“反演”学习笔记

2020 年 10 月 7 日
笔记
数论

“反演”学习笔记

~~小声bb：本来看skyh推的博客，是来学容斥的，莫名其妙被强塞了反演~~

概念

好多童鞋还不知道啥是反演，反正听起来挺牛逼的，~~谁会谁被膜~~。

比如说有两个未知量 \(x,y\)，我们用 \(x\) 表达出来了 \(y\)，比如一个一次函数：

\[y=kx+b
\]

那么我们用 \(y\) 表示 \(x\) 就是：

\[x=\frac{y-b}{k}
\]

\(emmmm\)，这差不多就是个反演。

然后我们就搞高级一点：

假设有两个函数 \(f\) 和 \(g\) 满足：

\[f[n] = \sum_{k}a_{n,k}\times g[k]
\]

已知 \(f\) 求 \(g\) 的过程就叫做“反演”。

二项式反演

例题

有 \(n\) 个小盆友，每个人有一个编号 \(1,2…,n\) 。

将这 \(n\) 个小盆友排成一列，编号为 \(i\) 的小盆友不能在第 \(i\) 个位置。

求出所能排队的方案数，\(n\leq 10^5\) 。

简单容斥（听说小学生都会？？）

假设 \(n=3\) 。

我们拿出高一老师~~（？？）~~常拿的韦恩图像：

定义：

\(A\) 集合：编号为 \(1\) 的小盆友站到 \(1\) 的方案数。

\(B\) 集合：编号为 \(2\) 的小盆友站到 \(2\) 的方案数。

\(C\) 集合：编号为 \(3\) 的小盆友站到 \(3\) 的方案数。

我们要求的就是 \(n! – |A\cup B\cup C|\)，用简单的容斥可得：

\(ans=n! – (|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|A\cap C|+ |A\cap B\cap C|)\)

得出公式

我们可以大胆猜想：

\[ans = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\times \binom{n}{k}\times (n – k)!\;(假设 0!=1)
\]

什么意思？

\(\binom{n}{k}\times (n – k)!\) 表示强硬的将 \(k\) 个人放到自己应该放的位置（\(i\) 放到第 \(i\) 个位置），剩下 \(n-k\) 个人随便放的方案数。

为啥要加一个 \((-1)^k\)？

比如说你加上了一个 \(k=2\) 的方案数，强硬地将 \(2\) 个人，后面我们统计 \(k=3\) 时，我们会发现：在前面 \(k=2\) 时，可能有某个小盆友被放到了自己应该放的位置，所以要

减去这些被多余统计的方案，加法同理。

新定义

定义 \(f[n]\) 表示 \(n\) 个人随便站的方案数。

定义 \(g[n]\) 表示 \(n\) 个人都不站在自己应该在的位置的方案数。

这样我们直接枚举有多少个人站错位置，便可求出 \(f[n]\)。

\[f[n]=\sum_{k=0}^{n}\times \binom{n}{k}\times g[k]
\]

但是我们会发现，我们可以直接用 \(f[n] = n!\) 求出 \(f[n]\)，而且我们还不会求出 \(g[n]\)，难受～～～

小钥匙

我们会发现之前解决那个例题的公式中有一个这个东东：

\[\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\times \binom{n}{k}
\]

易得：这个东东只有 \(n=0\) 时才为 \(1\)，否则即为 \(0\) 。

我们再引进一个神犇数学符号：\([P]\)，表示条件 \(P\) 符合时，为 \(1\)；否则即为 \(0\)，（好像一个 \(bool\)）。

所以上面那个东东就可以化为：

\[\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\times \binom{n}{k}=[n=0]
\]

反演

之前我们新定义里：

用 \(g[n]\) 表示出了 \(f[n]\)，然而我们并不知道 \(g[n]\)，反而知道 \(f[n]\)，我们就需要一些骚操作（繁衍呸，反演），来求出 \(g[n]\) 。

说一句废话：

\[g[n] = \sum_{m=0}^{n}[n=m]\times \binom{n}{m}\times g[m]
\]

改一下这个废话：

\[g[n] = \sum_{m=0}^{m}[n-m=0]\times \binom{n}{m}\times g[m]
\]

哦！！！中间那个条件，我们是不是可以用一下那个小钥匙？

\[g[n] = \sum_{m=0}^{n} \sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k\times \binom{n-m}{k}\times \binom{n}{m}\times g[m]
\]

