素数算法（Prime Num Algorithm）
- 2022 年 7 月 19 日
- 笔记
- 数论（Number Theory）, 算法与数据结构（Algorithms and Data Structures）, 素数
素数算法（Prime Num Algorithm）
数学是科学的皇后，而素数可以说是数学最为核心的概念之一。围绕素数产生了很多伟大的故事，最为著名莫过于哥德巴赫猜想、素数定理和黎曼猜想（有趣的是，自牛顿以来的三个最伟大数学家，欧拉、高斯和黎曼，分别跟这些问题有着深刻的渊源）。我写这篇文章不是要探讨和解决这些伟大猜想和定理，而是回归问题本身，用计算机判定一个素数，以及求取特定正整数值下所包含的所有素数。这篇文章，算是自己对素数问题思考的一次总结。
先说一下素数的定义：
素数也叫质数，是只能被 \(1\) 和其本身所能整除的非\(1\)正整数。
第一个素数是2，它也是唯一一个偶素数。100以内素数列为：
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
有了素数的定义，我们通过计算机程序来解决以下问题。
- 给定一个正整数\(n\), 判定该数是否为素数。
- 给定一个正整数\(n\), 求取小于等于该数的所有素数列。
- 给定两个正整数 \(n_1\), \(n_2\)(\(n_1 \le n_2\))， 求取 \(n_1\)到 \(n_2\)之间其所包含的素数列。
- 从\(2\)开始计算大素数。
解决上述问题的核心算法都是埃拉托斯特尼筛法,简称埃氏筛选法。这个方法的内容即每当我们得到一个素数后，我们即将这个素数的所有倍数（\(2\)倍以上）的整数删除，重复执行该过程，最后余下来的一定是素数。
1. 给定一个正整数\(n\), 判定该数是否为素数
1.1 初始算法
1.1.1 算法
判定一个整数\(n\)是否为素数，我们只需要判定该整数是否不能被小于它的非\(1\)整数所整除。
1.1.2 代码
package com.lunyu.algorithm.math.numberTheory;
import com.google.common.collect.Lists;
import java.util.List;
/**
* 求素数算法
* @author lunyu
* @since 2022/7/14
*/
public class PrimeNumMain {
public static void main(String[] args) {
// 卢卡斯数列
List<Integer> nums = Lists.newArrayList(1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123);
for (Integer num : nums) {
boolean isPrime = isPrime(num);
System.out.println("整数：" + num + "是否为素数：" + isPrime);
}
}
/**
* 给定一个正整数n, 判定该数是否为素数
*/
private static boolean isPrime(int num){
if (1 >= num){
return false;
}
for (int i = 2; i < num; i++){
if (0 == num % i){
return false;
}
}
return true;
}
}
1.1.3 算法复杂度
| 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|
| \(O(n)\) | \(O(1)\) |
1.2 算法优化1
因为\(2\)是唯一的一个偶素数，因此，我们可以在判定时将\(2\)的情况特殊处理，并且每次只需判定小于该数的奇数的情况。
1.2.1 算法
判定一个整数\(n\)是否为素数，我们只需要判定
- 该数是是否是\(2\)。
- 在该数不为\(2\)的情形下，该数是否不被\(2\)或小于它的非\(1\)奇数所整除。
1.2.2 代码
/**
* 经过优化的给定一个正整数n, 判定该数是否为素数
*/
private static boolean isPrimeOptimized1(int num){
if (1 >= num){
return false;
}
// 判定是否等于2
if (2 == num){
return true;
}
// 判定能否被2整除
if (0 == num % 2){
return false;
}
// 判定能否能被小于自身且大于等于3的奇数整除
for (int i = 3; i < num;){
if (0 == num % i){
return false;
}
i += 2;
}
return true;
}
1.2.3 算法复杂度
| 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|
| \(O(\frac{n}{2})\) | \(O(1)\) |
1.3 算法优化2
实际上，判定一个整数\(n\)是否为素数，我们可以缩减判定的范围，将之前的全量比较，变更为，判定该整数是否不能被其开方后的整数向下取整（\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）以内（含\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）的非\(1\)整数所整除。
直观一点，即自然数\(n\)，能否不被整数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in Z_+\}\)所整除。
这个优化判定是可以证明的。我们来给出证明。
1.3.1 证明
