，則計算過程需要花費較長的時間。再者，如果遇到大數據， 數據量會有幾百萬、幾千萬之多，這種情況下以全部數據為對象計算損失函數是不現實的。因此，我們從全部數據中選出一部分，作為全部數據的「近似」。神經網絡的學習也是從訓練數據中選出一批數據（稱為mini-batch,小 批量），然後對每個mini-batch進行學習。比如，從60000個訓練數據中隨機選擇200筆，再用這200筆數據進行學習。這種學習方式稱為mini-batch學習。
此時交叉熵代碼實現如下
def cross_entropy_error(y, t): if y.ndim == 1: t = t.reshape(1, t.size) y = y.reshape(1, y.size) batch_size = y.shape[0] return -np.sum(t * np.log(y + 1e-7)) / batch_size 當監督數據是標籤形式（非one-hot表示，而是像「2」「 7」這樣的標籤）時，交叉熵誤差可通過如下代碼實現。
def cross_entropy_error(y, t): if y.ndim == 1: t = t.reshape(1, t.size) y = y.reshape(1, y.size) batch_size = y.shape[0] return -np.sum(np.log(y[np.arange(batch_size), t] + 1e-7)) / batch_size 參數（權重和偏置）優化
上面介紹了更新權重時需要的損失函數，但是，我們要如何利用損失函數來更新權重呢？這裡用到了我們熟知的梯度法。
梯度法
機器學習的主要任務是在學習時尋找最優參數。同樣地，神經網絡也必 須在學習時找到最優參數（權重和偏置）。這裡所說的最優參數是指損失函數取最小值時的參數。但是，一般而言，損失函數很複雜，參數空間龐大，我 們不知道它在何處能取得最小值。而通過巧妙地使用梯度來尋找函數最小值 （或者儘可能小的值）的方法就是梯度法，數學表示如下
[ x_0=x_0-eta frac{partial f}{partial x_0} \ x_1=x_1-eta frac{partial f}{partial x_1} tag{8} ]
式中η表示更新量，在神經網絡的學習中，稱為學習率（learning rate）。學習率決定在一次學習中，應該學習多少，以及在多大程度上更新參數。
def numerical_gradient(f, x): h = 1e-4 # 0.0001 grad = np.zeros_like(x) # 生成和x形狀相同的數組 it = np.nditer(x, flags=['multi_index'], op_flags=['readwrite']) while not it.finished: idx = it.multi_index tmp_val = x[idx] # f(x+h)的計算 x[idx] = tmp_val + h fxh1 = f(x) # f(x-h)的計算 x[idx] = tmp_val - h fxh2 = f(x) grad[idx] = (fxh1 - fxh2) / (2*h) x[idx] = tmp_val # 還原值 it.iternext() return grad def gradient_descent(f, init_x, lr=0.01, step_num=100): x = init_x for i in range(step_num): grad = numerical_gradient(f, x) x -= lr * grad return x 參數f是要進行最優化的函數，init_x是初始值，lr是學習率learning rate，step_num是梯度法的重複次數。numerical_gradient(f,x)會求函數的梯度，用該梯度乘以學習率得到的值進行更新操作，由step_num指定重複的 次數。
學習率需要事先確定為某個值，比如0.01或0.001。一般而言，這個值 過大或過小，都無法抵達一個「好的位置」。在神經網絡的學習中，一般會 一邊改變學習率的值，一邊確認學習是否正確進行了。
神經網絡的梯度
[ mathbf{W}=left( begin{matrix} w_{11} & w_{12} & w_{13} \ w_{21} & w_{22} & w_{23} end{matrix} right) \ frac{partial L}{partial mathbf{W}} = left( begin{matrix} frac{partial L}{partial w_{11}} & frac{partial L}{partial w_{12}} &frac{partial L}{partial w_{13}} \ frac{partial L}{partial w_{21}} & frac{partial L}{partial w_{22}} &frac{partial L}{partial w_{23}} end{matrix} right) tag{9} ]
就是需要一個一個算比較麻煩，但是計算機就無所謂了
迭代偽代碼如下
def f(W): return net.loss(x, t) dW = numerical_gradient(f, net.W) 學習算法的實現
根據前面的介紹，差不多可以理清神經網絡的學習步驟了
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mini-batch
從訓練數據中隨機選出一部分數據，這部分數據稱為mini-batch。我們 的目標是減小mini-batch的損失函數的值。
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梯度計算
為了減小mini-batch的損失函數的值，需要求出各個權重參數的梯度。 梯度表示損失函數的值減小最多的方向。
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更新參數
將權重參數沿梯度方向進行微小更新。
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迭代
重複步驟1、步驟2、步驟3。
神經網絡的學習按照上面4個步驟進行。這個方法通過梯度下降法更新參數，不過因為這裡使用的數據是隨機選擇的mini batch數據，所以又稱為 隨機梯度下降法（stochastic gradient descent）。
下面給出一個兩層的簡單神經網絡的實現
class TwoLayerNet: def __init__(self, input_size, hidden_size, output_size, weight_init_std=0.01): """ :param: input_size - 輸入層的神經元數 :param: hidden_size - 隱藏層的神經元數 ;param: output_size - 輸出層的神經元數 """ # 初始化權重 self.params = {} self.params['W1'] = weight_init_std * np.random.randn(input_size, hidden_size) self.params['b1'] = np.zeros(hidden_size) self.params['W2'] = weight_init_std * np.random.randn(hidden_size, output_size) self.params['b2'] = np.zeros(output_size) def predict(self, x): W1, W2 = self.params['W1'], self.params['W2'] b1, b2 = self.params['b1'], self.params['b2'] a1 = np.dot(x, W1) + b1 z1 = sigmoid(a1) a2 = np.dot(z1, W2) + b2 y = softmax(a2) return y # x:輸入數據, t:監督數據 def loss(self, x, t): y = self.predict(x) return cross_entropy_error(y, t) def accuracy(self, x, t): y = self.predict(x) y = np.argmax(y, axis=1) t = np.argmax(t, axis=1) accuracy = np.sum(y == t) / float(x.shape[0]) return accuracy # x:輸入數據, t:監督數據 def numerical_gradient(self, x, t): loss_W = lambda W: self.loss(x, t) grads = {} grads['W1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W1']) grads['b1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b1']) grads['W2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W2']) grads['b2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b2']) return grads 訓練