看一看中间那两个恶心的组合数：

可以考虑为从 \(n\) 个物品里，先选 \(m\) 个，再从 \(n-m\) 个里选 \(k\) 个的方案数。

可以变为为从 \(n\) 个物品里，先选 \(k\) 个，再从 \(n-k\) 个里选 \(m\) 个的方案数，组合数可以变为： \(\binom{n-k}{m}\times \binom{n}{k}\) 。

原式变为：

\[g[n] = \sum_{m=0}^{n} \sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k\times \binom{n-k}{m}\times \binom{n}{k}\times g[m]
\]

交换一下：

\[g[n] = \sum_{m=0}^{n} \sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k\times \binom{n-k}{m}\times g[m] \times \binom{n}{k}
\]

然后将 \(m\) 和 \(k\) 交换一下：

\[g[n] = \sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{n-k}(-1)^k\times \binom{n-k}{m}\times g[m] \times \binom{n}{k}
\]

再次交换：

\[g[n] = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\times \binom{n}{k} \sum_{m=0}^{n-k} \binom{n-k}{m}\times g[m]
\]

诶！！后面那个东东就是 \(f[n – k]\)，可，我们成功了！！！

\[g[n] = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\times \binom{n}{k} \times f[n-k]
\]

\(emmmm\)，好丑，写好看一点：

\[g[n] = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\times \binom{n}{k} \times f[k]
\]

得出结果

\[f[n]=\sum_{k=0}^{n}\times \binom{n}{k}\times g[k]
\]

\[g[n] = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\times \binom{n}{k} \times f[k]
\]

~~这个好像就是二项式反演~~

可能与 \(A\) 层的巨佬们学的有点不同，有错误，请见谅我这个蒟蒻。

莫比乌斯反演

例题

小盆友学英语，他拿到 \(26\) 个小写字母，他拼出若干个长度为 \(n\) 的字符串，求出有多少个字符串的循环节恰好为 \(n\)，\(n\leq 10^9\) 。

连小盆友都知道循环节是啥，不用我说吧….~~（最短的一个子串复制若干遍后拼起来跟原串相等的字符串）。~~

新定义

定义 \(f[n]\) 表示长度为 \(n\) 的字符串的个数，显然是 \(26^n\) 。

定义 \(g[n]\) 表示长度为 \(n\) 且循环节长度为 \(n\) 的字符串的个数。

可以得出：

\[f[n] = \sum_{d|n}g[d]
\]

小钥匙

上次我们用了一个条件表达式，打开了反演的关键，这个我们同样搞一个：

定义一个 \(\mu[n]\) 满足：~~（莫某某某搞的）~~

\[\sum_{d|n}\mu[d] = [n=1]
\]

其实这个就是莫比乌斯函数，至于性质，可以看一眼龙蝶的。

反演

同样，我们说一句废话：

\[g[n] = \sum_{m|n}[n=m]\times g[m]
\]

将条件表达式变一下：

\[g[n] = \sum_{m|n}[\frac{n}{m}=1]\times g[m]
\]

好，用我们的小钥匙：

\[g[n] = \sum_{m|n}\sum_{d|\frac{n}{m}}\times \mu[d] \times g[m]
\]

上次我们将 \(m\) 和 \(k\) 进行了交换，这次怎么处理呢？

我们会发现 \(n\) 能将 \(m\) 整除，\(\frac{n}{m}\) 能将 \(d\) 整除，所以我们可以得出 \(n\) 既能将 \(m\) 整除，又能将 \(d\) 整除，这样我们就可以将 \(m\) 和 \(k\) 交换了。

\[g[n] = \sum_{d|n}\sum_{m|\frac{n}{d}}\times \mu[d] \times g[m]
\]

交换一下：

\[g[n] = \sum_{d|n} \times \mu[d]\sum_{m|\frac{n}{d}} \times g[m]
\]

不错，后面那个东东又可以化为我们的 \(f\)，可

\[g[n] = \sum_{d|n} \times \mu[d]\times f[\frac{n}{d}]
\]

得出结果

\[f[n] = \sum_{d|n}g[d]
\]

\[g[n] = \sum_{d|n} \times \mu[d]\times f[\frac{n}{d}]
\]

~~这个好像就是莫比乌斯反演~~

其他反演敬请期待

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