设有正整数\(n\),它不能被其开方后的整数向下取整（\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）以内（含\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）的非\(1\)整数所整除，我们证明它一定是一个素数。
我们用反证法。
假设它是一个合数，那么它一定可以表示成两个非\(1\)整数\(z_1 \cdot z_2\)乘积的形式。
我们又已知，它不能被其开方后的整数向下取整（\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）以内（含\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）的非\(1\)整数所整除，因此无论是\(z_1\)还是\(z_2\)，都不可能包含\(1\)到\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)之间的素因子，否则与\(n\)不能被1到（\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）的非\(1\)整数所整除矛盾。
于是，无论是\(z_1\)还是\(z_2\)都必包含大于\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)的素因子，这两个素因子分别记作\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor + k_1\),\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor + k_2\)（\(k_1,k_2 \ge 1\)）。
于是,
z_1 \cdot z_2 &\ge (\lfloor \sqrt{n} \rfloor + k_1)(\lfloor \sqrt{n} \rfloor + k_2) \\
& \ge (\lfloor \sqrt{n} \rfloor + 1)(\lfloor \sqrt{n} \rfloor + 1) \\
& = (\lfloor \sqrt{n} \rfloor + 1)^2 \\
& > n
\end{align}
\]
为什么\((\lfloor \sqrt{n} \rfloor + 1)^2 \gt n\)，因为\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor + 1 > \sqrt{n}\)。这里将\(\sqrt{n}\)取值为任意一正实数\(r\)，我们可以得知任意正实数\(r\)的向下取整\(\lfloor r \rfloor\)满足：
\begin{aligned}
\lfloor r \rfloor & = r & , if \ r \in Z_+ \\
\lfloor r \rfloor & \gt r-1 & , if\ r \notin Z_+
\end{aligned}
\right.
\]
于是，
\begin{aligned}
\lfloor r \rfloor + 1 = r + 1 & \gt r & , if \ r \in Z_+ \\
\lfloor r \rfloor + 1 \gt (r-1) + 1 & = r & , if\ r \notin Z_+
\end{aligned}
\right.
\]
证毕。
1.3.2 算法
判定一个整数\(n\)是否为素数，只需判定该整数是否不能被其开方后的整数向下取整（\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）以内（含\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）的非\(1\)整数所整除。
1.3.3 代码
/**
* 经过优化的给定一个正整数n, 判定该数是否为素数
*/
private static boolean isPrimeOptimized2(int num){
if (1 >= num){
return false;
}
// 整数num开方向下取整
double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));
for (int i = 2; i <= sqrtFloorNum; i++){
if (0 == num % i){
return false;
}
}
return true;
}
1.3.4 算法复杂度
| 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|
| \(O(n^{\frac{1}{2}})\) | \(O(1)\) |
1.4 算法优化结合
我们可以将1.2 算法优化1和1.3 算法优化2结合起来，形成一个更优算法。
1.4.1 算法
判定一个整数\(n\)是否为素数，我们只需要判定
- 该数是是否是\(2\)。
- 在该数不为\(2\)的情形下，该数是否不被以下数所整除：
- 不被\(2\)整除，
- 不被其开方后的整数向下取整（\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）以内（含\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）的非\(1\)奇数所整除。
1.4.2 代码
/**
* 给定一个正整数n, 判定该数是否为素数
*/
private static boolean isPrimeOptimized3(int num){
if (1 >= num){
return false;
}
if (2 == num){
return true;
}
if (0 == num % 2){
return false;
}
// 整数num开方向下取整
double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));