# 數據加載代碼 try: import urllib.request except ImportError: raise ImportError('You should use Python 3.x') import os.path import gzip import pickle import os import numpy as np url_base = 'http://yann.lecun.com/exdb/mnist/' key_file = { 'train_img':'train-images-idx3-ubyte.gz', 'train_label':'train-labels-idx1-ubyte.gz', 'test_img':'t10k-images-idx3-ubyte.gz', 'test_label':'t10k-labels-idx1-ubyte.gz' } dataset_dir = os.path.dirname(os.path.abspath(__file__)) save_file = dataset_dir + "/mnist.pkl" train_num = 60000 test_num = 10000 img_dim = (1, 28, 28) img_size = 784 def _download(file_name): file_path = dataset_dir + "/" + file_name if os.path.exists(file_path): return print("Downloading " + file_name + " ... ") urllib.request.urlretrieve(url_base + file_name, file_path) print("Done") def download_mnist(): for v in key_file.values(): _download(v) def _load_label(file_name): file_path = dataset_dir + "/" + file_name print("Converting " + file_name + " to NumPy Array ...") with gzip.open(file_path, 'rb') as f: labels = np.frombuffer(f.read(), np.uint8, offset=8) print("Done") return labels def _load_img(file_name): file_path = dataset_dir + "/" + file_name print("Converting " + file_name + " to NumPy Array ...") with gzip.open(file_path, 'rb') as f: data = np.frombuffer(f.read(), np.uint8, offset=16) data = data.reshape(-1, img_size) print("Done") return data def _convert_numpy(): dataset = {} dataset['train_img'] = _load_img(key_file['train_img']) dataset['train_label'] = _load_label(key_file['train_label']) dataset['test_img'] = _load_img(key_file['test_img']) dataset['test_label'] = _load_label(key_file['test_label']) return dataset def init_mnist(): download_mnist() dataset = _convert_numpy() print("Creating pickle file ...") with open(save_file, 'wb') as f: pickle.dump(dataset, f, -1) print("Done!") def _change_one_hot_label(X): T = np.zeros((X.size, 10)) for idx, row in enumerate(T): row[X[idx]] = 1 return T def load_mnist(normalize=True, flatten=True, one_hot_label=False): if not os.path.exists(save_file): init_mnist() with open(save_file, 'rb') as f: dataset = pickle.load(f) if normalize: for key in ('train_img', 'test_img'): dataset[key] = dataset[key].astype(np.float32) dataset[key] /= 255.0 if one_hot_label: dataset['train_label'] = _change_one_hot_label(dataset['train_label']) dataset['test_label'] = _change_one_hot_label(dataset['test_label']) if not flatten: for key in ('train_img', 'test_img'): dataset[key] = dataset[key].reshape(-1, 1, 28, 28) return (dataset['train_img'], dataset['train_label']), (dataset['test_img'], dataset['test_label']) # NN訓練代碼 (x_train, t_train), (x_test, t_test) = load_mnist(normalize=True, one_hot_ laobel = True) train_loss_list = [] train_acc_list = [] test_acc_list = [] # 平均每個epoch的重複次數 iter_per_epoch = max(train_size / batch_size, 1) # 超參數 iters_num = 10000 batch_size = 100 learning_rate = 0.1 network = TwoLayerNet(input_size=784, hidden_size=50, output_size=10) for i in range(iters_num): # 獲取mini-batch batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size) x_batch = x_train[batch_mask] t_batch = t_train[batch_mask] # 計算梯度 grad = network.numerical_gradient(x_batch, t_batch) # grad = network.gradient(x_batch, t_batch) # 高速版! # 更新參數 for key in ('W1', 'b1', 'W2', 'b2'): n etwork.params[key] -= learning_rate * grad[key] loss = network.loss(x_batch, t_batch) train_loss_list.append(loss) # 計算每個epoch的識別精度 if i % iter_per_epoch == 0: train_acc = network.accuracy(x_train, t_train) test_acc = network.accuracy(x_test, t_test) train_acc_list.append(train_acc) test_acc_list.append(test_acc) print("train acc, test acc | " + str(train_acc) + ", " + str(test_acc)) 小節
這篇中介紹了NN的一些基礎知識，也給出了一個用numpy實現的十分簡單的一個2層神經網絡的實現，將在下篇中介紹反向傳播法，對現在實現的神經網絡進行更進一步的優化。
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