for (int i = 3; i <= sqrtFloorNum;){
if (0 == num % i){
return false;
}
i += 2;
}
return true;
}
1.4.3 算法复杂度
| 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|
| \(O(\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2}})\) | \(O(1)\) |
2. 给定一个正整数\(n\), 求取小于等于该数的所有素数列
易知，该问题即是上一问题的序列化，也即将上一问题在外层再套一层for循环，平铺展开后的问题。
于是，我们先给出一个初始算法。
2.1 初始算法
2.1.1 算法
给定一个正整数\(n\), 求取小于等于该数的所有素数列, 即
对从\(2\)到\(n\)的每一个整数，我们依次判定该数是否为素数。如果为素数，我们将该数存储起来得到的素数列。
2.1.2 代码
package com.lunyu.algorithm.math.numberTheory;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
/**
* 求素数算法
* @author lunyu
* @since 2022/7/14
*/
public class PrimeNumMain {
public static void main(String[] args) {
int n = 300;
List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();
getPrimeNums(n, primeNums);
// TODO: 结果输出
System.out.println(n + "以内的素数为：");
for (Integer primeNum : primeNums) {
System.out.print(primeNum + " ");
}
}
/**
* 获得n以内（含n）的素数列
* @param n
* @param primeNums
*/
private static void getPrimeNums(int n, List<Integer> primeNums) {
for (int i = 2; i <= n; i++){
boolean isPrime = isPrime(i);
if (isPrime){
primeNums.add(i);
}
}
}
/**
* 给定一个正整数n, 判定该数是否为素数
*/
private static boolean isPrime(int num){
if (1 >= num){
return false;
}
for (int i = 2; i < num; i++){
if (0 == num % i){
return false;
}
}
return true;
}
}
2.1.3 算法复杂度
因为多了外层的一层for循环，而内层判定一个整数是否为素数的算法我们用的初始算法(isPrime(int num))，因此其时间复杂度为\(O(n \cdot n)\)也即\(O(n^2)\)。
而空间复杂度，因为我们有素数列的采集动作，因此这里空间复杂度不是\(O(1)\)，而是\(O(n/{\ln n})\)。这里的值取自素数定理，即一个自然数\(x\)以内的素数个数\(\pi(x)\)，其渐进估计为\(\pi(x) \sim x/\ln x\)。
| 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|
| \(O(n^2)\) | \(O(n/{\ln n})\) |
2.2 算法优化1
这里算法优化我们分为2部分，第一部分是判定单个整数是否素数的优化；第2部分，我们对外层循环进行优化。
第一部分，我们取章节1.4 算法优化结合给出最终优化方案。
第二部分，我们对for循环内的数据进行一次简单优化。同样易知，\(n\)以内的素数除\(2\)意外都是奇素数，因此这里我们可以将外层for循环判定的数据也减半。
2.2.1 算法
给定一个正整数\(n\), 求取小于等于该数的所有素数列, 即
对\(2\)和从\(3\)到\(n\)的每一个奇数，我们依次判定该数是否为素数 (判定该数是否为素数，取自1.4.1 算法优化结合-算法)。
如果为素数，我们将该数存储起来得到的素数列。
2.2.2 代码
public static void main(String[] args) {
int n = 300;
List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();
getPrimeNumsOptimized1(n, primeNums);
// TODO: 结果输出
System.out.println(n + "以内的素数为：");
for (Integer primeNum : primeNums) {
System.out.print(primeNum + " ");
}
}
/**
* 获得n以内（含n）的素数列
* @param n
* @param primeNums
*/
private static void getPrimeNumsOptimized1(int n, List<Integer> primeNums) {
if (1 >= n){
return;
}
// 如果n >= 2, 则n以内的素数默认含有2
primeNums.add(2);
// 对大于等3的奇数判定
for (int i = 3; i <= n;){
boolean isPrime = isPrimeOptimized3(i);
if (isPrime){
primeNums.add(i);
}
i += 2;
}
}
/**
* 给定一个正整数n, 判定该数是否为素数
*/
private static boolean isPrimeOptimized3(int num){
if (1 >= num){
return false;
}
if (2 == num){
return true;
}
if (0 == num % 2){
return false;
}
// 整数num开方向下取整
double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));
for (int i = 3; i <= sqrtFloorNum;){
if (0 == num % i){
return false;
}
i += 2;
}
return true;
}
这里外循环针对的是大于等于\(3\)的奇数，因此，内层方法判断该数小于等于\(1\) 、是否等于\(2\)和是否能被\(2\)整除的判定就显得多余了，这里可以删掉。变更为
public static void main(String[] args) {
int n = 300;
List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();
getPrimeNumsOptimized1(n, primeNums);
// TODO: 结果输出
System.out.println(n + "以内的素数为：");
for (Integer primeNum : primeNums) {
System.out.print(primeNum + " ");
}
}
/**
* 获得n以内（含n）的素数列
* @param n
* @param primeNums
*/
private static void getPrimeNumsOptimized1(int n, List<Integer> primeNums) {
if (1 >= n){
return;
}
// 如果n >= 2, 则n以内的素数默认含有2
primeNums.add(2);
// 对大于等3的奇数判定
for (int i = 3; i <= n;){
boolean isPrime = isPrimeOptimized3(i);
if (isPrime){
primeNums.add(i);
}
i += 2;
}
}
/**
* 给定一个大于等于3的奇数n, 判定该数是否为素数
*/
private static boolean isPrimeOptimized3(int num){
// 整数num开方向下取整
double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));
for (int i = 3; i <= sqrtFloorNum;){
if (0 == num % i){
return false;
}
i += 2;
}
return true;
}
2.2.3 算法复杂度
易知外层的for循环其时间复杂度为\(O(\frac{1}{2}n)\),内层时间复杂度为\(O(\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2}})\)，因此总的时间复杂度为\(O(\frac{1}{4} n^{\frac{3}{2}})\)。
空间复杂度不变，仍为\(O(n/{\ln n})\)。
| 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|
| \(O(\frac{1}{4} n^{\frac{3}{2}})\) | \(O(n/{\ln n})\) |
2.3 算法优化2
1.3 算法优化2中，判定一个整数是否为素数，即判定该数是否不能被其开方后的整数向下取整（\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）以内（含\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）的非\(1\)整数所整除。
这个地方的判定，我们可以进一步优化为，判定一个整数是否为素数，即判定该数是否不能被其开方后的整数向下取整（\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）以内（含\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）的非\(1\)素数所整除。
直观一点，即自然数\(n\)，能否不被素数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in P_+\}\)所整除。
证明略，同1.3.1 算法优化2-证明。
有了以上优化点，我们还缺少素数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in P_+\}\)，幸运的是，我们的目标“给定一个正整数\(n\), 求取小于等于该数的所有素数列”即隐含的包含该信息，也即殊途同归，目标基本一致。有了这些条件，我们就可以对2.1 初始算法进行一定的优化。
2.3.1 算法
给定一个正整数\(n\), 求取小于等于该数的所有素数列, 即
对从\(2\)到\(n\)的每一个整数，我们依次判定该数是否为素数。如果为素数，我们将该数存储起来得到的素数列。
判定是否为素数的法则为，该数能否不被素数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in P_+\}\)所整除。
素数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in P_+\}\)，在计算过程中得到。
2.3.2 代码
package com.lunyu.algorithm.math.numberTheory;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.stream.Collectors;
/**
* 求素数算法
* @author lunyu
* @since 2022/7/14
*/
public class PrimeNumMain {
public static void main(String[] args) {
int n = 300;
List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();
getPrimeNumsOptimized2(n, primeNums);
// TODO: 结果输出
System.out.println(n + "以内的素数为：");
for (Integer primeNum : primeNums) {
System.out.print(primeNum + " ");
}
}
/**
* 获得n以内（含n）的素数列
* @param n
* @param primeNums
*/
private static void getPrimeNumsOptimized2(int n, List<Integer> primeNums) {
if (1 >= n){
return;
}
for (int i = 2; i <= n; i++){
boolean isPrime = isPrimeOptimized4(i, primeNums);
if (isPrime){
primeNums.add(i);
}
}
}
/**
* 判定是否为素数
*/
private static boolean isPrimeOptimized4(int num, List<Integer> primeNums) {
if (1 >= num){
return false;
}
// 整数num开方向下取整
double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));
// 判定能否被素数列整数
for (Integer primeNum : primeNums) {
if (primeNum > sqrtFloorNum){
break;
}
if (0 == num % primeNum){
return false;
}
}
return true;
}
}
这里外循环针对的是大于等于\(3\)的奇数，因此，内层方法判断该数小于等于\(1\) 就显得多余了，这里可以删掉。变更为
/**
* 判定是否为素数
*/
private static boolean isPrimeOptimized4(int num, List<Integer> primeNums) {
// 整数num开方向下取整
double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));
for (Integer primeNum : primeNums) {
if (primeNum > sqrtFloorNum){
break;
}
if (0 == num % primeNum){
return false;
}
}
return true;
}
2.3.3 算法复杂度
易知，外层的for循环其时间复杂度为\(O(n)\)；内层, 遍历素数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in P_+\}\)的时间复杂度为\(O(n^{\frac{1}{2}}/\ln n^{\frac{1}{2}}) = O(\frac{1}{2}n^{\frac{1}{2}}/\ln n)\),因此总的时间复杂度为\(O(\frac{1}{2}n^{\frac{3}{2}}/\ln n)\)。
获得素数列，其空间复杂度为\(O(n/{\ln n})\)。
| 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|
| \(O(\frac{1}{2}n^{\frac{3}{2}}/\ln n)\) | \(O(n /\ln n)\) |
2.4 算法优化结合
我们可以将2.2 算法优化1和2.3 算法优化2结合起来，形成一个更优算法。
2.4.1 算法
给定一个正整数\(n\), 求取小于等于该数的所有素数列, 即
对\(2\)和从\(3\)到\(n\)的每一个奇数，我们依次判定该数是否为素数 (判定该数是否为素数，取自2.3.1 算法优化2-算法)。
如果为素数，我们将该数存储起来得到的素数列。
2.4.2 代码
package com.lunyu.algorithm.math.numberTheory;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.stream.Collectors;
/**
* 求素数算法
* @author lunyu
* @since 2022/7/14
*/
public class PrimeNumMain {
public static void main(String[] args) {
int n = 300;
List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();
getPrimeNumsOptimized4(n, primeNums);
// TODO: 结果输出
System.out.println(n + "以内的素数为：");
for (Integer primeNum : primeNums) {
System.out.print(primeNum + " ");
}
}
/**
* 获得n以内（含n）的素数列
* @param n
* @param primeNums
*/
private static void getPrimeNumsOptimized4(int n, List<Integer> primeNums) {
if (1 >= n){
return;
}
// 如果n >= 2, 则n以内的素数默认含有2
primeNums.add(2);
// 对大于等3的奇数判定
for (int i = 3; i <= n;){
boolean isPrime = isPrimeOptimized4(i, primeNums);
if (isPrime){
primeNums.add(i);
}
i += 2;
}
}
/**
* 判定是否为素数
*/
private static boolean isPrimeOptimized4(int num, List<Integer> primeNums) {
// 整数num开方向下取整
double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));
for (Integer primeNum : primeNums) {
if (primeNum > sqrtFloorNum){
break;
}
if (0 == num % primeNum){
return false;
}
}
return true;
}
}
2.4.3 算法复杂度
易知，外层的for循环其时间复杂度为\(O(\frac{n}{2})\)；内层, 遍历素数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in P_+\}\)的时间复杂度为\(O(n^{\frac{1}{2}}/\ln n^{\frac{1}{2}}) = O(\frac{1}{2}n^{\frac{1}{2}}/\ln n)\),因此总的时间复杂度为\(O(\frac{1}{4}n^{\frac{3}{2}}/\ln n)\)。
获得素数列，其空间复杂度为\(O(n/{\ln n})\)。
| 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|
| \(O(\frac{1}{4}n^{\frac{3}{2}}/\ln n)\) | \(O(n/{\ln n})\) |
3. 给定两个正整数 \(n_1\), \(n_2\)(\(n_1 \le n_2\))， 求取 \(n_1\)到 \(n_2\)之间其所包含的素数列
这里有两种方式可以解决问题：
第一种对\(n_1\)到 \(n_2\)之间整数，我们依次判定是否为素数，如果为素数，我们将它们采集起来得到素数列即为所求。
第二种，我们先求出小于等于\(n_2\)的所有素数列，再将该素数列中介于\(n_1\), \(n_2\)的素数列（\(\{x | n_1 \le x \le n_2, x \in P_+ \}\)）取出即为所求。
3.1 算法1
为了减少篇幅，这里直接使用1.4 算法优化结合中的算法，而不从头开始逐步优化。
3.1.1 算法
给定两个正整数 \(n_1\), \(n_2\)(\(n_1 \le n_2\))， 求取 \(n_1\)到 \(n_2\)之间其所包含的素数列，即
对\(n_1\)到 \(n_2\)之间整数，我们依次判定是否为素数，如果为素数，我们将它们采集起来得到素数列即为所求。
判定素数算法为1.4.1 算法。
3.1.2 代码
package com.lunyu.algorithm.math.numberTheory;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
/**
* 求素数算法
* @author lunyu
* @since 2022/7/14
*/
public class PrimeNumMain {
public static void main(String[] args) {
int n1 = 100, n2 = 200;
List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();
for (int i = n1; i <= n2; i++) {
boolean isPrime = isPrimeOptimized3(i);
if (isPrime){
primeNums.add(i);
}
}
// TODO: 结果输出
System.out.println("整数" + n1 + ", " + n2 + "之间的素数为：");
for (Integer primeNum : primeNums) {
System.out.print(primeNum + " ");
}
}
/**
* 给定一个正整数n, 判定该数是否为素数
*/
private static boolean isPrimeOptimized3(int num){
if (1 >= num){
return false;
}
if (2 == num){
return true;
}
if (0 == num % 2){
return false;
}
// 整数num开方向下取整
double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));
for (int i = 3; i <= sqrtFloorNum;){
if (0 == num % i){
return false;
}
i += 2;
}
return true;
}
}
3.1.3 算法复杂度
易知外层循环时间复杂度为\(O(n_2-n_1)\)，内层循环时间复杂度是\(O(\frac{1}{2} n_2^{\frac{1}{2}})\)，于是总的时间复杂度为\(O(\frac{1}{2} n_2^{\frac{1}{2}}(n_2-n_1))\)。
因为有素数列的采集动作，因此这里空间复杂度是\(O(n_2/{\ln n_2} – n_1/{\ln n_1})\)。
| 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|
| \(O(\frac{1}{2} n_2^{\frac{1}{2}}(n_2-n_1))\) | \(O(n_2/{\ln n_2} – n_1/{\ln n_1})\) |
注： 上述算法还能再进一步优化，在外层循环中，我们处理好\(n_1\)，\(n_2\)可能存在的\(=2\)这个特殊情况后，其中的循环变量，只取介于\(n_1\)到\(n_2\)的奇数进行判定，这样时间复杂度可减半，变为\(O(\frac{1}{4} n_2^{\frac{1}{2}}(n_2-n_1))\)。
3.2 算法2
同样为了减少篇幅，我们直接使用2.4 算法优化结合中的算法，而不从头开始逐步优化。
3.2.1 算法
给定两个正整数 \(n_1\), \(n_2\)(\(n_1 \le n_2\))， 求取 \(n_1\)到 \(n_2\)之间其所包含的素数列，即
先求出小于等于\(n_2\)的所有素数列，再将介于\(n_1\)到 \(n_2\)之间素数取出即为所求。
求出小于等于\(n_2\)的所有素数列算法取自2.4.1 算法
3.2.2 代码
package com.lunyu.algorithm.math.numberTheory;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.stream.Collectors;
/**
* 求素数算法
* @author lunyu
* @since 2022/7/14
*/
public class PrimeNumMain {
public static void main(String[] args) {
int n1 = 100, n2 = 200;
List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();
getPrimeNumsOptimized2(n2, primeNums);
primeNums = primeNums.stream().filter(e -> e.intValue() >= n1)
.collect(Collectors.toList());
// TODO: 结果输出
System.out.println("整数" + n1 + ", " + n2 + "之间的素数为：");
for (Integer primeNum : primeNums) {
System.out.print(primeNum + " ");
}
}
/**
* 获得n以内（含n）的素数列
* @param n
* @param primeNums
*/
private static void getPrimeNumsOptimized2(int n, List<Integer> primeNums) {
if (1 >= n){
return;
}
// 如果n >= 2, 则n以内的素数默认含有2
primeNums.add(2);
// 对大于等3的奇数判定
for (int i = 3; i <= n;){
if (1 >= n){
return;
}
boolean isPrime = isPrimeOptimized4(i, primeNums);
if (isPrime){
primeNums.add(i);
}
i += 2;
}
}
/**
* 判定是否为素数
*/
private static boolean isPrimeOptimized4(int num, List<Integer> primeNums) {
// 整数num开方向下取整
double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));
for (Integer primeNum : primeNums) {
if (primeNum > sqrtFloorNum){
break;
}
if (0 == num % primeNum){
return false;
}
}
return true;
}
}
3.2.3 算法复杂度
易知，外层的for循环其时间复杂度为\(O(\frac{n_2}{2})\)；内层, 遍历素数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in P_+\}\)的时间复杂度为\(O(n_2^{\frac{1}{2}}/\ln n_2^{\frac{1}{2}}) = O(\frac{1}{2}n_2^{\frac{1}{2}}/\ln n_2)\),因此总的时间复杂度为\(O(\frac{1}{4}n_2^{\frac{3}{2}}/\ln n_2)\)。
获得素数列，其空间复杂度为\(O(n_2/{\ln n_2})\)，获得介于 \(n_1\), \(n_2\)的素数列，其空间复杂度为\(O(n_2/{\ln n_2} – n_1/{\ln n_1})\)，于是总的空间复杂度为\(O(2n_2/{\ln n_2} – n_1/{\ln n_1})\)。
| 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|
| \(O(\frac{1}{4}n_2^{\frac{3}{2}}/\ln n_2)\) | \(O(2n_2/{\ln n_2} – n_1/{\ln n_1})\) |
4. 从\(2\)开始计算大素数
从计算机诞生以来，计算超大素数就成为了可能。目前最大的已知素数为\((2^{82,589,933}-1)\)（来自网络），足有\(2500\)万位。计算大素数、超大素数可以用来验证很多有关素数的问题。
本文即从算法可行的角度，从\(2\)开始来计算大素数，并对计算过程进行一定的优化。
4.1 算法1
我们怎么计算大素数呢？这里我要反其道而行之。先算一部分，然后再算一部分，最后算到我们想要的数为止。说的太含混了，下面以例子进行说明。
首先，我们先获取到素数\(2\)，构成初始素数列\(\{2\}\)。我们取其中最大的素数，即\(2\)。我们知道\(2^2=4\)，于是，我们可以得到大于\(2\)且小于\(2^2\)的奇数列\(\{3\}\) 。我们判定这个数列中不能被初始素数列\(\{2\}\)整除的数，得到数列\(\{3\}\) 。我们将初始素数列\(\{2\}\)和新得到的数列\(\{3\}\)合并得到小于\(4\)的素数列\(\{2,3\}\)。
进行第二次循环。我们已知初始素数列\(\{2,3\}\)。取其中最大的素数，即\(3\)。我们知道\(3^2=9\)，于是，我们可以得到大于\(3\)且小于\(3^2\)的奇数列\(\{5,7\}\) 。我们判定这个数列中不能被已知初始素数列\(\{2,3\}\)所整除的数，得到数列\(\{5,7\}\)。我们将初始素数列\(\{2,3\}\)和新得到的数列\(\{5,7\}\)合并得到小于\(9\)的素数列\(\{2,3,5,7\}\)。
进行第三次循环。我们已知初始素数列\(\{2,3,5,7\}\)。取其中最大的素数，即\(7\)。我们知道\(7^2=49\)，于是，我们可以得到大于\(7\)且小于\(7^2\)的奇数列\(\{9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43\}\) 。我们判定这个数列中不能被已知初始素数列\(\{2,3,5,7\}\)所整除的数，得到数列\(\{11,13,17,19,23,29,31,37,41,43\}\)。我们将初始素数列\(\{2,3,5,7\}\)和新得到的数列\(\{11,13,17,19,23,29,31,37,41,43\}\)合并得到小于\(49\)的素数列\(\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43\}\)。
以此类推。
我们可以用这种方式，一直计算下去，得到任意的大的素数（如果算力允许的话）。
4.1.1 算法
从\(2\)开始计算大素数即重复执行以下过程。
设全量的初始素数列\(\{2,3,\dots,p_k\}, k \ge 2\)。我们取其中最大的奇素数，即\(p_k\)。我们可以得到大于\(p_k\)且小于\(p_k^2\)的奇数列\(\{p_k + 2,\dots\ , p_k^2 – 2\}\) 。我们判定这个数列中不能被初始素数列\(\{2,\dots,p_k\}, k \ge 2\)整除的数，得到数列\(\{p_{k + 1}, \dots , p_l\}\) 。我们将初始素数列\(\{2,3,\dots,p_k\}, k \ge 2\)和新得到的素数列\(\{p_{k + 1}, \dots , p_l\}\)合并得到小于\(p_k^2\)的素数列\(\{2,3,\dots,p_l\}, l \ge 2\)。
4.1.2 代码
package com.lunyu.algorithm.math.numberTheory;
import com.google.common.collect.Lists;
import java.util.List;
/**
* 求素数算法
* @author lunyu
* @since 2022/7/14
*/
public class PrimeNumMain {
/**
* 素数上限
* 我们还是要设置一个上限，以便退出程序
*/
private static final int PRIME_NUM_LIMIT = 300000;
public static void main(String[] args) {
List<Integer> primeNums = Lists.newArrayList(2, 3);
int round = 1;
getPrimeNumsByRound(primeNums, round);
// TODO: 结果输出
for (Integer primeNum : primeNums) {
System.out.print(primeNum + " ");
}
}
/**
* 按轮次求大素数
*/
private static void getPrimeNumsByRound(List<Integer> primeNums, int round) {
// 获得已知素数列的最后一个素数
Integer lastPrimeNum = primeNums.get(primeNums.size() - 1);
// 迭代截止
if (lastPrimeNum >= PRIME_NUM_LIMIT){
return;
}
System.out.println("执行轮次 round：" + round);
// 执行算法
for (int i = lastPrimeNum + 2; i <= (lastPrimeNum * lastPrimeNum - 2);){
// 迭代截止
if (i >= PRIME_NUM_LIMIT){
return;
}
boolean isPrime = isPrime(i, primeNums);
if (isPrime){
primeNums.add(i);
}
i += 2;
}
round ++;
getPrimeNumsByRound(primeNums, round);
}
/**
* 判定是否为素数
*/
private static boolean isPrime(int num, List<Integer> primeNums) {
for (Integer primeNum : primeNums) {
if (0 == num % primeNum){
return false;
}
}
return true;
}
}
4.1.3 算法复杂度
| 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|
| \(O(\frac{1}{4}n^{\frac{3}{2}}/\ln n)\) | \(O(n/{\ln n})\) |
注： 虽然算法复杂度没有变，但是执行时间上，使用递归的方式还是比循环的方式慢了不少，我想可能跟递归成本高有很大关系。
